趙 磊 王軍曉 黃光普 徐彬彬 俞 立

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州 310023)

0 引 言

由于磁懸浮系統(tǒng)具有無機械磨損、無污染、無須潤滑、系統(tǒng)可靠等優(yōu)點，已被廣泛應(yīng)用到工業(yè)、航空、醫(yī)療等眾多領(lǐng)域中，其中最具代表性的有磁懸浮列車[1]、磁懸浮軸承[2]、無軸承電機[3]和磁懸浮飛機[4]。但磁懸浮系統(tǒng)往往是多自由度的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型非常復(fù)雜，如磁懸浮列車，其構(gòu)造復(fù)雜，具有多個自由度，運行速率高，對控制算法的可靠性、實時性提出了很高的要求。 諸如此類的問題都給磁懸浮系統(tǒng)的高性能控制帶來了巨大的考驗。

相比于其他復(fù)雜多自由度磁懸浮系統(tǒng)，磁懸浮球系統(tǒng)則是一個典型的單自由度系統(tǒng)[5]。它可以作為研究其他復(fù)雜磁懸浮系統(tǒng)的基礎(chǔ)平臺，使研究人員能更加專注于控制策略的研究。但磁懸浮球系統(tǒng)為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，具有開環(huán)不穩(wěn)定性，而且容易受到外界因素的干擾，如風(fēng)力和系統(tǒng)老化等，無法對其精確建模。所以設(shè)計一種簡單、具有較強抗干擾能力且不完全依賴于系統(tǒng)精確模型的磁懸浮球控制器是一件很有意義和挑戰(zhàn)性的工作。近年來，已經(jīng)有很多控制算法應(yīng)用到磁懸浮球系統(tǒng)中，如PID控制算法[6，7]、狀態(tài)反饋控制算法[8]、模糊控制算法[9]、魯棒控制算法[10]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法[11]等。

由于滑?？刂茖ο到y(tǒng)的不確定因素具有良好的魯棒性[12]，因此在磁懸浮球平臺上也有很多研究和應(yīng)用成果，如文獻[13]采用等速趨近律實現(xiàn)了對磁懸浮球的控制，但控制過程中的非連續(xù)切換引起了較嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象。文獻[14]對滑模趨近律進行了分段處理，有效抑制了滑模面附近的抖振現(xiàn)象，并采用積分滑?？刂葡丝刂浦写嬖诘姆€(wěn)態(tài)誤差。文獻[15]通過仿真對比了穩(wěn)態(tài)滑模控制與動態(tài)滑?？刂频目刂菩Ч?，體現(xiàn)了動態(tài)滑模控制器在抑制抖振現(xiàn)象和減小穩(wěn)態(tài)誤差方面的優(yōu)良性能，但動態(tài)滑模控制器的設(shè)計較為復(fù)雜。文獻[16]采用指數(shù)滑模趨近律設(shè)計了滑模控制器，在抑制抖振現(xiàn)象和減小穩(wěn)態(tài)誤差方面都取得了良好的效果，但該方法未考慮系統(tǒng)中存在的模型不確定性和外界擾動。

綜上所述，滑?？刂品椒梢詫崿F(xiàn)磁懸浮球的控制，但滑?？刂频姆沁B續(xù)切換會引起系統(tǒng)抖振，所以可以采用連續(xù)滑?？刂苼硪种贫墩瘳F(xiàn)象。又因為磁懸浮球系統(tǒng)具有非線性，而且易受外界擾動的影響，會使得系統(tǒng)建模不精確，這種情況下采用連續(xù)滑?？刂品椒〞斐上到y(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差，為了有效抑制擾動，提高控制精度，可以采用干擾觀測器估計和消除擾動。目前，已經(jīng)有很多干擾觀測器被提出，如非線性干擾觀測器[17]、滑模干擾觀測器[18]、隨機自適應(yīng)干擾觀測器[19]、模糊干擾觀測器[20]和擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer，ESO)[21]等。本文結(jié)合連續(xù)滑?？刂破髋cESO 設(shè)計了一種針對磁懸浮球系統(tǒng)的連續(xù)滑模控制器。仿真和實驗結(jié)果表明，所提控制器在抑制抖振、減小穩(wěn)態(tài)誤差和抑制擾動等方面的性能均優(yōu)于連續(xù)滑?？刂破?，具有更強的抗干擾性能。

本文結(jié)構(gòu)如下，第1節(jié)給出磁懸浮球系統(tǒng)模型和問題描述；第2 節(jié)介紹ESO 及連續(xù)滑?？刂破鞯脑O(shè)計過程，并對控制器進行穩(wěn)定性分析；第3節(jié)設(shè)計仿真和實驗對比2種控制方法的性能；第4節(jié)給出本文的結(jié)論。

1 系統(tǒng)模型及問題描述

1.1 磁懸浮球控制系統(tǒng)建模

本文所采用的磁懸浮球控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其基本原理是通過改變施加到電磁鐵上的電壓或電流，以控制磁場強度的大小，進而使小球受到的磁力與其他外力相平衡，保持懸浮狀態(tài)。由于系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定的，為了使小球能在設(shè)定的位置穩(wěn)定懸浮，需要利用小球的狀態(tài)反饋信息設(shè)計一個實時的控制器。

圖1 磁懸浮球系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由圖1可知，磁懸浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以描述為

(1)

表1 磁懸浮球系統(tǒng)物理參數(shù)表

由式(1)可知，電磁力F(i,x)與i、x之間的關(guān)系均是非線性的，將電磁力在平衡位置x0處作泰勒級數(shù)展開，舍棄高階項得：

F(i,x)=F(i0,x0)+Fi(i0,x0)(i-i0)

+Fx(i0,x0)(x-x0)

(2)

將式 (2) 代入式 (1) 可得:

(3)

由式(1)、(3)可得小球位移x和功率放大器的輸入電壓u(t)的關(guān)系為

(4)

對式(4)等號兩邊進行拉普拉斯變換，可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

(5)

將表1數(shù)據(jù)帶入式(5)可得：

(6)

由式(6)可知，磁懸浮球系統(tǒng)可以近似為一個不穩(wěn)定的2階系統(tǒng)，因此，有必要設(shè)計一個閉環(huán)控制方法使得小球能夠到達設(shè)定位置。

1.2 問題描述

實際上，由于功率放大器輸出電流與電壓的關(guān)系為典型的1階慣性環(huán)節(jié)，而非比例關(guān)系，勵磁線圈又是感性負(fù)載，鐵芯具有磁阻，這些都會使系統(tǒng)模型存在不確定性，再加上外界擾動因素的干擾，因此很難取得良好的控制效果?？紤]系統(tǒng)中存在的不確定性和未知外界擾動，結(jié)合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式(6), 得到磁懸浮球系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

(7)

因此，有必要設(shè)計一種對不確定性和外界擾動具有良好魯棒性的控制器。

針對滑?？刂浦写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象和穩(wěn)態(tài)誤差，本文的控制目標(biāo)如下。

(1) 使鋼球能夠在平衡點附近位置保持穩(wěn)定，在控制過程中要有效抑制磁懸浮球的抖振現(xiàn)象，減小穩(wěn)態(tài)誤差；

(2) 當(dāng)系統(tǒng)控制輸入受到外界擾動時，小球位移軌跡能夠受到較小的影響，并盡快恢復(fù)到設(shè)定值。

2 控制器設(shè)計

2.1 磁懸浮球系統(tǒng)的 ESO 設(shè)計

(8)

定義觀測器增益矩陣L=[β1,β2,β3]T，對這個系統(tǒng)建立狀態(tài)觀測器，得:

(9)

(10)

上式可以描述為

(11)

其中，e=[e1,e2,e3]T。所以有

det(λI-A)=λ3+β1λ2+β2λ+β3

(12)

2.2 連續(xù)滑模控制器設(shè)計

本節(jié)考慮系統(tǒng)中存在的不確定性和未知外界擾動，討論不對擾動進行補償時連續(xù)滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性以及結(jié)合了ESO 之后連續(xù)滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性。

由于控制目標(biāo)是使小球在平衡位置附近穩(wěn)定懸浮，那么x1≠0，所以無法直接設(shè)計滑模函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)模型式(7)構(gòu)建如下誤差系統(tǒng)。

(13)

設(shè)計滑模面函數(shù)為

s=cδ1+δ2

(14)

求得等效控制律為

(15)

設(shè)計滑模趨近律為

(16)

聯(lián)立式(14)和式(16)，得到滑?？刂坡蔀?/p>

(17)

選取李雅普諾夫函數(shù):

(18)

結(jié)合控制率式(17)，對李雅普諾夫函數(shù)求1階導(dǎo)數(shù)，得:

=s[-cx2-a0x1-b0u0-x3]

=-k|s|α+1-sx3

≤-k|s|α+1+|sx3|

=-k|s|α+1+|s||x3|

=-|s|[k|s|α-|x3|]

(19)

注1上述控制器的設(shè)計沒有考慮到不確定性和外界擾動的影響，而實際上：

(20)

(21)

接著，對結(jié)合了ESO的連續(xù)滑?？刂破鬟M行穩(wěn)定性分析, 將控制律設(shè)計為

(22)

其中，k>0, 0<α<1。

李雅普諾夫函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)改變?yōu)?/p>

=-k|s|α+1+s[z3-x3]

=-k|s|α+1-se3

≤-k|s|α+1+|se3|

=-k|s|α+1+|s||e3|

=-|s|(k|s|α-|e3|)

(23)

注2控制器式(17)和式(22)中雖然有符號函數(shù)的存在，但由于有冪次項，因此它們都是連續(xù)滑模控制器。

3 控制仿真及實驗驗證

3.1 磁懸浮球系統(tǒng)的滑?？刂品抡?/h3>

綜合前述控制器，利用Simulink 仿真軟件對磁懸浮球控制系統(tǒng)進行仿真。為了模擬存在參數(shù)不確定性的磁懸浮球系統(tǒng)，改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(24)

設(shè)定磁懸浮球的懸浮位置為xr=42.5 mm，為了模擬系統(tǒng)受到外界擾動的干擾，在6～7 s內(nèi)給控制量加入1 V大小的方波擾動，圖2為仿真結(jié)果。其中，CSMC 表示連續(xù)滑模控制方法，ESO-CSMC表示結(jié)合了ESO 的連續(xù)滑?？刂品椒?。參數(shù)選擇為CSMC：c=16,k=4,α=0.75； ESO-CSMC：c=16,k=4,α=0.75,β1=1 000,β2=330 000,β3=31 250 000,b0=-0.3，其中b0為控制輸入增益。

(a) 小球的位移軌跡

(b) 系統(tǒng)控制量曲線

從圖2可知，當(dāng)存在模型不確定性時，CSMC能使系統(tǒng)到達穩(wěn)定狀態(tài)，但位移軌跡與設(shè)定值之間存在3.03 mm的穩(wěn)態(tài)誤差，這與2.2 小節(jié)注1的結(jié)論一致。當(dāng)給系統(tǒng)增加外界擾動時，系統(tǒng)的位移變化量和控制輸入變化量分別為3.9 mm和2.1 V，擾動消失后，系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過1 s恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)值。而結(jié)合ESO對系統(tǒng)擾動進行補償后，系統(tǒng)位移能夠很好地跟蹤設(shè)定軌跡，給系統(tǒng)增加外界持續(xù)擾動時，系統(tǒng)的位移變化量和控制輸入變化量分別為1.4 mm和1.5 V，擾動消失后，系統(tǒng)狀態(tài)只經(jīng)過0.42 s就恢復(fù)到了穩(wěn)態(tài)值，抑制了擾動給系統(tǒng)帶來的影響。

3.2 磁懸浮球系統(tǒng)的滑模控制實驗驗證

為了驗證所提出的ESO-CSMC控制方法的干擾抑制能力, 將其與CSMC控制方法進行比較。參數(shù)選擇為CSMC：c=18,k=4,α=0.75； ESO-CSMC：c=18,k=4,α=0.75;β1=1 000,β2=330 000,β3=31 250 000,b0=-0.28。本文所采用的磁懸浮球系統(tǒng)實驗平臺如圖3所示。

圖3 磁懸浮球系統(tǒng)實驗平臺

在6～7 s內(nèi)給控制量加入0.4 V大小的方波擾動，磁懸浮球的位移軌跡如圖4所示。

由圖4可知，采用CSMC時，系統(tǒng)位移狀態(tài)會出現(xiàn)較大的穩(wěn)態(tài)誤差，小球的抖振現(xiàn)象也更加嚴(yán)重，而對系統(tǒng)擾動進行補償后，穩(wěn)態(tài)誤差基本消除，抖振幅度也減小了很多，由外界擾動引起的位移軌跡偏移量和控制輸入變化量也減小了很多，因此系統(tǒng)的魯棒性也得到增強。當(dāng)外界持續(xù)擾動消失后，系統(tǒng)能夠更快復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)，證明系統(tǒng)具有了更強的穩(wěn)定性。實驗結(jié)果與仿真結(jié)果一致。具體的控制性能指標(biāo)見表2。

其中，emax表示擾動引起的最大位置偏移量，tc代表收斂到穩(wěn)態(tài)的時間。

(a) 小球的位移軌跡(CSMC)

(b) 小球的位移軌跡(ESO-CSMC)

(c) 控制量曲線(CSMC)

(d) 控制量曲線(ESO-CSMC)

圖4 磁懸浮球滑模控制實驗驗證

表2 控制性能指標(biāo)參數(shù)表(實驗驗證)

綜上所述，對比連續(xù)滑模控制方法，本文方法在抑制系統(tǒng)抖振現(xiàn)象、減小穩(wěn)態(tài)誤差和抑制擾動方面具有更加優(yōu)良的性能。

4 結(jié) 論

本文針對磁懸浮球系統(tǒng)具有模型不確定性和易受外界擾動影響的特點，設(shè)計了一種基于ESO的連續(xù)滑?？刂破鳎ㄟ^ESO將系統(tǒng)中的擾動估計出來，并用作連續(xù)滑?？刂破鞯难a償量，抑制了抖振現(xiàn)象，減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提升了系統(tǒng)的抗干擾性能，而且控制器設(shè)計較為簡單，可以較為容易地推廣到實際應(yīng)用中。