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        RS柯西碼編碼算法改進(jìn)研究

        2020-06-09 07:20:04煒,于瀛,唐
        關(guān)鍵詞:優(yōu)化

        袁 煒,于 瀛,唐 聃

        成都信息工程大學(xué) 軟件工程學(xué)院,成都610225

        1 引言

        隨著大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)的蓬勃發(fā)展,擁有巨大存儲量的分布式存儲系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用。數(shù)據(jù)存儲量呈現(xiàn)指數(shù)級增長,對存儲系統(tǒng)的數(shù)據(jù)可靠性提出了更高的要求。根據(jù)調(diào)查報(bào)告顯示,在2015年,全球的存儲數(shù)據(jù)量達(dá)到8.61 ZB,并且推斷10年后,全球用于存儲的服務(wù)器總量將增長10倍[1]。分布式存儲系統(tǒng)的規(guī)模越大,節(jié)點(diǎn)越多,節(jié)點(diǎn)失效的概率也越大。因此,在節(jié)點(diǎn)失效的情況下,分布式存儲系統(tǒng)需要使用一種數(shù)據(jù)容錯(cuò)技術(shù)來保障數(shù)據(jù)的可靠性,能夠繼續(xù)提供服務(wù)。

        目前,常見的數(shù)據(jù)容錯(cuò)技術(shù)主要有多副本技術(shù)和糾刪碼容錯(cuò)技術(shù)。其中,多副本技術(shù)是在分布式存儲系統(tǒng)中最為常見的容錯(cuò)技術(shù)。著名的云存儲系統(tǒng)GFS[2]和Hadoop[3]都采用了此技術(shù)。多副本技術(shù)具有方案簡潔、易于實(shí)施、構(gòu)建成本低、便于擴(kuò)展、無需任何運(yùn)算等明顯優(yōu)勢。但到了大數(shù)據(jù)時(shí)代,多副本技術(shù)需要消耗巨大的存儲空間來維持其高容錯(cuò)能力。這導(dǎo)致其無法滿足數(shù)據(jù)中心等大規(guī)模的分布式存儲系統(tǒng)的需求。與多副本技術(shù)相比,在相同的容錯(cuò)能力下,糾刪碼容錯(cuò)技術(shù)的修復(fù)帶寬和更新代價(jià)更小,存儲效率更高。糾刪碼容錯(cuò)技術(shù)利用編碼算法生成冗余數(shù)據(jù),來實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)的容錯(cuò)。編碼理論由Shannon C E首次提出,最初的應(yīng)用主要在于網(wǎng)絡(luò)通信領(lǐng)域,解決網(wǎng)絡(luò)傳輸中的傳輸錯(cuò)誤以及數(shù)據(jù)包丟失問題[4]。之后,Rizzo L 在1997 年的文獻(xiàn)[5]中提出利用糾刪碼提高通信協(xié)議的可靠性的方法,也提出可將其應(yīng)用在分布式存儲系統(tǒng)中增強(qiáng)數(shù)據(jù)可靠性。

        在分布式存儲系統(tǒng)中,糾刪碼容錯(cuò)技術(shù)的研究熱點(diǎn)主要在兩大方面。一是陣列碼。陣列碼的編解碼過程都只涉及二進(jìn)制異或運(yùn)算,具有構(gòu)建方法簡單,易于軟硬件實(shí)現(xiàn),運(yùn)算效率高的特點(diǎn)。但陣列碼的容錯(cuò)能力低以及對存儲陣列尺寸有嚴(yán)格的要求,限制了陣列碼的實(shí)用性。典型的MDS 陣列碼中有二容錯(cuò)的EVENODD[6]碼和X[7]碼,三容錯(cuò)的STAR[8]碼。但是目前為止還沒有出現(xiàn)容錯(cuò)能力大于3的MDS 陣列碼。第二便是RS碼?;赗S碼的糾刪碼容錯(cuò)技術(shù)是分布式存儲系統(tǒng)容錯(cuò)的熱門選擇。分布式存儲系統(tǒng)Ceph 以及前不久推出的Hadoop 3.0 都采用了基于RS 碼的糾刪碼容錯(cuò)技術(shù)。RS 碼是糾刪碼體系中唯一一種能夠糾任意錯(cuò)的MDS碼,在理論上容錯(cuò)能力不受限制且擁有最優(yōu)的存儲效率。然而RS 碼的編解碼過程中涉及多元有限域的運(yùn)算,尤其是多元有限域的乘法運(yùn)算,這使得RS碼的計(jì)算復(fù)雜度高,嚴(yán)重影響了RS 碼的編解碼效率。復(fù)雜的計(jì)算使得計(jì)算代價(jià)過高,而這種計(jì)算代價(jià)是大規(guī)模分布式存儲系統(tǒng)難以承受的。

        針對RS 碼的計(jì)算效率問題,學(xué)者們提出了一些優(yōu)化方案。例如,通過查表的方式進(jìn)行有限域的運(yùn)算[9];將多元有限域的運(yùn)算轉(zhuǎn)換到二元域上[10];又或是通過指令集來加快多元有限域運(yùn)算的GF-Complete[11]。其中最典型的方法是將多元有限域的計(jì)算轉(zhuǎn)換到二元域上。從以上的優(yōu)化方案可以看出,目前對RS 碼的優(yōu)化主要集中于對有限域運(yùn)算的優(yōu)化,對RS 碼本體的優(yōu)化相對較少。本文提出一種方法在RS 柯西碼的基礎(chǔ)上,根據(jù)柯西碼的一些特性,減少計(jì)算量,并將柯西碼陣列化,降低計(jì)算復(fù)雜度,最后,通過一種重復(fù)運(yùn)算優(yōu)化算法再次減少計(jì)算量,以此提高編碼效率。該方法使得編解碼過程只需異或運(yùn)算和較少的計(jì)算量,這對提高RS 碼在分布式存儲系統(tǒng)容錯(cuò)領(lǐng)域的實(shí)用性有著重要意義。

        2 RS柯西碼

        2.1 算法核心

        1960 年Reed I 首次提出RS 碼[12]。RS 碼主要分為兩種:一種是范德蒙碼; 另一種是柯西碼[13]。兩者的區(qū)別在于其選擇的生成矩陣不同,范德蒙碼采用的是范德蒙矩陣,而柯西碼采用的是柯西矩陣。所以,柯西碼的算法核心在于柯西矩陣的構(gòu)建。

        定義1 設(shè)X 和Y 是有限域中的兩個(gè)元素集。其中,X={x1,x2,…,xm} ,Y={y1,y2,…,yn}。若滿足?i ∈{1,2,…,m},?j ∈{1,2,…,n}有:

        (1)xi+yj≠0;

        (2)?i,j ∈{1,2,…,m},i ≠j,xi≠xj;

        (3)?i,j ∈{1,2,…,n},i ≠j,yi≠yj。

        稱下列矩陣為柯西矩陣:

        以上便是柯西矩陣的定義。

        2.2 二進(jìn)制矩陣

        RS碼的經(jīng)典優(yōu)化方法是利用二進(jìn)制矩陣表示有限域元素進(jìn)行運(yùn)算[9]。這一方法極大地減少了有限域的運(yùn)算復(fù)雜度,本文提出的方法需借助此方法將RS 柯西碼進(jìn)行陣列化。接下來對其進(jìn)行簡要介紹。

        二進(jìn)制矩陣的構(gòu)造方法如下:

        首先,求有限域元素的系數(shù)向量。多項(xiàng)式g(x)可以表示有限域GF(2w)上的所有元素,其中GF(2)),列向量v(x)=(g0,g1,…,gw-1)T稱為多項(xiàng)式的系數(shù)向量。

        然后根據(jù)定義2構(gòu)造二進(jìn)制矩陣。

        定義2 對于任意元素e ∈GF(2w),設(shè)α(e)是一個(gè)第i 列為xie mod p(x)的系數(shù)向量的二進(jìn)制矩陣,其中p(x)是GF(2w)中度為w 的不可約多項(xiàng)式。

        這些二進(jìn)制矩陣擁有以下性質(zhì):

        性質(zhì)1 α 是GF(2w)到β(GF(2w))的同構(gòu),并且有:

        (1)α(0)是一個(gè)全0矩陣;

        (2)α(1)是一個(gè)單位矩陣;

        (3)α 是一個(gè)單射;

        (4)對于任意兩個(gè)元素a,b ∈GF(2w),有α(a+b)=α(a)+α(b);

        (5)對于任意兩個(gè)元素a,b ∈GF(2w),有α(ab)=α(a)α(b)。

        在RS柯西碼中,首先選取元素集X 、Y ,然后根據(jù)X 和Y 構(gòu)建柯西矩陣,最后,將柯西矩陣中的有限域元素用二進(jìn)制矩陣表示。如此便達(dá)到將有限域運(yùn)算轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的異或運(yùn)算的目的。

        例如,在有限域GF(23)上,構(gòu)建3 個(gè)數(shù)據(jù)塊,2 個(gè)校驗(yàn)塊的RS柯西碼。

        方案1 設(shè)選取的元素集為X={1,2},Y={0,3,4},得到的柯西矩陣和替換后的柯西矩陣為:

        方案2 設(shè)選取的元素集為X={2,7},Y={0,1,4},得到的柯西矩陣和替換后的柯西矩陣為:

        替換后的RS柯西碼的異或計(jì)算量等于替換后的柯西矩陣中1 的數(shù)量減去矩陣行數(shù)。以上給出的兩個(gè)方案,方案1矩陣中1的數(shù)量為25,方案2矩陣中1的數(shù)量為37,方案2的計(jì)算量是方案1的計(jì)算量的163%??梢娺x取的元素集不同,RS柯西碼的計(jì)算量也會大不相同。

        3 RS柯西碼優(yōu)化算法研究

        在文獻(xiàn)[14]中,也提出選取的元素集不同,RS 柯西碼的計(jì)算量會改變的觀點(diǎn),并對其進(jìn)行較為深入的研究。為研究替換后的柯西矩陣中1的數(shù)量,根據(jù)柯西矩陣的性質(zhì),構(gòu)建1 數(shù)量矩陣ONES(w),其中,矩陣中的值ONES(w)i,j是二進(jìn)制矩陣α()中1 的數(shù)量[14]。而在矩陣ONES(w)中選取n(數(shù)據(jù)塊數(shù)量)行以及m(校驗(yàn)塊數(shù)量)列,行列相交的值之和便是替換后柯西矩陣中1 的數(shù)量。但在文獻(xiàn)[14]中,并未有選取元素集X 、Y 得到1 數(shù)量最少的柯西矩陣的合適方法,只能通過枚舉的方法得到。在之后的已知文獻(xiàn)中也未有提到過選取元素集的最優(yōu)方法。

        于是,本文提出一種優(yōu)化方法:以一種貪心算法來選取元素集得到局部最優(yōu)的柯西矩陣,再將其陣列化,并進(jìn)行運(yùn)算優(yōu)化,使得計(jì)算量更加接近甚至超過最優(yōu)柯西矩陣的RS柯西碼。

        接下來,介紹在有限域GF(2w)上,構(gòu)建n 個(gè)數(shù)據(jù)塊,m 個(gè)校驗(yàn)塊的RS柯西碼的貪心算法以及陣列化優(yōu)化方法。

        3.1 貪心算法

        通過對矩陣ONES(w)的研究,發(fā)現(xiàn)矩陣ONES(w)沿斜率為-1 的斜對角線對稱,并且第2i 、2i+1(0 ≤i ≤2w-1-1)行與第2j 、2j+1(0 ≤j ≤2w-1-1)列相交區(qū)域也沿斜率為-1的斜對角線對稱,故而只需要保證X 、Y 在ONES(w)上半部分相加之和越小,則柯西矩陣中1 的數(shù)量越小。為方便描述,設(shè)有限域中元素e 對應(yīng)的二進(jìn)制矩陣中1的數(shù)量為We。

        以下是貪心算法的詳細(xì)步驟:

        步驟1 在U1={0,1,2,…,2w-1-1}中,選取2w-2個(gè)元素{x1,x2,…,x2w-2}(除0以外),將這些元素歸入X1,選取條件為:

        步驟2 再將U1-X1 剩余的2w-2個(gè)元素歸入Y1。

        步驟3 在U2={2w-1,2w-1+1,…,2w-1} 中,選取2w-2個(gè)元素{x2w-2+1,x2w-2+2,…,x2w-1},將這些元素歸入X2,選取條件為:

        步驟4 再將剩余的U2-X2 個(gè)元素歸入Y2。

        步驟5

        (1)當(dāng)m >n 時(shí)

        ①m ≤2w-1,如果n%2=0 ,則取num=n/2;如果n%2 ≠0,則取num=(n+1)/2。從X1 中選取num 個(gè)元素{x1,x2,…,xnum}歸入X3 中,選取條件:

        ②n ≤2w-1,將Y1,Y2 合并成Y3,Y3={y1,y2,…,y2w-1} ,從Y3 選取n 個(gè)元素歸于Y 中,選取條件:

        (2)當(dāng)m ≤n 時(shí)

        ①n ≤2w-1,如果m%2=0,則取num=m/2;如果m%2 ≠0 ,則取num=(m+1)/2。從Y1 中選取num 個(gè)元素{y1,y2,…,ynum}歸入Y3 中,選取條件:;從Y2 中選取m-num 個(gè)元素{ynum+1,ynum+2,…,yn} 歸 入Y4 中,選 取 條 件:。然后將Y3,Y4 合并成Y 。

        ②m ≤2w-1,將X1,X2 合并成X3,X3={x1,x2,…,x2w-1},從X3 選取m 個(gè)元素{x1,x2,…,xm}歸于X 中,選取條件:

        步驟6

        (1)當(dāng)集合X 中的元素個(gè)數(shù)x_num 小于m 時(shí),從G(2w)-X-Y 中選取 m-x_num 個(gè)元素{xx_num+1,xx_num+2,…,xm}歸于X5 中,選取條件:

        然后,將X5 合并入X 中。

        (2)當(dāng)集合Y 中的元素個(gè)數(shù)y_num小于n時(shí),從G(2w)-X-Y 中選取n-y_num 個(gè)元素{yy_num+1,yy_num+2,…,yn}歸于Y5 中,選取條件:

        然后,將Y5 合并入Y 中。

        這樣就得到了最后的X 、Y 。本文算法雖在每一步都取1數(shù)量最少的元素,但是還無法保證最終總是取得最優(yōu)解。

        3.2 陣列化及其運(yùn)算優(yōu)化方法

        根據(jù)3.1節(jié)的貪心算法,在有的情況下,還無法得到1數(shù)量最小的柯西矩陣。于是繼續(xù)將其陣列化,并對陣列進(jìn)行優(yōu)化。將其陣列化既能夠方便進(jìn)行運(yùn)算優(yōu)化,又能夠在譯碼時(shí)使用更簡單高效的譯碼方法,避免使用復(fù)雜度高的RS柯西碼的方程求解譯碼法。

        以下是陣列化以及運(yùn)算優(yōu)化方法的步驟:

        步驟1 設(shè)3.1節(jié)得到的元素集為X 、Y 。根據(jù)元素集X 、Y 構(gòu)建柯西矩陣M1。然后將矩陣M1 中有限域元素用二進(jìn)制矩陣表示,替換后的矩陣為M2。

        步驟2 將RS 柯西碼原來的n 個(gè)數(shù)據(jù)塊,每一個(gè)切分為w 塊。設(shè)這n×w 個(gè)數(shù)據(jù)塊分別為D1,1,D1,2,…,D1,w,D2,1,…,Dn,w。

        步驟3 計(jì)算校驗(yàn)塊所需的數(shù)據(jù)塊。

        其中:

        步驟4 進(jìn)行陣列布局。為了不影響RS 柯西碼的MDS 性質(zhì),將原本屬于一個(gè)節(jié)點(diǎn)的抽象數(shù)據(jù)塊放置于同一列上,條帶大小依舊保持與原始的RS 柯西碼一致。設(shè)排列后的陣列為A1。

        步驟5 進(jìn)行運(yùn)算優(yōu)化。

        (1)R1,1,R1,2,…,R1,w,R2,1,…,Rm,w都是由D1,1,D1,2,…,D1,w,D2,1,…,Dn,w進(jìn)行異或計(jì)算得到。因此,將D1,1,D1,2,…,D1,w,D2,1,…,Dn,w中每一個(gè)數(shù)據(jù)塊都視作一個(gè)點(diǎn)。所有點(diǎn)組成點(diǎn)集P 。將R1,1,R1,2,…,R1,w,R2,1,…,Rm,w組成計(jì)算式集。

        (2)遍歷計(jì)算式集中的計(jì)算式,如有Da1,b1⊕Da2,b2⊕Da3,b3(0 <ai <n,0 <bi <m,i=1,2,3) ,則 將 點(diǎn)Da1,b1與 點(diǎn)Da2,b2,點(diǎn)Da1,b1與點(diǎn)Da3,b3,點(diǎn)Da2,b2與點(diǎn)Da3,b3連線。若是兩點(diǎn)之間之前并沒有連線,則進(jìn)行連線,次數(shù)記為1;如果兩點(diǎn)之間已有連線,則次數(shù)加1。

        (3)當(dāng)將計(jì)算式集中所有的計(jì)算式都連線完畢后,統(tǒng)計(jì)n×w 個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖中兩點(diǎn)之間的次數(shù),保留次數(shù)最大的一條或多條線,如果次數(shù)都為1 則直接繼續(xù)步驟(5)。

        (4)在保留的線中,如果只有一條線,則直接將線的兩個(gè)端點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)據(jù)塊組成的計(jì)算式,作為替換式;如果有多條線,則從中選取不相交的線,將這些不相交的線的兩個(gè)端點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)據(jù)塊組成的計(jì)算式,作為替換式。

        (5)利用替換式,替換陣列。最后,將替換式也視為點(diǎn),加入點(diǎn)集中,重新進(jìn)行步驟(2)。

        (6)所有替換完成后,最終陣列為A2,將A2 中還依然保留的替換式保存到集合S 中。

        當(dāng)以上步驟都完成后,便完成了對RS 柯西碼的優(yōu)化過程。優(yōu)化過程只需運(yùn)行一次,之后的編碼直接按照構(gòu)建好的陣列以及替換式進(jìn)行編碼,無需重復(fù)執(zhí)行。

        4 具體實(shí)例

        上一章對優(yōu)化算法進(jìn)行了系統(tǒng)的講解,本章將采用典型的實(shí)例來進(jìn)一步分析和說明本文算法。

        例 以在有限域上數(shù)據(jù)塊數(shù)為4,校驗(yàn)塊數(shù)為3 的RS柯西碼為例。接下來,分為兩步簡要介紹該RS柯西碼的優(yōu)化方法。

        (1)貪心算法選取X 、Y

        步驟1 構(gòu)建有限域GF(23)的ONES(3)矩陣。

        按照ONES(w)矩陣的構(gòu)造方法,構(gòu)造ONES(3)矩陣。得到矩陣如下:

        柯西矩陣的X 中的元素不能與Y 的元素相等,所以矩陣ONES(w)對角線沒有值。

        步驟2 設(shè)X1 是從U1={0,1,2,3} 中選取2 個(gè)元素(除0 以外)組成的集合。即從矩陣ONES(3)的第0 行中的第1、2、3列中選取值最小的兩列,將選取的列的序號加入到集合X1 中。X1={1,2}。

        步驟3 將剩余的0、3列加入集合Y1。Y1={0,3}。

        步驟4 在U2={4,5,6,7}中選取兩個(gè)元素組成X2。即從矩陣ONES(3)的第4,5,6,7列中選取第0和3行相加值最小的兩列,將選取的列的序號加入到集合X2中。X2={4,5}。

        步驟3 進(jìn)行陣列布局,得到陣列:

        步驟5 Y2=U2-X2={6,7}。

        步驟6 因?yàn)閚 >m,n=23-1,m%2=1,取num=2。從Y1 中選取2 個(gè)元素組成Y3。Y3={0,3}。從Y2 中選取1個(gè)元素組成Y4。Y4={6}。然后將Y3,Y4 合并為Y 。Y={0,3,6}。

        步驟7 因?yàn)閙=23-1。將X1,X2合并為X3。X3={1,2,4,5}。從X3 中選取3個(gè)元素組成X 。X={1,2,4}。選取條件為:

        步驟8 集合Y 中的元素個(gè)數(shù)小于n,從G(2w)-XY 中選取1個(gè)元素組成Y5。Y5={5}。選取條件為:

        然后將Y5 的元素添加入Y 中。

        (2)陣列化并進(jìn)行陣列運(yùn)算優(yōu)化

        步驟1 根據(jù)貪心算法得到元素集X={1,2,4}和Y={0,3,5,6}構(gòu)建柯西矩陣。并用2.2節(jié)所述的二進(jìn)制矩陣替換矩陣中有限域元素,替換后的柯西矩陣為M2。

        步驟2 取12個(gè)數(shù)據(jù)塊,標(biāo)記為D1,1,…,D1,3,D2,1,…,D4,3,計(jì)算冗余陣列:

        步驟4 將數(shù)據(jù)塊D1,1,D1,2,D1,3,D2,1,…,D4,3視為視為點(diǎn)。所有點(diǎn)組成點(diǎn)集P。將R1,1,R1,2,R1,3,R2,1,…,R3,3組成計(jì)算式集。

        步驟5 遍歷計(jì)算集,對點(diǎn)集中的點(diǎn)進(jìn)行連線,記錄次數(shù)。如圖1所示。

        圖1 第一次連線圖

        圖1 中只展示了部分次數(shù)較多的線條??梢娺B線次數(shù)最多為4,選擇次數(shù)為4的不相交的連線(如紅色線條)。然后將和作為替換式。將替換式對整個(gè)陣列進(jìn)行替換。最后,將替換式也視為點(diǎn),加入點(diǎn)集中。再次進(jìn)行步驟5,直到連線次數(shù)最多為1。

        步驟6 所有替換完成后,最終陣列為,將依然保留的替換式保存到集合中。如下所示:

        優(yōu)化結(jié)束,優(yōu)化后的RS 柯西碼直接根據(jù)陣列A2和集合S 就可以直接編碼,類似于陣列碼的編碼過程。

        5 性能分析與對比

        對于糾刪碼而言,其關(guān)鍵在于編解碼,本文主要研究的是RS柯西碼的編碼優(yōu)化方法。本文提出的改進(jìn)算法在確定了數(shù)據(jù)塊數(shù)量和冗余塊數(shù)量后,需要先進(jìn)行貪心算法,陣列化以及運(yùn)算優(yōu)化一系列過程后,才能進(jìn)行編碼。在這一過程中,貪心算法需要消耗一定的計(jì)算資源,但是此過程在固定了數(shù)據(jù)塊和冗余塊數(shù)量的情況下只需要執(zhí)行一次,之后的編碼過程按照最后優(yōu)化后的陣列進(jìn)行異或運(yùn)算編碼即可。所以在分布式存儲系統(tǒng)中,一次貪心算法所消耗的計(jì)算資源完全可以接受。

        5.1 更高的編碼效率

        在有了二進(jìn)制矩陣替換有限域元素的方法,將復(fù)雜的有限域運(yùn)算轉(zhuǎn)換為簡單的異或運(yùn)算,RS 柯西碼的計(jì)算復(fù)雜度得到了一定程度的降低。但集合X 、Y 的不同,對RS柯西碼的編碼效率影響非常大。目前,并沒有一個(gè)好的方法去得到最優(yōu)集合X 和Y ,只能通過遍歷得到,隨著規(guī)模加大,得到最優(yōu)集合的代價(jià)也會隨之增加。也有采取隨機(jī)的方式來選取集合X 和Y ,但得到的柯西矩陣的1的數(shù)量無法得到保證。圖2展示了優(yōu)化后的RS 柯西碼與遍歷最優(yōu)RS 柯西碼、隨機(jī)RS 柯西碼的編碼所需異或數(shù)對比情況,并且以兩種不同條件進(jìn)行更全面的展示。圖2(a)展示的是在保持校驗(yàn)塊數(shù)為4,有限域?yàn)镚F(24)的條件下,數(shù)據(jù)塊數(shù)從4到9編碼所需的異或數(shù)變化情況。圖2(b)展示的是在保持?jǐn)?shù)據(jù)塊數(shù)為4,有限域?yàn)镚F(24)的條件下,校驗(yàn)塊數(shù)從4到8編碼所需的異或數(shù)變化情況。從圖中可以看出經(jīng)過優(yōu)化后的RS 柯西碼編碼所需的異或數(shù)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[14]的遍歷最優(yōu)RS 柯西碼,并且選取集合X 、Y 的代價(jià)也相對較小。

        圖2 優(yōu)化后的RS柯西碼的編碼所需異或數(shù)對比

        編碼效率不僅能夠通過編碼所需的異或數(shù)來體現(xiàn)。通過編碼時(shí)間也能更直觀地反應(yīng)編碼的效率。圖3與圖4 分別展示了優(yōu)化后的RS 柯西碼與EVENODD碼、STAR 碼分別對1~10 MB 的文件進(jìn)行編碼的編碼時(shí)間對比情況,并分為數(shù)據(jù)塊數(shù)為5 和7 分別進(jìn)行對比。從圖中可以看出經(jīng)過優(yōu)化的RS柯西碼的編碼時(shí)間與以編碼效率著稱的陣列碼中的代表EVENODD碼和STAR碼相差不大,甚至有一些優(yōu)勢。并且對于EVENODD碼和STAR碼,容錯(cuò)超過3便失效了。可見優(yōu)化后的RS柯西碼編碼效率有了很大幅度的提升。

        圖3 優(yōu)化后的RS柯西碼與EVENODD碼的編碼時(shí)間對比

        圖4 優(yōu)化后的RS柯西碼與STAR碼的編碼時(shí)間對比

        5.2 更簡單高效的譯碼方案選擇

        本文提出的優(yōu)化方法雖然主要是提升編碼效率,但是對RS 柯西碼的譯碼也有積極的影響。未優(yōu)化前的RS 柯西碼雖然通過將有限域的運(yùn)算轉(zhuǎn)換為異或運(yùn)算,對譯碼的效率有所提升。但其在譯碼過程中仍未消除需要對矩陣進(jìn)行求逆這一復(fù)雜的操作,這也導(dǎo)致譯碼效率無法得到更有效的提升。經(jīng)過優(yōu)化后的RS柯西碼在編碼的過程中更貼近于陣列碼的編碼過程,因此可以選擇使用更簡單高效的譯碼方法,不需要對矩陣進(jìn)行求逆。例如文獻(xiàn)[15]中提出矩陣譯碼方法,在陣列碼中的應(yīng)用最佳,利用該方法對優(yōu)化后的RS 柯西碼進(jìn)行譯碼。省去對矩陣求逆這一復(fù)雜操作,且譯碼過程只涉及異或運(yùn)算,譯碼效率將有大幅度的提升。

        6 結(jié)束語

        本文在分析RS 柯西碼算法存在的缺陷的基礎(chǔ)上,提出利用貪心算法和二進(jìn)制矩陣對RS柯西碼編碼的改進(jìn)算法。改進(jìn)后的RS柯西碼采用貪心算法減少了柯西矩陣中1 的數(shù)量,一定程度上降低了計(jì)算量,提高了編碼效率。同時(shí),在改進(jìn)的RS 柯西碼中利用二進(jìn)制矩陣進(jìn)行陣列化,降低計(jì)算復(fù)雜度,并加以運(yùn)算優(yōu)化,再次提升編碼效率,從而使算法能夠跳出局部最優(yōu)的局限,將編碼效率提升至接近甚至超越最優(yōu)解。

        通過仿真實(shí)驗(yàn)和分析可知,改進(jìn)算法不僅大幅度減少了計(jì)算量,有著較高的編碼效率,并且對譯碼來說,經(jīng)過陣列化的編碼過程能夠選擇更為高效簡單的譯碼方法,一定程度上提高譯碼效率,算法有較高的實(shí)用性。

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