張丹丹

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院 上海 200093）

1 引言

在每一個(gè)制造系統(tǒng)中，設(shè)備在運(yùn)行過程中發(fā)生故障可能會(huì)使生產(chǎn)停滯，造成經(jīng)濟(jì)損失。為了避免這種情況的發(fā)生，應(yīng)在定期生產(chǎn)后注意預(yù)防性維護(hù)，以便制造系統(tǒng)能夠在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)不發(fā)生故障［1］。針對(duì)此問題，有許多學(xué)者提出了不同的模型［2～4］。比如，Douer and Yechiali［5］以設(shè)備長期運(yùn)行的期望成本最小化為目標(biāo)函數(shù)，確定了單臺(tái)設(shè)備的最佳預(yù)防維修周期。胡飛［6］以期望長期成本率最低為決策依據(jù)，權(quán)衡預(yù)防維修所節(jié)省的成本開支和同時(shí)增加的維修費(fèi)用，提出了一個(gè)定期預(yù)防維修策略，并給出了求解最優(yōu)解的有效算法。但是根據(jù)系統(tǒng)中的機(jī)械情況，維護(hù)期可能需要不同的時(shí)間，而且維護(hù)時(shí)間過長會(huì)造成短缺，此時(shí)可在設(shè)備之間設(shè)置一個(gè)緩沖區(qū)，以實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)系統(tǒng)高效運(yùn)行。四十多年來，有許多的學(xué)者對(duì)帶緩沖區(qū)的生產(chǎn)系統(tǒng)維修優(yōu)化模型進(jìn)行了深入而廣泛的研究。比如，Wijngaard［7］首次考慮設(shè)備的緩沖區(qū)庫存，將設(shè)備狀態(tài)分為m+1 個(gè)階段，第0階段表示設(shè)備為全新，第m階段表示設(shè)備發(fā)生故障需要進(jìn)行維修，并運(yùn)用隨機(jī)模型研究設(shè)備的可靠性，評(píng)估緩沖區(qū)對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)產(chǎn)量的影響。2013 年 Bouslah 等［8］研究設(shè)備故障率高、產(chǎn)品缺陷率高、并帶有中間緩沖庫存的生產(chǎn)系統(tǒng)，如何確定出生產(chǎn)批量，并制定出產(chǎn)品質(zhì)量控制策略。呂文元等［9］主要解決當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障造成停機(jī)時(shí)間較長的情況下，應(yīng)該如何修正基本檢查模型并優(yōu)化維修間隔期期間的決策問題。在當(dāng)今激烈競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)環(huán)境下，越來越多的制造企業(yè)以延長售后保修期限招攬更多顧客。保修期限策略能夠保證消費(fèi)者在產(chǎn)品出現(xiàn)故障時(shí)得到經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償，廠商利用保修期限策略提高產(chǎn)品的銷售量，保修期限策略已經(jīng)成為一種重要非價(jià)格的競(jìng)爭(zhēng)手段［10］。Jack and Van der Duyn Schouten［11］從生產(chǎn)商的角度出發(fā)，研究了可維修產(chǎn)品在免費(fèi)更換保修下的最優(yōu)維修更換策略。

目前大多數(shù)研究都考慮的是設(shè)備維修和庫存控制的聯(lián)合優(yōu)化，或者是就售后產(chǎn)品所進(jìn)行的維修和更換方法。本文將會(huì)綜合考慮基于出售免費(fèi)最小保修產(chǎn)品的生產(chǎn)系統(tǒng)的最優(yōu)的緩沖區(qū)庫存量和預(yù)防性維護(hù)周期，通過降低生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用、設(shè)備預(yù)防維修費(fèi)用、產(chǎn)品最小維修費(fèi)用、材料費(fèi)用、勞務(wù)費(fèi)用、能源費(fèi)用、庫存費(fèi)用及缺貨費(fèi)用來降低每單位產(chǎn)品的成本。

2 基本假設(shè)和符號(hào)

帶緩沖區(qū)的設(shè)備由如圖1 所示的基本單元組成。Si為連接兩個(gè)設(shè)備Mi和Mi+1的緩沖區(qū)，設(shè)備Mi為緩沖區(qū)Si的上游設(shè)備，設(shè)備Mi+1為緩沖區(qū)Si的下游設(shè)備。設(shè)備Mi以速率p生產(chǎn)零件，而設(shè)備Mi+1以需求率α從緩沖區(qū)Si獲得零件，假設(shè)p＞α，即每一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，緩沖區(qū)Si內(nèi)的在制品將多(p-α)個(gè)零件。

圖1 基本單元

為更有效地描述模型，做如下基本假設(shè)和符號(hào)定義：

符號(hào)：K為生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用；α為需求率；p為生產(chǎn)率；Cm為單位數(shù)量的產(chǎn)品所需的材料、勞動(dòng)和能源費(fèi)用；Co為單位時(shí)間的預(yù)防維修費(fèi)用；Ch為單位時(shí)間內(nèi)單位數(shù)量的產(chǎn)品的庫存費(fèi)用；Cs為單位數(shù)量的產(chǎn)品的缺貨費(fèi)用；Cr為單位數(shù)量的產(chǎn)品最小維修費(fèi)用；T為每個(gè)循環(huán)的生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間；S為緩沖庫存；w為保修期；t為預(yù)防性維護(hù)時(shí)間，這是一個(gè)隨機(jī)變量；φ(t)為t的概率密度函數(shù)。

假設(shè)：

1）需求率隨著時(shí)間的推移是確定性的和恒定的；

2）對(duì)產(chǎn)品采用免費(fèi)的最小維修保修政策；

3）經(jīng)過時(shí)間T后，庫存達(dá)到S，此時(shí)立即停止生產(chǎn)并進(jìn)行預(yù)防性維修；

4）定期進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)，保證在生產(chǎn)運(yùn)行期間（T）制造系統(tǒng)的故障概率為0；

5）在任何預(yù)防性維護(hù)開始時(shí)，緩沖區(qū)庫存為S，該庫存不會(huì)劣化；

6）如果預(yù)防維修結(jié)束后，庫存大于0，則中止生產(chǎn)，直至庫存降為0才開始生產(chǎn)；

7）如果在庫存降為0 時(shí)，預(yù)防性維護(hù)還沒有結(jié)束，則會(huì)發(fā)生缺貨，等到預(yù)防性維護(hù)結(jié)束則繼續(xù)開始生產(chǎn)。

3 模型的建立

在本文中，生產(chǎn)單元運(yùn)行一段時(shí)間T之后發(fā)生預(yù)防性維護(hù)中斷。在[0 ，t]期間，緩沖區(qū)S以速率(p-α)建立［11～12］。這里，緩沖區(qū)S在 [0 ，t]期間累積以滿足需求率α。因此，S=(p-α)T，即生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間T=S/(P-α)。

在時(shí)間T結(jié)束時(shí)，定期預(yù)防性維護(hù)開始并持續(xù)到t時(shí)刻。這個(gè)時(shí)間，t是隨機(jī)概率密度函數(shù)φ(t)的隨機(jī)變量。在維護(hù)期間，缺貨時(shí)間為

因此，每個(gè)預(yù)防性維護(hù)周期的缺貨數(shù)量為

缺貨數(shù)量的期望為

缺貨的期望費(fèi)用為

保修期[0 ，w] 內(nèi)單位數(shù)量的產(chǎn)品小修的平均次數(shù)為

所以，產(chǎn)品小修的平均費(fèi)用為

庫存的期望費(fèi)用為

生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為

材料、勞務(wù)與能源費(fèi)用為

設(shè)備預(yù)防性維修的費(fèi)用為

因此，一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)總費(fèi)用期望為

一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品的總數(shù)量為

所以，單位數(shù)量的產(chǎn)品總成本的期望為

將T=[S/(p-α)] 代入上式，可得

4 算例分析

p=600 ，Cr=300，Ch=15 ，Co=600 ，Cm=600 ，K=3000 ，Cs=39 ，α=450 ，w=2 ，φ(t)=用Matlab 帶入計(jì)算可得EU(S)，用diff 函數(shù)計(jì)算其二階導(dǎo)數(shù)，然后用maple可以判斷出他的二階導(dǎo)數(shù)永遠(yuǎn)大于0。由此可知EU(S)是凸函數(shù)。因此，使EU(S)的一階導(dǎo)數(shù)為0的S*是最優(yōu)庫存，EU(S*)是最小單位成本。最后求得的結(jié)果為：S*=588.43 ，T*=3.92 ，則EU(S*)=619.41。

5 靈敏度分析

可變因子的最優(yōu)值隨著關(guān)鍵參數(shù)的變化（-50%，-25%，+25%，+50%）顯著變化（見表1）。在關(guān)鍵參數(shù)的靈敏度分析的基礎(chǔ)上，可以發(fā)現(xiàn)以下特征。

當(dāng)保修期（w）增加時(shí)，緩沖區(qū)庫存（S）和生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（T）不變。保修期內(nèi)的保修費(fèi)用（Cr）和每單位產(chǎn)品的成本將會(huì)增加。

緩沖區(qū)庫存（S）和生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（T）對(duì)每單位產(chǎn)品的材料、勞動(dòng)和能源費(fèi)用（Cm）變化不敏感。因此，保修費(fèi)用（Cr），短缺費(fèi)用（Cs）和預(yù)防維修費(fèi)用（Co）對(duì)此也不敏感，但材料、勞動(dòng)和能源費(fèi)用（Cm）增加，導(dǎo)致每單位產(chǎn)品的成本高于預(yù)期。

緩沖區(qū)庫存（S），生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（T），庫存費(fèi)用（Ch），短缺費(fèi)用（Cs）以及材料、勞動(dòng)和能源費(fèi)用（Cm）對(duì)每單位產(chǎn)品的保修費(fèi)用（Cr）變化相當(dāng)不敏感，（Cr）只是改變了保修費(fèi)用。

單位時(shí)間內(nèi)單位數(shù)量的產(chǎn)品的庫存費(fèi)用（Ch）的提高能夠降低緩沖區(qū)庫存（S）和生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（T）。短缺費(fèi)用（Cs）隨著緩沖區(qū)庫存，材料、勞動(dòng)和能源費(fèi)用（Cm）的減少而增加，由于生產(chǎn)率較低，保修期內(nèi)的維修費(fèi)用（Cr）也會(huì)降低。然而，單位產(chǎn)品的預(yù)期成本隨著庫存費(fèi)用（Ch）的增加而增加。

由于短缺費(fèi)用（Cs）較高，緩沖區(qū)庫存（S）和生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（T）較長，導(dǎo)致庫存費(fèi)用（Ch）和材料、勞動(dòng)和能源費(fèi)用（Cm）上升。隨著更多產(chǎn)品的生產(chǎn)，更多的在保修期內(nèi)出現(xiàn)問題的產(chǎn)品的維修費(fèi)用（Cr）也會(huì)增加。

緩沖區(qū)庫存（S）和生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（T）隨著單位時(shí)間的預(yù)防維修費(fèi)用（Co）的增加而增加，從而降低了短缺費(fèi)用（Cs），以此可以彌補(bǔ)庫存費(fèi)用（Ch）、保修期內(nèi)的維修費(fèi)用（Cr）以及材料、勞動(dòng)和能源費(fèi)用（Cm）的增加。由于大多數(shù)費(fèi)用較高，所以每單位產(chǎn)品的預(yù)期費(fèi)用會(huì)自動(dòng)增加。

由于生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用（K）提高，緩沖區(qū)庫存（S）和生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（T）通常會(huì)增加。因此，除了短缺費(fèi)用（Cs）之外，所有費(fèi)用都隨著生產(chǎn)量的增加而增加。故，單位產(chǎn)品的預(yù)期費(fèi)用隨著生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用（K）的增加而增加。

顯而易見，較高的生產(chǎn)率增加了庫存，同時(shí)也減少了生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（T），使材料、勞動(dòng)和能源費(fèi)用（Cm）及保修期內(nèi)的維修費(fèi)用（Cr）減少。更大的生產(chǎn)量會(huì)導(dǎo)致更高的庫存費(fèi)用（Ch），同時(shí)由于緩沖區(qū)庫存量（S）的增加而降低了短缺費(fèi)用（Cs）。因?yàn)榇蟛糠仲M(fèi)用較高，故每單位產(chǎn)品的預(yù)期費(fèi)用隨著生產(chǎn)率的增加而增加。

表1 關(guān)鍵參數(shù)的靈敏度分析

6 結(jié)語

在如今競(jìng)爭(zhēng)激烈的環(huán)境下許多企業(yè)為了吸引更多的客戶，很多產(chǎn)品售出后都會(huì)有一個(gè)保修，給購買者提供產(chǎn)品早期故障保護(hù)，同時(shí)能夠提升廠家的信譽(yù)，維護(hù)企業(yè)形象［14］。在產(chǎn)品生產(chǎn)期間，一般來說，預(yù)防性維修是一種常規(guī)檢查，可以提高生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性［15］。而在維護(hù)期間，緩沖區(qū)庫存對(duì)于最大限度地減少經(jīng)濟(jì)損失至關(guān)重要。本文通過考慮一個(gè)完美的生產(chǎn)系統(tǒng)中，緩沖區(qū)庫存和預(yù)防性維護(hù)對(duì)生產(chǎn)帶來的影響，建立了包括生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用、庫存費(fèi)用、缺貨費(fèi)用、材料勞務(wù)能源費(fèi)用、預(yù)防性維修費(fèi)用以及保修期內(nèi)的產(chǎn)品維修費(fèi)用，并進(jìn)行求解。數(shù)值仿真結(jié)果表明，利用本文的維護(hù)決策模型能有效地對(duì)設(shè)置保修期的制造系統(tǒng)中的設(shè)備，確定最佳緩沖區(qū)庫存與最優(yōu)生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間。