丁 律，錢龍軍，孫瑞勝，陳 偉

(1.南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇 南京 210094;2.南京理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭中，為了提升導(dǎo)彈的速度、機(jī)動性和射程，導(dǎo)彈結(jié)構(gòu)逐漸呈現(xiàn)細(xì)長化。而對于這種“大長細(xì)比”的導(dǎo)彈，它呈現(xiàn)出的彈性特征也越發(fā)明顯，比如彈性振動的固有頻率變小，與剛體工作頻帶較接近而發(fā)生耦合;彈體會長時(shí)間存在一定幅值的彎曲振動，這種振動會惡化彈載精密儀器的工作環(huán)境，從而降低精密儀器的精度;同時(shí)也是因?yàn)閺楏w的彎曲變形造成氣動面所受的氣動載荷發(fā)生變化，這種變化會使系統(tǒng)不能較好地完成機(jī)動指令，降低控制精度［1］。通常，將長細(xì)比大于15的導(dǎo)彈稱為彈性導(dǎo)彈。

工程實(shí)踐中，根據(jù)是否需要外部能量的參與，對彈性振動的處理可分為被動控制技術(shù)和主動控制技術(shù)［2］。被動控制技術(shù)需要依賴系統(tǒng)自身，其目標(biāo)是減小控制系統(tǒng)中的彈性振動信號，常用的方法有傳感器最優(yōu)位置設(shè)計(jì)［3-4］、常規(guī)或自適應(yīng)陷波器設(shè)計(jì)［5-7］。然而，在實(shí)際飛行過程中，振動模態(tài)是時(shí)變的，而測量元件的安裝位置是固定的，無法保證傳入控制系統(tǒng)中的振動信號始終為最小。此外，無論是哪種類型的陷波器，都是將振動當(dāng)作高頻噪聲干擾進(jìn)行處理，這在振動模態(tài)頻率較低甚至與剛體運(yùn)動工作頻帶發(fā)生混疊時(shí)，會嚴(yán)重影響導(dǎo)彈剛體運(yùn)動的工作頻率特性，不利于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，不以減振為目標(biāo)的被動控制，會比較保守。主動控制技術(shù)需要利用外部能量對振動施加控制力，從而達(dá)到減震的效果。高強(qiáng)等人［8］，Liu等人［9］通過在原有舵機(jī)的基礎(chǔ)上引入附加作動裝置，并針對飛行控制和振動抑制分別設(shè)計(jì)控制器，提出了主動減振組合控制方案，從而實(shí)現(xiàn)了對姿態(tài)的有效跟蹤和減振。然而，添加額外的執(zhí)行機(jī)構(gòu)會改變硬件布局，影響導(dǎo)彈的氣動外形，具體實(shí)現(xiàn)較難。

除了以上兩種控制技術(shù)外，很多學(xué)者通過應(yīng)用現(xiàn)代控制理論，從飛行控制算法的角度研究彈性振動的處理。Yang等人［10］將振動看作剛體動力學(xué)的不確定性建立模型，進(jìn)而構(gòu)造了H∞控制器。該方法的目標(biāo)不是直接對振動進(jìn)行控制，而是依靠系統(tǒng)自身的魯棒性實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定。張雷等人［11］將振動模態(tài)引入到性能函數(shù)中，提出了兩自由度H∞彈道跟蹤減振控制算法，不僅實(shí)現(xiàn)了對剛體彈道狀態(tài)的有效跟蹤，對振動也有明顯的抑制作用。此外，因?yàn)閺椥哉駝有畔⒆鳛閷?dǎo)彈飛行過程中的廣義量，沒有相應(yīng)的傳感器可以測量，所以也有很多學(xué)者致力于利用觀測器對其進(jìn)行估計(jì)的研究。宗群等人［12］通過將彈性模態(tài)的影響視為不確定，并設(shè)計(jì)有限時(shí)間干擾觀測器對其進(jìn)行估計(jì)。王潤馳［13］針對彈性擾動分別設(shè)計(jì)了經(jīng)典干擾觀測器和滑模干擾觀測器，并且均能有效地觀測到振動信息。如果將觀測得到的振動信息作為狀態(tài)變量開展控制器的設(shè)計(jì)，即對彈性振動進(jìn)行控制，然后使其快速地被抑制住，便可在本質(zhì)上直接抑制振動對飛行姿態(tài)影響。

1 彈性導(dǎo)彈縱向綜合運(yùn)動

彈性導(dǎo)彈在實(shí)際飛行中會呈現(xiàn)出明顯的彈性特征，考慮導(dǎo)彈剛體運(yùn)動和彈性振動之間的耦合效應(yīng)，其縱向綜合運(yùn)動方程表示如下［13-15］

其中，ωz為俯仰角速度，α 為攻角，δz為俯仰舵偏角，V為飛行速度，g為重力加速度，ny為法向過載，a22，a24，a25，a34，a35為動力系數(shù)［16］，q為振動廣義坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)隨時(shí)間的變化率，ω 為振動模態(tài)的固有頻率，ξ為結(jié)構(gòu)阻尼，d1，d2，d3，d4，d5為振動廣義力系數(shù)，A1，A2，B1，B2表示振動對剛體運(yùn)動直接影響的系數(shù)，n為振動模態(tài)總數(shù)，下標(biāo)“i”用于標(biāo)注第i階振動模態(tài)。

事實(shí)上，彈性振動模態(tài)的階次越高，固有頻率也就越高，在整個(gè)彈性變形中所占的比例就越小，重要程度也就越低。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，若將振動信息作為設(shè)計(jì)控制器的依據(jù)，會因?yàn)閳?zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬的限制而難以實(shí)現(xiàn)，所以本文只考慮第一階振動模態(tài)。此外，在彈性導(dǎo)彈飛行控制系統(tǒng)中，由傳感器直接測量得到的姿態(tài)角速度主要由剛體運(yùn)動本身的姿態(tài)角速度和彈性振動引起的附加姿態(tài)角速度兩部分組成［13］，即

令

則式(1)和式(2)可由狀態(tài)空間表達(dá)式描述為

y為傳感器直接測量得到的俯仰角速度，且由式(3)中前兩個(gè)方程構(gòu)成的狀態(tài)空間表達(dá)式Ⅰ用于降階狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)。yN為法向過載，且由式(3)中第一個(gè)和第三個(gè)方程構(gòu)成的狀態(tài)空間表達(dá)式Ⅱ用于內(nèi)模控制器設(shè)計(jì)。

2 降階狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)

在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，狀態(tài)反饋控制所面臨的困難就是一些狀態(tài)變量不容易直接測量，所以在構(gòu)造控制信號時(shí)，要在狀態(tài)空間表達(dá)式I滿足完全可觀側(cè)的前提條件下，才能對不易測量的狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。

由于姿態(tài)角速度可由傳感器精確測量得到，所以只需要估計(jì)其余的狀態(tài)變量，即

其中，xa表示可由傳感器直接測量得到的量，xb表示需要進(jìn)行估計(jì)的狀態(tài)變量。

對狀態(tài)空間表達(dá)式I進(jìn)行線性變換，使xa作為新狀態(tài)變量，進(jìn)而開展降階狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)，令

其中

式中0m×h表示m行h列的零矩陣。

從式(4)可以看出，狀態(tài)可直接測量部分的方程為

可將上式看成輸出方程。

此外，狀態(tài)需估計(jì)部分的方程為

設(shè)計(jì)觀測矩陣L，用來對測量輸出與估計(jì)輸出之間差值的修正項(xiàng)進(jìn)行加權(quán)，從而連續(xù)不斷地對模型輸出進(jìn)行修正，并改善觀測器的性能［17］。

結(jié)合式(5)和式(6)，降階狀態(tài)觀測器的觀測器方程可表示為

用式(6)減去式(7)并結(jié)合式(5)，則可以得到觀測器的誤差方程為

定義

則式(8)可變?yōu)?/p>

3 自動駕駛儀的設(shè)計(jì)

根據(jù)內(nèi)模原理，任何一個(gè)系統(tǒng)想要良好的跟蹤外部輸入信號或者抵消擾動信號，那么在該系統(tǒng)的反饋回路中一定包含有輸入或者擾動的動力學(xué)模型［18］。所以，以狀態(tài)空間表達(dá)式II為控制模型開展內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)。

3.1 內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)

根據(jù)內(nèi)?？刂圃磉M(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)和分析，可將公式進(jìn)行整理得到如下方程組

式中，r為參考輸入信號，E為跟蹤誤差的積分。

選取常用的階躍信號作為飛行控制系統(tǒng)的典型輸入信號，則在t ＞0時(shí)，有r(∞)=r(t)=1，所以系統(tǒng)的動態(tài)特性可被描述為

定義

則式(11)可以改寫成

定義增維誤差向量z為

則式(12)可變?yōu)?/p>

式中，

在式(13)所描述的系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的情況下，通過設(shè)計(jì)狀態(tài)變量反饋，可以使該系統(tǒng)的輸出yN精確地跟蹤輸入信號r，則ue可以被定義為

其中，KN為積分增益常數(shù)，Kx為反饋增益矩陣，且K=［KNKx］，Kx=［KaKb］，Kb=［Kb1Kb2Kb3］。這里的ue即為控制舵偏角指令δzc。

對于狀態(tài)反饋式(14)，利用二次型最佳控制方法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得下列性能指標(biāo)J

達(dá)到極小值。式中，Q為正定(或半正定)對稱矩陣，R是正定對稱矩陣，矩陣Q和R分別確定了誤差和能量消耗的相對權(quán)重。

將式(14)代入式(15)，可以得到

令

其中，P為正定實(shí)對稱矩陣。

矩陣P可通過求解Riccati方程得到，方程如下

則J取得最小值的解為

本文提出的狀態(tài)觀測器和內(nèi)?？刂破飨嘟Y(jié)合的方法，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，不同的是在控制器中加入了輸入信號的內(nèi)部模型。此外，狀態(tài)反饋不僅可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定，還會極大地改善動態(tài)性能，而與彈性振動相關(guān)的狀態(tài)變量q1和作為可控量，在受到狀態(tài)反饋的影響時(shí)，可具有較好的收斂特性，從而對彈性振動起到快速抑制的作用［2］。

3.2 自動駕駛儀的結(jié)構(gòu)

為了避免xa的微分，定義

于是式(7)可變?yōu)?/p>

其中

式中

將內(nèi)?？刂破骱徒惦A狀態(tài)觀測器相結(jié)合的自動駕駛儀結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于內(nèi)?？刂破骱徒惦A狀態(tài)觀測器的自動駕駛儀結(jié)構(gòu)圖

從圖1可以看出，內(nèi)回路由直接測量或估計(jì)得到的狀態(tài)變量反饋構(gòu)成，其中包括角速度反饋、角度反饋和振動信息反饋，通過設(shè)置合適的反饋增益，可以起到提高彈體阻尼、增加角運(yùn)動穩(wěn)定和抑制振動的作用。這相當(dāng)于Raytheon回路中的阻尼回路和增穩(wěn)回路。圖中還能看出，通過設(shè)置合適的跟蹤誤差積分增益常數(shù)，外回路可以實(shí)現(xiàn)正確、快速地跟蹤制導(dǎo)指令，相當(dāng)于Raytheon回路中的制導(dǎo)回路。所以本文提出的自動駕駛儀設(shè)計(jì)方法可以作為推廣的Raytheon三回路自動駕駛儀設(shè)計(jì)。

3.3 利用觀測狀態(tài)進(jìn)行反饋的影響性分析

對于狀態(tài)反饋內(nèi)回路，若利用觀測狀態(tài)^x進(jìn)行反饋，則控制輸入量u可以寫成如下形式

將式(21)代入式(19)可以得到

定義

則式(21)和式(22)可以表示為

如果將u視為輸出量，將-y視為輸入量，則基于降階觀測器的控制器傳遞函數(shù)為

根據(jù)相關(guān)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，若用觀測狀態(tài)進(jìn)行反饋，盡管閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，基于狀態(tài)觀測器的控制器也可能不穩(wěn)定，所以式(25)可以用來檢查觀測器控制器的穩(wěn)定性以及狀態(tài)反饋內(nèi)回路的穩(wěn)定裕度。

對于整個(gè)自動駕駛儀，這里定義

與

則將內(nèi)?？刂破骱徒惦A狀態(tài)觀測器相結(jié)合，可得到的狀態(tài)方程如下

由式(9)和式(26)，可得整個(gè)自動駕駛儀的動態(tài)特性如下

對式(27)的特征方程進(jìn)行求解，可得

即

從上式可以看出，整個(gè)自動駕駛儀的閉環(huán)極點(diǎn)分別由狀態(tài)觀測器和內(nèi)模控制器產(chǎn)生，所以降階狀態(tài)觀測器和內(nèi)模控制器可相互獨(dú)立設(shè)計(jì)。

為了保證整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，Ae-BeK和的特征值都必須具有負(fù)實(shí)部。此外，為了實(shí)現(xiàn)控制器極點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)的主導(dǎo)作用，必須保證觀測器的極點(diǎn)位置離虛軸較遠(yuǎn)，從而使觀測誤差的收斂比狀態(tài)向量的衰減更快。同時(shí)需要注意的是，若觀測器極點(diǎn)距離虛軸太遠(yuǎn)，也會導(dǎo)致觀測器控制器不穩(wěn)定以及觀測器帶寬過大而帶來放大噪聲等問題。

3.4 通過相關(guān)技術(shù)指標(biāo)確定有效控制增益

以上介紹的是，在降階狀態(tài)觀測器和內(nèi)?？刂破骺上嗷オ?dú)立設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用二次型最佳控制方法來選取自動駕駛儀的控制增益，由此設(shè)計(jì)出來的自動駕駛儀在應(yīng)用到實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)會出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況。這就需要通過經(jīng)典控制理論對系統(tǒng)提出頻域約束條件，從而保證系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕度，同時(shí)還要根據(jù)實(shí)際情況提出時(shí)域約束條件，保證自動駕駛儀的跟蹤效果和減振效果。所以整個(gè)自動駕駛儀的設(shè)計(jì)還需要綜合考慮相關(guān)技術(shù)指標(biāo)。

本文提出的自動駕駛儀設(shè)計(jì)指標(biāo)可以參考經(jīng)典Raytheon回路。其中，圖1中狀態(tài)反饋內(nèi)回路的設(shè)計(jì)指標(biāo)和Raytheon回路略有不同，而外回路的設(shè)計(jì)指標(biāo)和Raytheon回路中的制導(dǎo)回路基本一致，具體如下:

1)反饋增益矩陣Kx的選取要保證狀態(tài)反饋內(nèi)回路中的彈性狀態(tài)在1 s內(nèi)衰減至零;

2)Kx的值要保證觀測器的極點(diǎn)比控制器的極點(diǎn)快2～5倍，且觀測器控制器與被控對象串聯(lián)的幅值裕度應(yīng)大于6 dB，相角裕度應(yīng)大于30°;

3) 積分增益常數(shù) KN的選取要保證(ωCN為外回路截止頻率為靜穩(wěn)定彈體自然頻率，k2的取值大致為2～3);

4)外回路調(diào)節(jié)時(shí)間不超過3 s，且外回路的幅值裕度應(yīng)大于6 dB，相角裕度應(yīng)大于30°;

5)最大的開環(huán)截止頻率ωCR不超過執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬的三分之一。

在實(shí)際利用二次型最佳控制方法式(15)～ 式(18)來確定控制增益時(shí)，需要在可接受的控制效果、響應(yīng)速度以及要求的控制能量之間折中，而權(quán)系數(shù)Q和R的調(diào)節(jié)也是有規(guī)律可循的。其中，對角矩陣Q相對變大，則系統(tǒng)的快速性好;R相對變大，則開環(huán)截止頻率小。

為了得到有效的控制增益，本文的具體做法是通過調(diào)整權(quán)系數(shù)Q和R反復(fù)地進(jìn)行自動駕駛儀的設(shè)計(jì)，直到自動駕駛儀的性能符合前述相關(guān)技術(shù)指標(biāo)的要求，此時(shí)的增益才為自動駕駛儀的有效控制增益。

4 數(shù)值仿真

引入大長徑比導(dǎo)彈末制導(dǎo)攻擊段的彈道，并以其中兩個(gè)典型特征點(diǎn)的飛行數(shù)據(jù)和彈性振動數(shù)據(jù)作為對象，進(jìn)行姿態(tài)穩(wěn)定、過載跟蹤和振動抑制方面的仿真研究。

選取高空和低空兩個(gè)特征點(diǎn)，它們的飛行參數(shù)V分別為880 m/s、350.7 m/s，H分別為12 967.1 m、3 045.7 m，振動模態(tài)ω1分別為14 Hz、16 Hz，ξ1分別為0.004 9、0.006 6，φ1'分別為0.496 2、0.509 2。此外，剛體運(yùn)動和彈性振動的模型數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 不同特征點(diǎn)處的剛體運(yùn)動及彈性振動模型數(shù)據(jù)

通過仿真尋優(yōu)，性能指標(biāo)Q和R的最終選取值如下

且最終兩個(gè)特征點(diǎn)處控制系統(tǒng)的反饋增益矩陣Kx和積分增益常數(shù)KN如表2所示。

表2 不同特征點(diǎn)處的反饋增益和積分增益

系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)(特征方程的根)如表3所示。

表3 不同特征點(diǎn)處的閉環(huán)極點(diǎn)

高低空特征點(diǎn)處降階狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)配置情況和觀測增益設(shè)計(jì)結(jié)果如表4所示。

表4 不同特征點(diǎn)處觀測器的極點(diǎn)和增益

高空、低空兩個(gè)特征點(diǎn)處基于降階狀態(tài)觀測器的控制器傳遞函數(shù)分別為

從式(31)和式(32)可以看出，設(shè)計(jì)出來的兩個(gè)特征點(diǎn)的觀測器控制器是穩(wěn)定的。設(shè)置觀測初始條件為［0.1°，0.00001，0.0001］，仿真結(jié)果如圖2～圖7所示。

圖2 觀測器估計(jì)誤差變化曲線

圖3 剛體狀態(tài)變化曲線

圖4 過載跟蹤、舵偏角及舵偏角速度變化曲線

圖5 彈性狀態(tài)變化曲線

圖6 內(nèi)回路中以ωz 為輸出的單通道頻域響應(yīng)曲線

圖7 內(nèi)回路、外回路開環(huán)頻域響應(yīng)曲線

仿真結(jié)果圖2可以看出，狀態(tài)觀測器的估計(jì)誤差均可在短時(shí)間內(nèi)收斂到0。從圖3～圖5可以看到，剛體狀態(tài)及控制舵偏角均能以較快的速度趨于穩(wěn)態(tài)值，且過載響應(yīng)速度快，彈性振動模態(tài)也能夠在1 s內(nèi)被有效地抑制住。圖6反映了兩特征點(diǎn)內(nèi)回路中以ωz為單輸出的系統(tǒng)幅頻和相頻特性，減振前即是狀態(tài)反饋內(nèi)回路的開環(huán)，而減振后是狀態(tài)反饋內(nèi)回路的閉環(huán)，從伯德圖上可以很明顯地看出，振動模態(tài)處的峰值都被有效地衰減，還可以看出最大的開環(huán)截止頻率在12 Hz左右，目前尚有執(zhí)行器可以滿足其要求。圖7反映的是兩個(gè)特征點(diǎn)處內(nèi)回路和外回路的幅頻和相頻特性，可以發(fā)現(xiàn)它們的幅值和相位裕度均符合指標(biāo)要求，且外回路的開環(huán)截止頻率在3 rad/s左右，低于自然頻率的二分之一，符合指標(biāo)要求。所以本文提出的內(nèi)?？刂破骱徒惦A狀態(tài)觀測器相結(jié)合來設(shè)計(jì)彈性導(dǎo)彈自動駕駛儀的方法是可行的。

此外，為了進(jìn)一步說明由狀態(tài)觀測器和內(nèi)?？刂破飨嘟Y(jié)合構(gòu)成的自動駕駛儀具有一定的優(yōu)越性，引入帶陷波器的Raytheon三回路過載駕駛儀［19］，并以低空特征點(diǎn)為例，將兩種自動駕駛儀進(jìn)行時(shí)域上的對比，仿真結(jié)果如圖8～圖10所示。

圖8 剛體狀態(tài)對比曲線

圖9 過載跟蹤、舵偏角及舵偏角速度對比曲線

圖10 彈性狀態(tài)對比曲線

從圖8可以發(fā)現(xiàn)，本文方法會產(chǎn)生較少的抖動次數(shù)，穩(wěn)定性相對更高，且攻角達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的速度更快。從圖9可以看出，無論是帶陷波器的Raytheon三回路還是本文的方法都可以實(shí)現(xiàn)對階躍指令信號的有效跟蹤，但本文方法的過載跟蹤曲線更光滑且響應(yīng)速度更快，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，本文方法在大約前0.3 s內(nèi)，會往反方向產(chǎn)生一定的小量值，這是由于系統(tǒng)出現(xiàn)非最小相位的緣故。從圖10可以看到，本文方法起到了減震的效果，可以使振動模態(tài)更快地衰減至零。因此，從時(shí)域上的對比來看，本文的設(shè)計(jì)方法相較于帶陷波器的Raytheon三回路有一定的優(yōu)越性。

5 結(jié)束語

將彈性振動視為對控制系統(tǒng)的直接影響，采用了內(nèi)模原理設(shè)計(jì)控制器，目的是將振動信息作為設(shè)計(jì)控制器的依據(jù)，從而可以在實(shí)現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定和過載指令有效跟蹤的同時(shí)，對彈性振動也有明顯的抑制作用。對于內(nèi)?？刂扑枰膹V義量，考慮到傳感器可以直接測量得到受振動影響后的姿態(tài)角速度，所以本文充分利用這個(gè)特點(diǎn)，在線性變換的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了降階狀態(tài)觀測器。

在系統(tǒng)狀態(tài)完全可控可觀測的條件下，當(dāng)采用觀測狀態(tài)進(jìn)行反饋時(shí)，內(nèi)模控制器和狀態(tài)觀測器只有在可分離的基礎(chǔ)上才能結(jié)合使用。而為了實(shí)現(xiàn)控制器極點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)的主導(dǎo)作用，以及考慮到觀測器極點(diǎn)距離虛軸太遠(yuǎn)帶來的問題，兩者的極點(diǎn)位置還需要綜合考量校驗(yàn)。

雖然本文提出的方法不需要額外執(zhí)行機(jī)構(gòu)，并相較于經(jīng)典Raytheon三回路過載駕駛儀具有一定的優(yōu)越性，但主動減振的方法本身就對執(zhí)行器的要求比較高，所以會給實(shí)際硬件的實(shí)現(xiàn)帶來了挑戰(zhàn)。