高 勇

（海軍駐航天科技集團(tuán)公司第一研究院軍事代表室，北京 100076）

與大氣層內(nèi)使用升力進(jìn)行操縱的戰(zhàn)術(shù)攔截器不同，大氣層外攔截器需要使用推力矢量裝置以響應(yīng)制導(dǎo)命令。如果所有用以轉(zhuǎn)向的燃料已經(jīng)耗盡，攔截器就不再可操縱了。也就是說(shuō)，燃料是一種超量，因?yàn)楦鶕?jù)火箭方程，攔截器的重量按燃料重量的指數(shù)倍增長(zhǎng)。因此，與大氣層內(nèi)戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈不同，大氣層外攔截器需要消耗燃料最少的制導(dǎo)規(guī)律。本文中采用的導(dǎo)引方法，能夠用于將一枚攔截彈發(fā)射到與彈道目標(biāo)導(dǎo)彈相同的彈道軌跡上，通過改變攔截彈的飛行時(shí)間，可以使完成彈道飛行所消耗的額外燃料最少[1-2]。

由橢圓軌道朗伯特飛行時(shí)間定理可知：設(shè)1點(diǎn)和2點(diǎn)為空間兩個(gè)任意的固定點(diǎn)，它們的向徑分別為r1和r2，若r1+r2=常數(shù)，橢圓半長(zhǎng)軸a=常數(shù)，1點(diǎn)和2點(diǎn)之間的距離c=常數(shù)，則從1點(diǎn)至2點(diǎn)的飛行時(shí)間Δt也是固定的。朗伯特導(dǎo)引用于計(jì)算在預(yù)定的飛行時(shí)間內(nèi)以彈道方式從位置1運(yùn)行到位置2所需要的速度，該方法已廣泛應(yīng)用于控制主動(dòng)段內(nèi)的導(dǎo)彈，在預(yù)定時(shí)間擊中射向范圍內(nèi)的目標(biāo)點(diǎn)[3]。然而，朗伯特導(dǎo)引僅能用于將攔截彈導(dǎo)引到與目標(biāo)導(dǎo)彈相撞的軌道，而不能控制攔截彈到達(dá)目標(biāo)導(dǎo)彈時(shí)的末段速度。如果攔截彈的速度矢量與目標(biāo)導(dǎo)彈的速度矢量不一致，兩枚導(dǎo)彈將在到達(dá)最接近的位置后相互分離。如果用某種導(dǎo)引方法使攔截彈在與目標(biāo)導(dǎo)彈最接近的位置時(shí)具有相同的速度矢量，那么兩枚導(dǎo)彈將從該點(diǎn)開始以相同的彈道軌跡飛行。

利用動(dòng)力系統(tǒng)的剩余能量，可以使經(jīng)典朗伯特導(dǎo)引方法得到拓展，從而實(shí)現(xiàn)匹配彈道目標(biāo)位置和速度的目的，一旦位置和速度相一致，攔截彈就將跟隨彈道目標(biāo)飛行。應(yīng)用迭代方法可以使攔截彈與彈道目標(biāo)之間的速度差Δv最小，如果把彈道目標(biāo)的速度表示為時(shí)間的函數(shù)并且存在閉合解，則可求得解析解。攔截彈發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)的速度和彈道傾角可被設(shè)定成用于生成一個(gè)橢圓軌道，在到達(dá)彈道目標(biāo)時(shí)，使它的速度在特定時(shí)刻唯一最小化。使用開普勒飛行時(shí)間方程可以解決到達(dá)未來(lái)某一位置的飛行時(shí)間問題，通用的飛行時(shí)間方程必須通過迭代方法求解，其結(jié)果代入開普勒常數(shù)以計(jì)算未來(lái)某一時(shí)刻t的速度。有很多參考資料描述了環(huán)繞地球運(yùn)行的人造衛(wèi)星的優(yōu)化會(huì)合軌道問題，它們都是以軌道衛(wèi)星的平面變換問題為基礎(chǔ)的。通常，這種平面變換中的Δv機(jī)動(dòng)(其結(jié)果對(duì)軌道有影響)可以超過一個(gè)或多個(gè)軌道周期(100 min或更多)。彈道導(dǎo)彈與軌道衛(wèi)星相比，飛行時(shí)間較短，在與彈道目標(biāo)碰撞之前，Δv機(jī)動(dòng)必須經(jīng)歷一段幾十秒到幾百秒的周期來(lái)到達(dá)有效會(huì)合點(diǎn)。

1 朗伯特導(dǎo)引

朗伯特問題涉及物體在牛頓引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，其解決方案給出了在僅受重力的情況下，物體在特定時(shí)間內(nèi)從初始位置rl運(yùn)動(dòng)到最終位置r2所需要的瞬時(shí)速度。假設(shè)在大氣層內(nèi)飛行的主動(dòng)段導(dǎo)彈(受推力、氣動(dòng)力和重力作用)，在每一個(gè)積分步內(nèi)都要解決朗伯特問題，需要速度(朗伯特速度)vL減去當(dāng)前導(dǎo)彈實(shí)際速度vM即得到待增速度vG，如圖1所示。待增速度的物理含義是：由導(dǎo)彈的當(dāng)前狀態(tài)(r，v）給其瞬時(shí)增加速度增量vG，而后導(dǎo)彈依慣性飛行便可命中目標(biāo)，因而將vG稱為待增速度。在低大氣層中，導(dǎo)彈以一個(gè)固定的彈道傾角飛行，這樣可以減小大氣阻力的損耗。導(dǎo)彈沿vG加速，當(dāng)vG達(dá)到某一限定范圍時(shí)，導(dǎo)彈的推力中止，導(dǎo)彈以彈道方式飛向預(yù)定目標(biāo)[4]。

圖1 朗伯特導(dǎo)引速度矢量圖

初始位置矢量rl和終點(diǎn)位置矢量r2如圖2所示，rl為攔截彈的瞬時(shí)位置矢量，r2為與彈道目標(biāo)的預(yù)定會(huì)合點(diǎn)位置矢量。θf(wàn)是由飛行方向確定的角度，可由公式表達(dá)為：

圖2 含初始位置矢量和終點(diǎn)位置矢量的朗伯特平面圖

文中使用的所有彈道的延伸范圍均小于地球圓周的一半(即θf(wàn)＜180°)。對(duì)于角度大于180°的情況，則不存在速度作為時(shí)間函數(shù)的閉合解。朗伯特導(dǎo)引解算過程為，速度可通過迭代法求得，彈道傾角γ可選定，速度v和飛行時(shí)間tf的計(jì)算方法如下[1]。

a) 選擇彈道傾角γ。

b) 按公式(2)、(3)計(jì)算v、tf：

c) 如果tf＞理想值，則彈道較高，應(yīng)減小γ，執(zhí)行e)步。

d) 如果tf＜理想值，則彈道較低，應(yīng)增大γ，執(zhí)行e)步。

e) 重新選擇彈道傾角γ，繼續(xù)上述計(jì)算，直到tf收斂到理想值。

由二維平面彈道結(jié)構(gòu)變換為三維地心慣性仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)的朗伯特方法參見圖2和上述計(jì)算，vL表示在地心慣性坐標(biāo)系中的朗伯特速度矢量，導(dǎo)彈沿vG矢量運(yùn)動(dòng)，使vM和vL趨近于一條直線，仿真交匯在目標(biāo)耗盡燃料之后開始進(jìn)行，此時(shí)目標(biāo)位于可見大氣層之上的某一海拔高度。在再入之前的任一時(shí)刻，目標(biāo)在引力場(chǎng)中的位置可用其耗盡關(guān)機(jī)時(shí)刻的狀態(tài)矢量信息推算出來(lái)。在仿真中，攔截彈飛向計(jì)算好的會(huì)合時(shí)刻的目標(biāo)點(diǎn)，其關(guān)機(jī)時(shí)刻的狀態(tài)矢量取決于輸入的目標(biāo)彈道。也可以使用同一導(dǎo)引方法，在沿目標(biāo)彈道的多個(gè)位置進(jìn)行攔截仿真，從而使導(dǎo)彈攔截器的方案和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)。

2 匹配目標(biāo)速度的末修機(jī)動(dòng)

仿真應(yīng)用朗伯特導(dǎo)引方法使攔截彈在三維空間中到達(dá)與彈道目標(biāo)相同的位置，然而，當(dāng)導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，朗伯特導(dǎo)引沒有直接控制導(dǎo)彈的速度，如果導(dǎo)彈速度矢量不改變，導(dǎo)彈在到達(dá)目標(biāo)后將不能以相同的彈道軌跡跟隨目標(biāo)運(yùn)動(dòng)。為了與目標(biāo)相匹配，可以設(shè)計(jì)一個(gè)短暫的末修段，用來(lái)改變導(dǎo)彈的速度矢量。推力矢量P(沿矢量Δv)用于改變導(dǎo)彈的速度矢量，推力矢量P的x、y、z分量與Δv矢量的各分量方向一致：，這里，

推力大小等于比沖Is乘以推進(jìn)劑燃燒速率，因?yàn)槟┬迿C(jī)動(dòng)在外大氣層進(jìn)行，所以阻力可以忽略不計(jì)。末修級(jí)啟動(dòng)時(shí)的初始質(zhì)量為W4，當(dāng)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)，質(zhì)量開始消耗，末修級(jí)沿矢量Δv的運(yùn)動(dòng)方程為[7]：

重力引起的加速度可以忽略不計(jì)，因?yàn)閿r截彈和彈道目標(biāo)都處于同一個(gè)重力場(chǎng)，重力比火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的推力要小，該公式用于計(jì)算為減小攔截彈與彈道目標(biāo)之間的Δv而消耗的發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間，Δv只是一個(gè)相對(duì)速度，不是一個(gè)絕對(duì)速度。這個(gè)公式可以解釋為，由末修級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作產(chǎn)生的加速度：

加速度對(duì)時(shí)間積分就可以得到速度：

公式(7)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)火箭方程的形式，以下表示的是速度公式，將發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒時(shí)間ΔT表示為必須達(dá)到的速度變化Δv的函數(shù)：

即，導(dǎo)彈仿真的末修段在導(dǎo)彈距目標(biāo)會(huì)合點(diǎn)ΔT時(shí)沿Δv矢量開始運(yùn)行，可是這種短暫的末修段將導(dǎo)致導(dǎo)彈無(wú)法到達(dá)理想的目標(biāo)點(diǎn)，這是因?yàn)槟┬薅螌?dǎo)彈推離了彈道目標(biāo)點(diǎn)，為了補(bǔ)償這種誤差，朗伯特導(dǎo)引將引導(dǎo)導(dǎo)彈到達(dá)新點(diǎn)為預(yù)定的彈道目標(biāo)點(diǎn)，ΔR為由末修段引起的脫靶距離，如圖3所示。

圖3 由末修段引起的位置偏移

用推導(dǎo)的方程計(jì)算需要由末修段調(diào)節(jié)的位置偏移量ΔR，方程(7)為速度方程，可每秒積分一次，從而得到由末修引起的運(yùn)動(dòng)距離，下列方程表示末修運(yùn)動(dòng)距離作為發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間的函數(shù)：

∵0→t為Δt，則為ΔR，

ΔR矢量的x、y、z分量與ΔV矢量的各分量方向一致，如下列方程和圖3所示：

最終的仿真程序運(yùn)行是在主動(dòng)段時(shí)使用朗伯特導(dǎo)引將導(dǎo)彈導(dǎo)引至一點(diǎn)，該點(diǎn)與彈道目標(biāo)點(diǎn)偏移ΔR，當(dāng)攔截時(shí)刻到達(dá)ΔT時(shí)，短暫的末修段開始，導(dǎo)彈沿著與目標(biāo)相同的彈道軌跡以需要速度飛向彈道目標(biāo)。

3 用攔截彈飛行時(shí)間使攔截彈與彈道目標(biāo)之間的速度差最小化

攔截彈在彈道目標(biāo)射向上的某一點(diǎn)發(fā)射，導(dǎo)彈飛向目標(biāo)的彈道形狀由2個(gè)參數(shù)確定：導(dǎo)彈到達(dá)彈道目標(biāo)的時(shí)刻TA和導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)刻TD，2個(gè)時(shí)間都與彈道目標(biāo)的關(guān)機(jī)時(shí)刻有關(guān)[8]。

在發(fā)射延遲時(shí)間較短時(shí)，朗伯特導(dǎo)引將產(chǎn)生高弧線彈道以大傾角與目標(biāo)彈道相交；在發(fā)射延遲時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，朗伯特導(dǎo)引將產(chǎn)生低弧線彈道，以更合適的角度與目標(biāo)彈道相交。為匹配彈道目標(biāo)的速度，需要改變攔截彈的速度，從而產(chǎn)生Δv，該矢量的量級(jí)與攔截彈彈道與彈道目標(biāo)彈道相交的角度有直接關(guān)系。在這種情況下，低弧線彈道將導(dǎo)致Δv較小，較小的Δv是希望的，因?yàn)檫@將減少需要執(zhí)行末修段以匹配彈道目標(biāo)速度所消耗的推進(jìn)劑，通過減小末修級(jí)推進(jìn)劑的重量，就可以減小整個(gè)導(dǎo)彈的重量。

彈道目標(biāo)到達(dá)時(shí)間與導(dǎo)彈發(fā)射延遲時(shí)間的優(yōu)化組合，可以使導(dǎo)彈與彈道目標(biāo)速度之差Δv達(dá)到最小。Δv是彈道目標(biāo)到達(dá)時(shí)間與導(dǎo)彈發(fā)射延遲時(shí)間的函數(shù)，該結(jié)論由10 164次不同的仿真運(yùn)算得出，其中加入了84次不同的到達(dá)時(shí)間(1 000～1 400 s)和121次不同的發(fā)射延遲時(shí)間(100～500 s)的運(yùn)算組合。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的由兩個(gè)輸入條件確定的Δv最小化問題，在多維狀態(tài)下用于確定TA與TD的最佳組合，得到最小的Δv。

通過仿真可知，對(duì)一個(gè)特定的導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)而言，可以使Δv最小，下一步就要看最優(yōu)的攔截發(fā)射延遲在不同的射向和側(cè)向發(fā)射點(diǎn)上如何變化。通過改變與彈道目標(biāo)彈道相關(guān)的攔截彈射向和側(cè)向上的發(fā)射點(diǎn)，計(jì)算每一個(gè)發(fā)射點(diǎn)的最優(yōu)飛行時(shí)間Tf，所有的攔截彈仿真都與彈道目標(biāo)會(huì)合于同一點(diǎn)，即TA=1 400 s 。最佳導(dǎo)彈發(fā)射延遲時(shí)間TD作為攔截彈發(fā)射位置的函數(shù)，發(fā)射延遲時(shí)間TD=1 000 s ，相應(yīng)的飛行時(shí)間Tf=400 s ；發(fā)射延遲時(shí)間TD=200 s ，相應(yīng)的飛行時(shí)間Tf=1 200 s 。最佳發(fā)射延遲時(shí)間為：在攔截彈發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)發(fā)射點(diǎn)相距較近時(shí)，攔截彈發(fā)射延遲時(shí)間較短；在攔截彈發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)發(fā)射點(diǎn)相距較遠(yuǎn)時(shí)，攔截彈發(fā)射延遲時(shí)間較長(zhǎng)。側(cè)偏對(duì)最優(yōu)發(fā)射延遲是有影響的，當(dāng)攔截彈發(fā)射點(diǎn)沿目標(biāo)彈道有側(cè)偏時(shí)，最優(yōu)攔截彈發(fā)射延遲時(shí)間將減小。

4 通過迭代消除由重力影響引起的脫靶距離

通過朗伯特導(dǎo)引，第一步仿真使導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)RT，然后計(jì)算在最近的到達(dá)點(diǎn)時(shí)導(dǎo)彈與目標(biāo)間的Δv，再計(jì)算ΔR，進(jìn)而調(diào)整末修段來(lái)修正Δv偏差。第二步仿真將導(dǎo)彈導(dǎo)引至偏移R并執(zhí)行末修段以達(dá)到與目標(biāo)相同的位置和速度。然而，導(dǎo)彈的速度還沒有精確地匹配目標(biāo)的速度，這是因?yàn)閷?dǎo)彈在第二步仿真導(dǎo)引至偏移R時(shí)的運(yùn)行軌跡與第一步仿真導(dǎo)引至RT時(shí)的運(yùn)行軌跡有微小差異，這種位置上的變化導(dǎo)致最終速度的微小誤差，該誤差是由導(dǎo)彈在飛行過程中的位置變化引起的重力差異而產(chǎn)生的。重力梯度對(duì)較短的工作周期，即末修段影響很小，但是，重力梯度對(duì)從關(guān)機(jī)到攔截這種較長(zhǎng)的預(yù)定間隔的影響并不小，這些差異需要瞄準(zhǔn)點(diǎn)策略的迭代計(jì)算。為了補(bǔ)償這些誤差，直到仿真運(yùn)算達(dá)到收斂，Δv才會(huì)很精確。過程如下：計(jì)算Δv，再運(yùn)行導(dǎo)引至偏移R，并重復(fù)計(jì)算直到連續(xù)迭代不能改變?chǔ)。通常僅需2～3次迭代，Δv即達(dá)到快速收斂。

仿真運(yùn)算表明，導(dǎo)彈在TA時(shí)刻到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，然后迅速飛離，這是因?yàn)槟繕?biāo)與導(dǎo)彈間的速度差異較大。使用末修級(jí)Δv機(jī)動(dòng)后的第1次迭代運(yùn)算表明，導(dǎo)彈在TA時(shí)刻到達(dá)了目標(biāo)點(diǎn)，但隨后慢慢飛離，這是因?yàn)?，在重力的綜合影響下產(chǎn)生了微小的速度差異。Δv的第2次迭代運(yùn)算表明，導(dǎo)彈在TA時(shí)刻到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，且與目標(biāo)速度一致，有了這些匹配條件，導(dǎo)彈在隨后的彈道飛行中將跟隨目標(biāo)運(yùn)動(dòng)。

5 最終結(jié)果

導(dǎo)彈三自由度仿真用于生成彈道和速度曲線圖，從而在特定到達(dá)時(shí)刻與彈道目標(biāo)的位置和速度相匹配。圖4表示3個(gè)導(dǎo)彈的飛行彈道，這3條彈道都在預(yù)定時(shí)刻TA到達(dá)彈道目標(biāo)。彈道A用一個(gè)簡(jiǎn)單的朗伯特導(dǎo)引到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，但是沒有末修機(jī)動(dòng)以匹配目標(biāo)速度，彈道A在到達(dá)時(shí)刻后迅速與彈道目標(biāo)彈道分離；彈道B用朗伯特導(dǎo)引到達(dá)目標(biāo)，并做末修機(jī)動(dòng)以匹配目標(biāo)速度，彈道B有一個(gè)短暫的延遲時(shí)間并以一個(gè)大傾角的高弧線彈道到達(dá)目標(biāo)彈道。結(jié)果，末修級(jí)的Δv較大；彈道C在優(yōu)化延遲時(shí)刻發(fā)射，導(dǎo)彈沿低弧線彈道以合適的角度到達(dá)彈道目標(biāo)彈道。結(jié)果，Δv比彈道B小很多。因?yàn)閺椀繡以一個(gè)合適的角度到達(dá)彈道目標(biāo)彈道，它的末修級(jí)待增速度Δv與彈道B相比減小了大約40%，待增速度Δv由于低弧線彈道也減小了，彈道B因?yàn)楦呋【€彈道引起潛在的較大能量變化而損失了很多速度。因此，彈道B在匹配彈道目標(biāo)速度時(shí)，需要彌補(bǔ)更多的速度損失[9-11]。

圖4 匹配彈道目標(biāo)的位置和速度的攔截彈彈道

6 結(jié)論

本文介紹的是一種改進(jìn)的朗伯特導(dǎo)引方法，它可以用于匹配彈道目標(biāo)的位置和速度，而傳統(tǒng)的朗伯特導(dǎo)引方法僅可用于匹配目標(biāo)的位置。通過末修機(jī)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)與目標(biāo)速度的匹配，使攔截彈的飛行時(shí)間得到優(yōu)化，使末修級(jí)的待增速度Δv達(dá)到最小，末修機(jī)動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒速度W˙可被限定在滿足其最大加速載荷的量級(jí)。仿真結(jié)果表明，該導(dǎo)引方法可將末修級(jí)導(dǎo)引至跟隨彈道目標(biāo)的軌道上，且對(duì)于匹配彈道目標(biāo)的位置和速度是有效的，迭代運(yùn)算也足夠快，對(duì)真實(shí)彈道目標(biāo)可以實(shí)時(shí)完成解算。將攔截彈導(dǎo)引至與目標(biāo)導(dǎo)彈相同的彈道軌跡上是可行的，當(dāng)攔截彈發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)彈道軌跡相比沿側(cè)向和射向距離越遠(yuǎn)，則末修級(jí)的待增速度Δv就相應(yīng)增加。當(dāng)攔截彈發(fā)射點(diǎn)沿目標(biāo)發(fā)射點(diǎn)的射向移動(dòng)時(shí)，最優(yōu)的攔截彈發(fā)射延遲時(shí)間也相應(yīng)增加。換句話說(shuō)，當(dāng)攔截彈發(fā)射點(diǎn)沿射向移動(dòng)時(shí)，可以使攔截彈的發(fā)射時(shí)間推遲，該方法可以用于找到使末修級(jí)的待增速度Δv最小的攔截彈飛行時(shí)間。

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