陳 朋，韓洋洋，嚴(yán)憲澤，昝 昊

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

微型光譜儀在現(xiàn)代工程應(yīng)用中，對(duì)成分的檢測(cè)發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。由于每種物質(zhì)成分都有其獨(dú)特的光譜特征，通過(guò)微型光譜儀分析檢測(cè)物質(zhì)可以快速準(zhǔn)確地得到正確的結(jié)果，相比于其他檢測(cè)方法，其具有重量輕、體積小、探測(cè)速度快等優(yōu)點(diǎn)[1]，其對(duì)物質(zhì)的非破壞性更具有獨(dú)特的優(yōu)越性。

微型光譜儀在設(shè)計(jì)制造后，標(biāo)定是一個(gè)重要的步驟。微型光譜儀的標(biāo)定是確定光電傳感器像元與光譜波長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。目前光譜儀標(biāo)定主要有兩種方法：光學(xué)方程計(jì)算法和波長(zhǎng)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)法。光學(xué)方程計(jì)算法是用光柵公式直接計(jì)算出波長(zhǎng)的具體位置，這種方法通常受儀器工藝、安裝位置等因素影響，誤差較大。波長(zhǎng)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)法是采用特征光譜在光電傳感器對(duì)應(yīng)的像元上找到相應(yīng)的位置[2]，并采用最小二乘法[3]擬合等方法實(shí)現(xiàn)波長(zhǎng)的標(biāo)定。根據(jù)擬合得到的數(shù)學(xué)模型，可以將所有像元對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)值計(jì)算出來(lái)[4-5]。

為了精確和有效地標(biāo)定光譜儀，波長(zhǎng)標(biāo)定通常使用標(biāo)準(zhǔn)光源，用擬合或插值方法進(jìn)行標(biāo)定。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)光譜儀標(biāo)定方法研究主要有對(duì)標(biāo)定裝置的研究和標(biāo)定算法的研究[6]。在對(duì)標(biāo)定裝置研究上，吳越[7]等人在分析實(shí)驗(yàn)室常用波長(zhǎng)定標(biāo)方法的基礎(chǔ)上，搭建了一種基于CO2激光器+積分球的波長(zhǎng)定標(biāo)裝置，采用該定標(biāo)裝置進(jìn)行波長(zhǎng)標(biāo)定，然后用多項(xiàng)式算法擬合獲得了較高的標(biāo)定精度。毛靖華[8]等人選取超靜氙燈作為標(biāo)定光源，構(gòu)建了基于中階梯衍射光柵的波長(zhǎng)標(biāo)定裝置，對(duì)儀器進(jìn)行了波長(zhǎng)標(biāo)定。Yu Z[9]等人采用波導(dǎo)梳狀濾波器對(duì)分光計(jì)進(jìn)行波長(zhǎng)校準(zhǔn)，解決了基線校準(zhǔn)不好、特征峰分布不均勻的問(wèn)題，有效地改善了多項(xiàng)式擬合精度低的缺點(diǎn)。以上通過(guò)對(duì)標(biāo)定裝置的改進(jìn)都在不同程度上增加了標(biāo)定裝置自身誤差對(duì)標(biāo)定結(jié)果的影響。同時(shí)標(biāo)定裝置操作復(fù)雜，難以商業(yè)化。

在標(biāo)定方法研究上，Cho J[10]等人利用一個(gè)帶有兩個(gè)三角項(xiàng)的波長(zhǎng)校準(zhǔn)模型，將水平像元與低壓汞燈五條線的已知波長(zhǎng)進(jìn)行最小二乘擬合。Zhang F[11]等人在光柵衍射方程的基礎(chǔ)上，結(jié)合分析光柵、正弦桿和掃描機(jī)構(gòu)螺桿之間的機(jī)械傳動(dòng)關(guān)系，建立了波長(zhǎng)誤差和機(jī)械誤差的數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于正弦棒長(zhǎng)度調(diào)整和誤差補(bǔ)償?shù)牟ㄩL(zhǎng)精確標(biāo)定方法。Kim[12-13]等人只需要一個(gè)精確的波長(zhǎng)就可以指定整個(gè)波長(zhǎng)范圍。在標(biāo)定方法研究上，大多基于最小二乘法擬合方式[14]，擬合之后的光譜信號(hào)由于受到噪聲等因素的影響，波長(zhǎng)和感光元件的像元之間并不是嚴(yán)格的多項(xiàng)式關(guān)系，誤差的標(biāo)準(zhǔn)差較大。

綜上所述，本文針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)光源的特征光譜和傳統(tǒng)擬合方法的缺點(diǎn)，首次提出基于MLS的微型光譜儀標(biāo)定方法，解決了最小二乘法誤差標(biāo)準(zhǔn)差較大的問(wèn)題。該方法使用C#作為編程語(yǔ)言，在WPF平臺(tái)(Windows Presentation Foundation)上實(shí)現(xiàn)該方法。首先使用汞氬燈和氖燈作為標(biāo)定光源，然后針對(duì)原始特征光譜圖中存在的高頻噪聲使用小波去噪法[15-16]去除，之后使用峰值圖像定位算法找到特征光譜峰所對(duì)應(yīng)的像元位置，最后篩選一部分標(biāo)定點(diǎn)，使用移動(dòng)最小二乘法標(biāo)定。

1 標(biāo)定方法總體介紹

本文提出的基于移動(dòng)最小二乘法的微型光譜儀標(biāo)定方法如圖1所示。

圖1 標(biāo)定方法設(shè)計(jì)圖

該方法由小波去噪、尋找特征峰、篩選有效標(biāo)定點(diǎn)和標(biāo)定關(guān)系擬合四部分組成。

第一部分：由于原始光譜圖中存在大量的高斯白噪聲，使用小波去噪使信號(hào)的噪聲得到抑制并且反映原始信號(hào)的特征尖峰得到很好地保留；第二部分：選取合適的特征峰起始位置決定了標(biāo)定的精度，使用比較法，定位每個(gè)特征峰像元所在的位置；第三部分：篩選一部分均勻覆蓋的特征峰所對(duì)應(yīng)的像元位置參與標(biāo)定；第四部分：選取指數(shù)型權(quán)函數(shù)和線性基函數(shù)，使用移動(dòng)最小二乘法算出標(biāo)定關(guān)系。

2 小波去噪去除高頻噪聲

微型光譜儀采集的信號(hào)包含各種噪聲和干擾，微型光譜儀標(biāo)定前需要進(jìn)行平滑處理提高光譜數(shù)據(jù)的信噪比，同時(shí)還需要保留光譜特征。

首先對(duì)接收到的光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行平均去噪，然后再進(jìn)行小波去噪。平均去噪認(rèn)為相鄰幀同一像元位置之間存在相關(guān)性，通過(guò)平均去噪，使光譜曲線預(yù)處理為較平滑。

小波理論是在傅里葉理論基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)，其主要原理基于短時(shí)傅里葉變換。小波去噪的實(shí)質(zhì)是將含有噪聲的信號(hào)從時(shí)域到小波空間的最優(yōu)映射。小波去噪包括小波變換、閾值處理、小波重構(gòu)三個(gè)步驟[17]。

小波變換首先要選擇一個(gè)合適的小波基，小波基有很多種，小波基應(yīng)該選擇與待去除的噪聲信號(hào)波形相似的小波函數(shù)。根據(jù)光譜儀高頻噪聲的特點(diǎn)，本文選取db3小波作為小波變換的小波基，db3小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)如圖2所示，對(duì)原始光譜信號(hào)進(jìn)行3層小波分解。

圖2 db3小波尺度和小波函數(shù)

微型光譜儀感光元件獲得的信號(hào)為離散數(shù)字信號(hào)，用濾波器執(zhí)行離散小波變換如圖3所示。圖中a0(k)為原始離散信號(hào)，k為離散數(shù)據(jù)的序號(hào)，離散信號(hào)的總長(zhǎng)度為n；離散小波變換相當(dāng)于將原信號(hào)a0(長(zhǎng)度為n)與濾波器函數(shù)H和L(長(zhǎng)度為f)做卷積，然后進(jìn)行降采樣，舍棄一半的卷積結(jié)果，得到信號(hào)的近似值a1(k)和信號(hào)的近似值d1(k)，之后對(duì)a1(k)繼續(xù)分解。

圖3 濾波器實(shí)現(xiàn)3層離散小波分解

閾值處理的作用是根據(jù)小波變換后各尺度的小波系數(shù)大小，去除噪聲的小波系數(shù)并保留有效信號(hào)的小波系數(shù)。本文選用軟閾值法，軟閾值函數(shù)定義為式(1)：

(1)

其中:ω為小波分解后的小波系數(shù)，T為設(shè)置的閾值。

3 特征光譜定位算法

汞氬燈等標(biāo)準(zhǔn)光源的光譜圖峰值相對(duì)尖銳，存在重疊峰的情況[18]。本文針對(duì)此類光譜圖和實(shí)驗(yàn)所用具有512點(diǎn)感光像元的微型光譜儀特點(diǎn)，基于比較法設(shè)計(jì)的光譜峰圖像定位算法主要有兩步：1)尋找每個(gè)峰的起始點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)和終止點(diǎn)，并進(jìn)行標(biāo)注；2)根據(jù)所作的標(biāo)注判斷特征峰的類型。

標(biāo)注階段：如圖4所示，橫軸為線陣感光元件的像元序號(hào)，縱軸為光強(qiáng)，從原點(diǎn)開(kāi)始搜尋，當(dāng)出現(xiàn)I(i)

圖4 光譜特征峰起始點(diǎn)和終止點(diǎn)標(biāo)注示意圖

圖5 光譜特征峰轉(zhuǎn)折點(diǎn)標(biāo)注示意圖

對(duì)濾波之后的標(biāo)準(zhǔn)光源光譜圖標(biāo)注之后再進(jìn)行峰值類型判斷，如圖6所示。

圖6 判斷光譜特征峰類型示意圖

I_up與I_down之間出現(xiàn)一個(gè)獨(dú)立峰；當(dāng)出現(xiàn)I_turn時(shí)則認(rèn)為出現(xiàn)一個(gè)重疊峰，搜尋峰的極大值時(shí)，按照I_up與I_turn、I_turn與I_down的規(guī)律看作是兩個(gè)獨(dú)立峰。本文使用的光譜儀感光元件的像元較少，獲得的特征峰相對(duì)尖銳，對(duì)于特征峰所對(duì)應(yīng)的像元只需要按照尋找極大值的方式即可找到，對(duì)于感光元件像元較多的光譜儀，還需要使用高斯擬合法、對(duì)稱零面積卷積法等方法進(jìn)一步處理[19]，本文不再進(jìn)一步分析。

4 MLS標(biāo)定關(guān)系建立

設(shè)函數(shù)f(x)在求解域Ω內(nèi)的近似為fh(x)，f(x)在計(jì)算點(diǎn)x的鄰域Ωx內(nèi)局部近似為：

(2)

基函數(shù)常用單項(xiàng)式，本文選取一維空間中單項(xiàng)式線性基函數(shù)，線性基如下：

pT(x)=[1,x],m=2

(3)

求解域Ω用n個(gè)節(jié)點(diǎn)離散，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)xI的權(quán)函數(shù)定義為：

wI=w(x-xI),I=1,2,…

(4)

近似函數(shù)fh(x)在節(jié)點(diǎn)處的誤差的加權(quán)平方和為：

(5)

其中:n是用于插值的場(chǎng)點(diǎn)數(shù)。

式(5)兩邊對(duì)a(x)求導(dǎo)得：

(6)

a(x)=A-1(x)B(x)y

(7)

其中:

(8)

B(x)=[w1(x)p(x1),w2(x)p(x2),…,wnp(xn)]

(9)

y=[y1,y2,…,yn]T

(10)

為了求解系數(shù)a(x)，把式(7)代入式(2)得到移動(dòng)最小二乘擬合函數(shù)：

f(x)=pT(x)A-1(x)B(x)y

(11)

MLS標(biāo)定的關(guān)鍵步驟是選取合適的權(quán)函數(shù)，權(quán)函數(shù)的選取應(yīng)該滿足非負(fù)性、緊支性、單調(diào)遞減性和平滑性。常用的權(quán)函數(shù)類型有高斯函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、樣條型函數(shù)和徑向基函數(shù)等。根據(jù)微型光譜標(biāo)定曲線線性特性，本文選取指數(shù)型函數(shù)作為基函數(shù)，形式如下：

wI=e-((x-xI)/α)2

(12)

其中:參數(shù)α越大，wI越平滑，本文經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，選取α=60，此時(shí)微型光譜儀擬合效果最好。

移動(dòng)最小二乘法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用較低階的基，選取適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)獲得具有較高連續(xù)性和相容性的函數(shù)。

5 實(shí)驗(yàn)分析

5.1 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文選用美國(guó)Pyxis公司研發(fā)的SQ-3000型可見(jiàn)波段的微型光譜儀作為標(biāo)定精度測(cè)試對(duì)象。此光譜儀可檢測(cè)的波段波長(zhǎng)范圍為380～800 nm，光譜儀的波長(zhǎng)分辨率為1.5 nm，該型號(hào)微型光譜儀使用切爾尼-特納光學(xué)結(jié)構(gòu)，光電傳感器為濱松S8378-512Q線性CMOS，各像元有其確定的編號(hào)，從1開(kāi)始到512結(jié)束。由式(11)得到像元和波長(zhǎng)的關(guān)系函數(shù)為：

λ(i)=pT(i)A-1(i)B(i)y

(13)

其中:i為像元序號(hào)，λ(i)為像元i所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。

波長(zhǎng)標(biāo)定需要通過(guò)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的發(fā)射譜來(lái)完成，常用的波長(zhǎng)標(biāo)定光源為：氘燈發(fā)射譜、汞氬燈發(fā)射譜、氖燈發(fā)射譜等光源。隨著微型光譜儀的發(fā)展，使用單一光源很難獲得均勻分布的特征譜線，本文同時(shí)使用汞氬燈和氖燈對(duì)微型光譜儀標(biāo)定，可以獲得均勻分布的特征譜線，具有成本低、操作簡(jiǎn)單、精度高的優(yōu)點(diǎn)，非常適合對(duì)200～1700 nm波段的微型光譜儀進(jìn)行波長(zhǎng)標(biāo)定。標(biāo)定裝置的連接如圖7所示。

圖7 標(biāo)定裝置連接圖

實(shí)驗(yàn)的流程如下：首先，完成微型光譜儀與汞氬燈標(biāo)定光源的連接，微型光譜儀與計(jì)算機(jī)的連接；然后打開(kāi)上位機(jī)軟件，通過(guò)上位機(jī)軟件調(diào)節(jié)積分時(shí)間采集合適的光譜圖像并將其呈現(xiàn)到計(jì)算機(jī)上，記錄此時(shí)的光譜圖像；斷開(kāi)微型光譜儀與汞氬燈的連接，將微型光譜儀與氖燈進(jìn)行連接，調(diào)節(jié)合適的積分時(shí)間，記錄此時(shí)的光譜圖像；通過(guò)上位機(jī)軟件，將兩次保存的光譜圖像進(jìn)行小波去噪、尋峰。

5.2 標(biāo)定集特征點(diǎn)選取

光譜儀標(biāo)定集(參與標(biāo)定的譜線特征點(diǎn))選取的原則：譜線覆蓋在光譜儀工作波長(zhǎng)范圍內(nèi)，譜線的數(shù)目越多越好，譜線的間隔要大于光譜儀分辨率并且越均勻越好[5]。汞氬燈和氖燈的合成特征譜線在可見(jiàn)波段微型光譜儀去噪和尋峰后分布情況如圖8所示，深色線為Hg-Ar燈的光譜圖，淺色線為Ne燈的光譜圖。根據(jù)特征譜線分布情況實(shí)驗(yàn)共選取11個(gè)特征點(diǎn)作為標(biāo)定點(diǎn)，如表1所示。

圖8 去噪后特征光譜分布圖

表1 標(biāo)定集特征譜線的波長(zhǎng)和像元序號(hào)對(duì)應(yīng)關(guān)系

特征譜波長(zhǎng)/nm像元序號(hào)譜線來(lái)源404.65626Hg-Ar435.8862Hg-Ar546.074192Hg-Ar585.249239Ne614.306275Ne640.225307Ne667.828341Ne703.241385Ne724.512412Ne760.956459Hg-Ar794.818503Hg-Ar

5.3 標(biāo)定結(jié)果及對(duì)比分析

標(biāo)定結(jié)果檢驗(yàn)方法：選取另一組未參與標(biāo)定的特征點(diǎn)，測(cè)出相應(yīng)的像元位置，將像元位置代入到擬合方程中，算出標(biāo)定波長(zhǎng)，特征譜線的真值與標(biāo)定波長(zhǎng)預(yù)測(cè)值之差即為標(biāo)定誤差。

本實(shí)驗(yàn)從汞氬燈和氖燈的合成特征光譜圖中均勻地選取5個(gè)未參與標(biāo)定的特征譜線作為測(cè)試集，測(cè)出相應(yīng)的像元位置，將像元位置代入到擬合之后的方程中，算出標(biāo)定波長(zhǎng)，測(cè)試集的波長(zhǎng)分別為626.649 nm、671.704 nm、692.947 nm、727.294 nm、763.511 nm。

為了驗(yàn)證標(biāo)定精度，將測(cè)試集和標(biāo)定集的像元位置均代入到標(biāo)定關(guān)系函數(shù)中進(jìn)行誤差測(cè)試，標(biāo)定誤差如表2所示。

表2 MLS標(biāo)定結(jié)果

通過(guò)對(duì)表2分析可知：采用基于移動(dòng)最小二乘法的擬合絕對(duì)誤差在0.401 nm內(nèi)，滿足標(biāo)定所用微型光譜儀1.5 nm的分辨率要求。

進(jìn)一步計(jì)算：MLS方法的擬合優(yōu)度R2=0.999 3，擬合優(yōu)度接近1，說(shuō)明模型的擬合度較好。

為了驗(yàn)證使用MLS標(biāo)定方法的優(yōu)越性，分別使用最小二乘法三次多項(xiàng)式擬合(LS3)、最小二乘法四次多項(xiàng)式擬合(LS4)、三次樣條插值法(CS)用相同的標(biāo)定集進(jìn)行標(biāo)定對(duì)比。

標(biāo)定之后，測(cè)試集和標(biāo)定集的誤差標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比如表3所示，其中CS擬合中標(biāo)定集一定在擬合曲線上，故沒(méi)有評(píng)價(jià)意義。通過(guò)對(duì)四種標(biāo)定方法誤差標(biāo)準(zhǔn)差比較可知，MLS標(biāo)定的測(cè)試集誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.192 nm，標(biāo)定集誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.136 nm，高于其他三種擬合方式，說(shuō)明MLS法標(biāo)定結(jié)果更加穩(wěn)定。

表3 多種標(biāo)定方法誤差標(biāo)準(zhǔn)差比較結(jié)果

6 結(jié)論

針對(duì)微型光譜儀缺少一種統(tǒng)一、可靠的標(biāo)定方法的問(wèn)題，本文提出了一種基于移動(dòng)最小二乘法的微型光譜儀標(biāo)定方法，相比傳統(tǒng)的最小二乘法多項(xiàng)式擬合方式，移動(dòng)最小二乘法可以靈活地選取不同階的基函數(shù)改變擬合精度，選取不同的權(quán)函數(shù)改變擬合的光滑度。首先，微型光譜儀標(biāo)定中，本文提出同時(shí)使用汞氬燈和氖燈標(biāo)定可見(jiàn)波段微型光譜儀，獲得均勻覆蓋的特征譜線。然后，經(jīng)過(guò)小波去噪之后，高頻噪聲信號(hào)得到明顯地去除，使用峰值尋峰法可以準(zhǔn)確地找到所有的特征峰所對(duì)應(yīng)的像元位置。最后，選取一組特征譜線作為標(biāo)定集，使用移動(dòng)最小二乘法對(duì)微型光譜儀做標(biāo)定；選取一組未參與標(biāo)定的譜線作為測(cè)試集，進(jìn)行誤差分析。由實(shí)驗(yàn)可以得出：基于移動(dòng)最小二乘法擬合標(biāo)定后，標(biāo)定集的誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.136 nm，測(cè)試集的誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.192 nm，擬合優(yōu)度為0.999 3。本文提出的標(biāo)定方法和傳統(tǒng)的最小二乘法三次擬合標(biāo)定方法比較得到：標(biāo)定集誤差標(biāo)準(zhǔn)差減小了0.026 nm，測(cè)試集誤差標(biāo)定差減小了0.047 nm，標(biāo)定結(jié)果具有較高的穩(wěn)定性，在實(shí)際工程應(yīng)用中具有重要的指導(dǎo)意義。