陶慶東，何兆益，賈穎

(1.重慶交通大學 土木工程學院，重慶市 400074；2.綿陽職業(yè)技術(shù)學院；3.貴州省交通勘察規(guī)劃設(shè)計研究院股份有限公司)

土石混合體填料具有抗剪強度高、壓實性能好、穩(wěn)定性好、透水性強、抗沖刷能力強等優(yōu)點，因而廣泛應(yīng)用于山區(qū)高填方公路工程建設(shè)中。但土石混合體填料組成與來源復(fù)雜，具有明顯的不確定性、不連續(xù)性與不規(guī)則性，并一直處于動態(tài)演變之中，運用傳統(tǒng)科學方法難以解決其復(fù)雜無序卻又有內(nèi)在規(guī)律的問題，而分形幾何理論可以深入分析其粒度分形特征與工程特性的相關(guān)性，為其提供定量化的描述。

董云對土石混合料粗顆粒含量與顆粒分布對分維值的影響進行了探討，得到了顆粒級配與分維值的相關(guān)關(guān)系；張季如、周榮、杜俊、王宇等基于試驗數(shù)據(jù)，建立了砂土、粗粒土與巖體的抗剪強度指標、滲透變形指標、破碎性與分形維數(shù)的關(guān)系；舒志樂從非線性特性角度出發(fā)，評價了粒度分維值對抗剪強度的影響程度；McDowell、杜修力、蔡正銀、李希等對砂礫石、堆石料進行了粒度分形，得到了質(zhì)量-粒徑級配曲線與粒度分維數(shù)間的相關(guān)關(guān)系，以及密度、級配與圍壓對顆粒破碎影響的內(nèi)在規(guī)律。

基于以上研究成果，該文運用分形幾何理論，對不同含石量與不同含水率的土石混合體填料的分形特征進行研究，并考慮擊實前后顆粒破碎對分形特征的影響。從連續(xù)變化的分維數(shù)上認知土石混合體填料的力學性能變化規(guī)律，得到影響分維數(shù)的因素及各因素的影響程度，從而指導(dǎo)高速公路土石混合體山區(qū)的施工。

1 試驗材料與設(shè)計

1.1 試驗材料

為驗證土石混填體路基填料的分形特征，以四川省省道205線綿陽繞城段改線工程(游仙區(qū)段)現(xiàn)場路基填料為研究對象。該工程采用移挖做填的路堤填筑形式，試驗材料均為高填方路基填筑材料或路塹開挖土方，主要含有頁巖、頁巖土，部分還含有砂巖、石灰?guī)r。

試驗過程中，嚴格把關(guān)選取的填料、保證土石混合體填料質(zhì)地均勻，控制顆粒的最大粒徑為40 cm，拌和均勻后用于擊實試驗，這樣可以保證各填料自身的顆粒密度為定值。

1.2 試驗設(shè)計

對土石混合體填料進行篩分時，粒徑小于5 mm的材料定義為土，粒徑大于5 mm的材料定義為石，室內(nèi)篩分試驗采用標準振篩機，篩分粒徑分別為40、20、10、5、2.5、1.25、0.6、0.3、0.15、0.075 mm。

由于土石混合料具有顆粒粒徑范圍變化大、含石量離散性大等特點，因此有必要研究不同含石量填料擊實前后的分形特性與破碎率對分維數(shù)的影響。選取5種含石量(10%、30%、50%、70%、90%)的路基填料進行分析，并按照表1各粒徑進行組合，對應(yīng)的土石混合體填料不同含石量的級配曲線，如圖1所示。

表1 擊實試驗前不同級配各粒徑含量

圖1 不同含石量顆粒級配曲線

對原路基填料與設(shè)計含石量填料進行擊實試驗，試驗共進行30組，得到不同含石量擊實曲線，如圖2所示，對應(yīng)的不同含石量的最大干容重與最佳含水率，如表2所示。

圖2 土石混合體填料不同含石量擊實曲線

由圖1、2與表2可得：原狀填料級配與含石量30%情況下的級配曲線、擊實曲線，最大干容重與最佳含水率均較為接近，因此后續(xù)的研究中將不再單獨探討原狀土石料的破碎與分形特性，僅進行含石量30%時填料的相關(guān)特性研究。

表2 不同含石量的最大干容重與最佳含水量

2 土石混合體粒度分形特性

2.1 分形結(jié)構(gòu)模型

分形幾何理論主要用以描述質(zhì)量(F)與長度(L)、面積(S)、體積(V)的相互關(guān)系，假設(shè)物體的分維數(shù)為D，則存在如下關(guān)系式：

(1)

基于分形幾何理論，Mandelbrot提出了顆粒數(shù)量-粒徑的分形模型，該模型可以表述為：

N(>Ri)∝Ri-D

(2)

式中：N為粒徑大于Ri粒徑的顆粒數(shù)量;Ri為顆粒粒徑；D為分維數(shù)。

假設(shè)某一粒徑的顆粒組成與顆粒數(shù)量存在常數(shù)C的關(guān)系，則式(2)可以變換為：

N(>Ri)∝C·Ri-D

(3)

根據(jù)顆粒數(shù)量—粒徑的分形模型，Tyler等提出了考慮質(zhì)量與孔徑的三維空間體積分形模型，即：

(4)

式中：CV與KV為與顆粒組成有關(guān)的常數(shù)。

假定各粒徑顆粒密度ρ相等，則有：

ρ×V(>Ri)=ρ·CV·[1-(Ri/KV)(3-D)]

(5)

也即大于某一粒徑的顆粒質(zhì)量為：

M(>Ri)=Cm·[1-(Ri/KV)(3-D)]

(6)

式中：Cm為與顆粒質(zhì)量組成有關(guān)的常數(shù)。

設(shè)最大粒徑為Rmax，土樣總質(zhì)量為M總，則當Ri=0時，M(>Ri)=M總=Cm；而當Ri=Rmax時，就可以得到1-(Ri/KV)=0，即KV=Rmax，此時式(6)可以寫為：

M(>Ri)/M總=1-(Ri/Rmax)(3-D)

(7)

即M(

(8)

式中：M(

等式兩邊取對數(shù)，得：

lgP=(3-D)×lg(Ri/Rmax)

(9)

式中：P=M(Ri)/M總，M(Ri)為小于粒徑Ri的顆粒質(zhì)量，將P和Ri/Rmax作為雙對數(shù)橫縱坐標，此時，(3-D)為擬合直線的斜率K。通過求得擬合直線的斜率K，可求得分維數(shù)D=3-K。

2.2 分維數(shù)計算

以粒徑比對數(shù)lg(Ri/Rmax)為橫坐標，質(zhì)量比對數(shù)lgP為縱坐標，參照圖1級配曲線，對不同含石量土石混合體填料在雙對數(shù)坐標系下的級配曲線進行擬合，具體見表3與圖3。

表3 土石混合體填料不同含石量的粒度分維數(shù)

由表3、圖3可得：含石量10%、30%、50%、70%、90%的線性相關(guān)系數(shù)R均較高，擬合度較高，說明當土石混合體填料中的含石量變化時，顆粒粒徑與級配仍然存在較明顯的分形現(xiàn)象，不同含石量的土石混合體填料符合分形特征條件，是一種分形材料。

圖3 不同含石量的雙對數(shù)顆粒粒度分維曲線

2.3 級配分維指標

前文已經(jīng)證明了不同含石量土石混合體填料中存在分形現(xiàn)象，因而可以進行分維數(shù)與顆粒級配的相關(guān)性研究。

由于顆粒的分維數(shù)大小由顆粒粒度成分決定，而室內(nèi)試驗中，填料的不均勻系數(shù)Cu和曲率系數(shù)Cc是反映級配優(yōu)良與否的最直觀指標，兩者也與顆粒粒徑度成分密切相關(guān)。因此，需要通過以上兩個參數(shù)判斷不同含石量級配優(yōu)劣情況，找到分維數(shù)與Cu、Cc的相關(guān)關(guān)系。

由圖1可得不同含石量的不均勻系數(shù)Cu和曲率系數(shù)Cc，計算公式如下：

Cu=d60/d10

(10)

Cc=(d30)2/(d60d10)

(11)

參考文獻[1]對顆粒級配評價指標與分維數(shù)的關(guān)系進行推導(dǎo)，得到的公式如下：

Cu=61/(3-D)

(12)

Cc=(3/2)1/(3-D)

(13)

將式(10)、(11)代入式(12)、(13)，求得的不同含石量填料顆粒的分維數(shù)，如表4所示。

參照GB/T 50145-2007《土的工程分類標準》，具體見表5，得到當?shù)[與砂的Cu≥5，Cc為1～3時，顆粒級配良好；當Cu≥5時，由式(12)得分維數(shù)D≥1.887，當Cc為1～3時，由式(13)得分維數(shù)D≥2.631，此時粒度分維數(shù)區(qū)間為1.887～2.631，但以上條件只是針對礫土與砂土。

由于土石混合體填料的特殊性與復(fù)雜性，通過粒度分維數(shù)區(qū)間[1.887,2.631]來判斷土石混合體填料級配良好并不一定適用，因此有必要對土石混合體填料級配良好時的粒度分維數(shù)區(qū)間進行研究。

表4 各含石量土石混合體填料的粒徑分布特征

表5 礫類土與砂類土分類

由表4可知：當含石量10%、30%、50%與70%時，各含石量土石混合體填料的不均勻系數(shù)均為Cu>5和曲率系數(shù)均為Cc在1～3之間，滿足級配良好的規(guī)定，其對應(yīng)的分維數(shù)分別為2.353 7、2.622 4、2.307 3、2.178 9，對應(yīng)的粒度分維數(shù)區(qū)間為[2.178 9,2.622 4]，該區(qū)間包含在礫土與砂土的分維區(qū)間[1.887,2.631]范圍內(nèi)，表明土石混合體填料的級配良好時對應(yīng)的粒度分維數(shù)區(qū)間服從于礫土與砂土的粒度分維數(shù)區(qū)間，但級配良好的土石混合體填料對粒度分維數(shù)區(qū)間的要求更為嚴格。同時，也可證明通過不均勻系數(shù)Cu與曲率系數(shù)Cc兩者共同判斷顆粒級配優(yōu)劣的標準與分維數(shù)區(qū)間判斷標準一致。因此，評價土石混合體路基填料級配的兩個指標可簡化為分維數(shù)一個指標，且土石混合體填料級配良好的分維數(shù)區(qū)間可以確定為[2.178 9,2.622 4]。

3 顆粒破碎特性分析

3.1 顆粒破碎類型

顆粒破碎是指巖土顆粒在外部荷載作用下產(chǎn)生結(jié)構(gòu)的破裂或破損，分裂成粒徑相等或不等的多個顆粒的現(xiàn)象，顆粒破碎大致分為3種類型，如圖4所示。

土石混合體填料產(chǎn)生顆粒破碎的主要原因是：填料中各粒徑顆粒常為點接觸，壓實過程中，土石混合體填料骨架中的“石”在相互擠壓，當壓力大于自身能夠抵抗的壓力時，即發(fā)生顆粒破裂。大粒徑顆粒分裂成粒徑不均的多個小顆粒，加之顆粒自身結(jié)構(gòu)的缺陷，顆粒本身會發(fā)生更小顆粒的脫落，致使大顆粒逐漸變小，出現(xiàn)破裂與破碎兩種類型的破碎；而當顆粒間存在機械咬合，在顆粒表面產(chǎn)生剪切力時，會出現(xiàn)顆粒研磨類型的破碎。

圖4 塊石破碎分類

3.2 顆粒破碎率

分形理論是研究土石混合體填料的有效工具，其中分維數(shù)值是填料粒度分形分布特征的量化指標，填料擊實前后各粒徑含量的變化值，可以表征各粒徑顆粒發(fā)生破碎的程度。Hardin、Lee 等提出了表征顆粒破碎的方法，其中Marsal與Hardin提出的相對破碎率Bg的概念應(yīng)用最為廣泛，Bg的計算方法如下：

Bg=∑|Wki-Wkf|

(14)

式中：Bg為試驗前后各粒徑組成質(zhì)量之差的正值，作為顆粒破碎程度的度量；Wki、Wkf分別為擊實前、后級配曲線上某粒組的質(zhì)量分數(shù)。

對不同含石量與含水率的土石混合體填料進行擊實，擊實后其級配特征與分維數(shù)變化見表6。

由表6可知：

(1) 在含石量一定的情況下，顆粒破碎率隨著含水率的增大而增大；當含水率相同時，含石量高的土石混合體填料對應(yīng)的破碎率更大，且含石量大于50%時，填料破碎率顯著增加。

(2) 含石量與含水率是影響顆粒破碎率的兩個重要因素。① 當討論含水率的影響時，以填料含水率為2.18%作為基準值，含水率為4.18%、6.18%、8.18%、10.18%作為對比值，則含石量為10%時，含水率2.18%增加到10.18%，破碎率增加的最大比例為44.90%，同理，含石量為30%、50%、70%、90%時破碎率增加的最大比例為154.60%、113%、54.87%、34.66%；② 當討論含石量的影響時，以填料含石量為10%，含水率為2.18%、4.18%、6.18%、8.18%、10.18%作為基準值，則含石量為30%、50%、70%、90%對應(yīng)2.18%含水率，破碎率增加的比例為234.7%、810%、1 629%、2 756%，取最大值2 756%，同理含石量為30%、50%、70%、90%對應(yīng)含水率為4.18%、6.18%、8.18%、10.18% 時，破碎率增加的最大比例為2 792%、2 946%、2 580%、2 554%。分析以上數(shù)據(jù)可得，含石量對破碎率的影響較含水率更加顯著。

表6 擊實后不同級配各粒徑含量

統(tǒng)計表6不同含石量的填料破碎后分維數(shù)數(shù)據(jù)，得到擊實后的分維數(shù)除含石量30%時略有減少外，其余情況均成增加的趨勢；且根據(jù)定義的土石混合體填料級配良好的分維數(shù)區(qū)間[2.178 9,2.622 4]，可確定擊實后的土石混合體填料級配良好。

擊實破碎后分維數(shù)與顆粒破碎率關(guān)系曲線如圖5所示。

由圖5可知：通過對填料不同含石量的破碎率與分維數(shù)關(guān)系進行擬合，得到含石量10%、70%時對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)R2分別為0.344 8與0.857 6，相關(guān)性相對較差外，含石量為30%、50%、90%時，線性相關(guān)系數(shù)均較高，分別達到了0.947、0.974 1、0.971 7，相關(guān)性較高，表明不同含石量的分維數(shù)與對應(yīng)的擊實破碎率間存在內(nèi)在聯(lián)系。

圖5 分維數(shù)與顆粒破碎率關(guān)系曲線

擊實破碎后分維數(shù)與含水率關(guān)系曲線，如圖6所示。

圖6 破碎后分維數(shù)與含水率關(guān)系曲線

由圖6可知：當含石量相同時，隨含水率的增加，擊實后土石混合體破碎的分維數(shù)呈逐漸增大的趨勢，且含石量越大，破碎的分維數(shù)增加得越多。

主要原因是在含石量較大時，含水率逐漸增加的情況下，顆粒間的相對滑動性更好，相互機械咬合的機會增加，在填料受到擊實作用時，顆粒間由于相互機械咬合力與擠壓力增加，當顆粒間難以抵抗外界的壓力，就會發(fā)生顯著的破碎，進而使原有的顆粒級配發(fā)生變化，增大了分維數(shù)；而當含石量較小時，擊實作用只是將“石”壓碎，而“土”顆粒未被壓碎，只是使其密實度更好，孔隙更小，所以分維數(shù)變化不大。

4 結(jié)論

基于分形幾何理論，分析了不同含石量的顆粒級配設(shè)計時的分維數(shù)與擊實破碎后的分維數(shù)的變化規(guī)律。主要結(jié)論如下：

(1) 可用分維數(shù)作為土石混合體填料顆粒級配的評價指標，且土石混合體填料級配良好的分維數(shù)區(qū)間為[2.178 9,2.622 4]。土石混合體填料破碎后的分形維數(shù)與含水率及破碎率間存在很好的線性關(guān)系。

(2) 由于填料在擊實過程中，顆粒會發(fā)生破碎，破碎后的分維數(shù)需考慮含石量與含水率等因素。

(3) 當含水率相同時，含石量高的土石混合體填料對應(yīng)的破碎率更大，且含石量大于50%時，填料破碎率顯著增加。

(4) 當含石量為定值時，隨著含水率的增加，擊實后土石混合體破碎的分維數(shù)呈逐漸增大的趨勢，且隨含石量的增加，破碎后填料分維數(shù)增加得更為顯著。