江蘇省南通田家炳中學(xué) 易 峻

“以題組為情境”，即是把知識點、例題、技能與方法通過精心設(shè)計，變成一系列問題或題組，在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題時強化和提升，從而達到課堂教學(xué)的效果。

一、問題的提出

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題中，一般會采用“知識回顧—題型總結(jié)—學(xué)生訓(xùn)練”的傳統(tǒng)模式。這種模式對于高三的學(xué)生而言，司空見慣，難以激發(fā)學(xué)生的興奮點，也就難以達到設(shè)計預(yù)期。造成這樣結(jié)果的原因是多方面的：

首先，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題的教學(xué)目標是基于清除學(xué)生的知識和方法盲點，同時有效地構(gòu)造知識網(wǎng)絡(luò)，進而有效靈活地運用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)技能解決問題。而傳統(tǒng)模式中的知識回顧和題型總結(jié)脫節(jié)，題型總結(jié)更是求全而體系化弱，無法對學(xué)生形成有效的刺激，造成了學(xué)生聽聽都會，應(yīng)用時對不上號。

其次，美國緬因州國家訓(xùn)練實驗室提出的學(xué)習(xí)金字塔，用量化的方式發(fā)現(xiàn)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)（討論、實踐、教授他人）明顯優(yōu)于被動學(xué)習(xí)(聽講、閱讀、視聽、演示)的成果。傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課上的將知識、題型和練習(xí)的割裂使得學(xué)生的參與度低，演化成被動接受，不能主動建構(gòu)體系并積極實踐運用。

再次，基礎(chǔ)知識點和基本技能可以看作數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)形式，在實際解題中，必須能體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)。以此促進數(shù)學(xué)知識的深刻理解和技能的提升。因此題型表面上的完整性無法深化學(xué)生自身的理解能力，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的提高無實際幫助。

下面將以“隱圓”為例，探索題組為情境，融合知識點、方法和例題的可行性和功能性。

二、課堂實錄

1.知識回顧環(huán)節(jié)

教師：怎么求？

學(xué)生2：存在P點在直線x-y+m=0上且滿足x2+y2=4，即轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點，從而利用d＜求解。

題組一：2.在平面直角坐標系中，圓C：x2+y2-4x=0，以及點A(-1，0)，B(1，).在圓C 上是否存在點P，使得PA2+PB2=12？若存在，求點P 的個數(shù)；若不存在，說明理由。

學(xué)生3：基于PA2+PB2=12 關(guān)系，A 為定點，P 為動點，求出P 點軌跡為x2+y2=5，進而轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系求解。

教師：有些數(shù)學(xué)問題，將圓隱藏在已知條件里，隱晦地考查，解題時，需要我們通過分析探索，發(fā)現(xiàn)這些隱藏的圓（簡稱隱圓）。你能歸納出常見的隱圓類型嗎？

學(xué)生4：A 為定點，P 為動點，型如：PA=λPB、PA2+PB2=λ、PA÷ PB=λ。

學(xué)生5：當將隱圓的動點軌跡轉(zhuǎn)化圓時，就可以使用點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系來解題。

在整個知識回顧環(huán)節(jié)，教師通過題給創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生在探索中歸納知識，發(fā)現(xiàn)隱圓的轉(zhuǎn)化條件和一般解題思路，教師是組織者、參與者，但學(xué)生主體性地位和知識體系、方法體系均被強化了。

2.例題教學(xué)

題組二：1.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a+2)，若存在點P，使得PA=PB，PC=PD，則實數(shù)a 的取值范圍是？

學(xué)生6：轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系解決。

學(xué)生7：將切線長PM、P 轉(zhuǎn)化P1和P2表示，再次轉(zhuǎn)化為兩定點、一動點問題求P 點軌跡(x-62+y2)=3。

教師：這是化歸的思想。本節(jié)課通過題組一的研究，抽象出隱圓常見的三種形態(tài)，推理出轉(zhuǎn)化為軌跡相交的問題，建立起點與圓、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的模型，結(jié)合解析幾何中圖形的直觀性解決問題，解題過程中應(yīng)注意計算能力的培養(yǎng)，會對數(shù)據(jù)進行分析。

3.課后練習(xí)

題組三：1.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，點A(0，2)，若圓C 上存在點M，滿足MA2+MO2=10，則a 的取值范圍是__。

題組三：2.在等腰ΔABC 中，已知AB=AC，B(-1，0)，AC 邊的中點為D(2，0)，點A 的軌跡所包圍的圖形的面積等于____。

通過構(gòu)造層層遞進的題組，將直觀向深層次推進，分解教學(xué)難點，加深學(xué)生對隱圓問題處理的一般化方法的理解，并在深化中收獲成功，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

三、思考與實踐

知識是理論，運用是實踐，只有理論與實踐的完美融合才會成為學(xué)生學(xué)習(xí)的動力源泉。學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀性是學(xué)習(xí)進步的推動力，而主觀性又必須得到教師的保護和鼓勵。學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的知識點是高效且高質(zhì)量的，這將成為向上蹦一蹦的基礎(chǔ)，通過題組就夯實了這一基礎(chǔ)，也就保護學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的動力和能力。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)該是平面的，而是向著思維的縱深處去發(fā)展。題組中采用一題多變、一題多解等設(shè)計有助于學(xué)生網(wǎng)絡(luò)化地建構(gòu)數(shù)學(xué)體系，有效地克服急功近利的題海戰(zhàn)術(shù)，進而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。