江蘇省南通田家炳中學(xué) 易 峻
“以題組為情境”,即是把知識點、例題、技能與方法通過精心設(shè)計,變成一系列問題或題組,在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題時強化和提升,從而達到課堂教學(xué)的效果。
在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題中,一般會采用“知識回顧—題型總結(jié)—學(xué)生訓(xùn)練”的傳統(tǒng)模式。這種模式對于高三的學(xué)生而言,司空見慣,難以激發(fā)學(xué)生的興奮點,也就難以達到設(shè)計預(yù)期。造成這樣結(jié)果的原因是多方面的:
首先,高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題的教學(xué)目標是基于清除學(xué)生的知識和方法盲點,同時有效地構(gòu)造知識網(wǎng)絡(luò),進而有效靈活地運用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)技能解決問題。而傳統(tǒng)模式中的知識回顧和題型總結(jié)脫節(jié),題型總結(jié)更是求全而體系化弱,無法對學(xué)生形成有效的刺激,造成了學(xué)生聽聽都會,應(yīng)用時對不上號。
其次,美國緬因州國家訓(xùn)練實驗室提出的學(xué)習(xí)金字塔,用量化的方式發(fā)現(xiàn)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)(討論、實踐、教授他人)明顯優(yōu)于被動學(xué)習(xí)(聽講、閱讀、視聽、演示)的成果。傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課上的將知識、題型和練習(xí)的割裂使得學(xué)生的參與度低,演化成被動接受,不能主動建構(gòu)體系并積極實踐運用。
再次,基礎(chǔ)知識點和基本技能可以看作數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)形式,在實際解題中,必須能體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)。以此促進數(shù)學(xué)知識的深刻理解和技能的提升。因此題型表面上的完整性無法深化學(xué)生自身的理解能力,對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的提高無實際幫助。
下面將以“隱圓”為例,探索題組為情境,融合知識點、方法和例題的可行性和功能性。
教師:怎么求?
學(xué)生2:存在P點在直線x-y+m=0上且滿足x2+y2=4,即轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點,從而利用d<求解。
題組一:2.在平面直角坐標系中,圓C:x2+y2-4x=0,以及點A(-1,0),B(1,).在圓C 上是否存在點P,使得PA2+PB2=12?若存在,求點P 的個數(shù);若不存在,說明理由。
學(xué)生3:基于PA2+PB2=12 關(guān)系,A 為定點,P 為動點,求出P 點軌跡為x2+y2=5,進而轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系求解。
教師:有些數(shù)學(xué)問題,將圓隱藏在已知條件里,隱晦地考查,解題時,需要我們通過分析探索,發(fā)現(xiàn)這些隱藏的圓(簡稱隱圓)。你能歸納出常見的隱圓類型嗎?
學(xué)生4:A 為定點,P 為動點,型如:PA=λPB、PA2+PB2=λ、PA÷ PB=λ。
學(xué)生5:當將隱圓的動點軌跡轉(zhuǎn)化圓時,就可以使用點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系來解題。
在整個知識回顧環(huán)節(jié),教師通過題給創(chuàng)設(shè)情境,學(xué)生在探索中歸納知識,發(fā)現(xiàn)隱圓的轉(zhuǎn)化條件和一般解題思路,教師是組織者、參與者,但學(xué)生主體性地位和知識體系、方法體系均被強化了。
題組二:1.在平面直角坐標系xOy中,設(shè)點A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在點P,使得PA=PB,PC=PD,則實數(shù)a 的取值范圍是?
學(xué)生6:轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系解決。
學(xué)生7:將切線長PM、P 轉(zhuǎn)化P1和P2表示,再次轉(zhuǎn)化為兩定點、一動點問題求P 點軌跡(x-62+y2)=3。
教師:這是化歸的思想。本節(jié)課通過題組一的研究,抽象出隱圓常見的三種形態(tài),推理出轉(zhuǎn)化為軌跡相交的問題,建立起點與圓、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的模型,結(jié)合解析幾何中圖形的直觀性解決問題,解題過程中應(yīng)注意計算能力的培養(yǎng),會對數(shù)據(jù)進行分析。
題組三:1.在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,點A(0,2),若圓C 上存在點M,滿足MA2+MO2=10,則a 的取值范圍是__。
題組三:2.在等腰ΔABC 中,已知AB=AC,B(-1,0),AC 邊的中點為D(2,0),點A 的軌跡所包圍的圖形的面積等于____。
通過構(gòu)造層層遞進的題組,將直觀向深層次推進,分解教學(xué)難點,加深學(xué)生對隱圓問題處理的一般化方法的理解,并在深化中收獲成功,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。
知識是理論,運用是實踐,只有理論與實踐的完美融合才會成為學(xué)生學(xué)習(xí)的動力源泉。學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀性是學(xué)習(xí)進步的推動力,而主觀性又必須得到教師的保護和鼓勵。學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的知識點是高效且高質(zhì)量的,這將成為向上蹦一蹦的基礎(chǔ),通過題組就夯實了這一基礎(chǔ),也就保護學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的動力和能力。
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)該是平面的,而是向著思維的縱深處去發(fā)展。題組中采用一題多變、一題多解等設(shè)計有助于學(xué)生網(wǎng)絡(luò)化地建構(gòu)數(shù)學(xué)體系,有效地克服急功近利的題海戰(zhàn)術(shù),進而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。