郭文軍， 張小龍， 張 凱， 李 涵

(西安建筑科技大學機電工程學院，西安 710055)

由于回轉體不平衡的存在，產(chǎn)生強迫振動，且處于臨界轉速附近振動幅值增加。尤其對于高速旋轉機械，如離心機、汽車車輪[1]等，每次轉軸轉動時不平衡力大小隨機變化。對此旋轉機械也只能在運行時才能取得平衡。然而采用高精度的靜動平衡方法存在很大局限性，對于轉子質(zhì)量可能隨時發(fā)生改變的回轉機械，嚴重影響轉軸運行軌跡[2]。

旋轉機械中剛性轉子通過改變平面校正質(zhì)量對主軸進行重新校準[3]。然而，諸如材料腐蝕以及熱變形的影響可能導致轉子質(zhì)量分布改變，并且在這種情況下必須重復平衡過程，會讓生產(chǎn)加工產(chǎn)生間斷性。這種限制促使人們開始對自動平衡裝置進行深入研究，重新分配轉子自身質(zhì)量以消除任何不平衡。自動平衡裝置能夠在轉子系統(tǒng)不停止工作的條件下，對轉子系統(tǒng)實現(xiàn)自動平衡。在現(xiàn)實生活中，球式自動平衡裝置已經(jīng)應用在離心分離機、光盤驅動器等[4]許多領域。隨著對平衡裝置深入研究以及其實用價值的體現(xiàn)，應用推廣將會被人們更加認可。

該裝置結構簡單，可行性強，使用價值較高，對此中外專家進行了許多理論與實驗驗證。為了消除轉子系統(tǒng)產(chǎn)生的有害強迫振動，將滾球加入在回轉體的圓盤來平衡轉子系統(tǒng)。當轉子轉速達到臨界速度，離心力帶動滾球運動消除靜不平衡，達到減振目的，并證明了在第一臨界頻率以上時，轉子在該轉速下存在的穩(wěn)態(tài)機。Rodrigues等[5-7]對雙盤球式自動平衡裝置的穩(wěn)定性和分岔理論進行了分析與研究。張小龍等[8-9]運用了諧波平衡法解釋單、雙滾珠轉子系統(tǒng)在臨界轉速附近平面振動的動態(tài)特性，對比研究了單滾球與雙滾球平衡制振效果并進行數(shù)值計算與理論說明。通過理論解析與數(shù)值模擬,研究了兩滾珠平衡制振時轉子系統(tǒng)的1/2次分數(shù)諧波振動的響應特性及滾珠質(zhì)量對振動響應大小的影響規(guī)律等。羅建等[10]利用病態(tài)性探測，得出了球式自動平衡裝置對作非平面運動的轉子減振效果顯著，平面振動與空間振動都得到了有效控制。譚青等[11]對球式自動平衡裝置進行了虛擬實驗研究，建立了虛擬實驗平臺，通過可視化實驗分析滾球平衡過程。目前研究主要以單盤球式自動平衡裝置為主，而實際上雙盤球式自動平衡裝置的應用也在不斷增加。

針對Jeffcott轉子系統(tǒng)，在轉軸上固定兩個轉盤，在轉盤中各加入兩個滾球，通過理論說明與數(shù)值模擬，研究了雙盤球式自動平衡裝置的制振特性及盤中滾球運動規(guī)律。

1 數(shù)學模型簡要說明

在工程實際與生產(chǎn)應用中，高速轉動轉子在不平衡力矩作用下，轉軸的運動范圍不僅僅在單一平面內(nèi)，整個系統(tǒng)會在非平面運動，產(chǎn)生空間上的力與位移。雙盤球式自動平衡裝置更加與實際貼合，該裝置的力學模型如圖1所示。在無質(zhì)量彈性軸的兩端(假設彎曲剛度為k)安裝有質(zhì)量為M1和M2的圓盤(Jeffcott轉子)，運動阻尼為C，每個圓盤內(nèi)有半徑為R的凹槽，凹槽內(nèi)質(zhì)量均為m(m?M1、M2)的兩個滾球，滾球的半徑為r，沿軌道半徑R的凹槽作圓周運動。

雙盤球式自動平衡裝置中一個圓盤的模型如圖2所示，設圓盤形心為O1(X,Y)、兩個平衡滾球角位置φi1和φi2，i=1,2。圖中白色圓代表滾球位置，黑色圓表示回轉體重心的位置。

圖1 雙盤球式自動平衡裝置力學模型Fig.1 Mechanical model of double-ball automatic balancing device

圖2 圓盤中滾球轉動模型Fig.2 Rolling ball rotation model in the disc

采用的符號如下(如未加特殊說明,單位均采用國際標準單位)：

O0-XYZ:靜止坐標系，且與O1-X1Y1Z1平行。

O1εηξ為旋轉軸的動坐標系。

O0O1為圓盤中心靜止時和運動時的位置。

O1為Ⅰ圓盤與旋轉軸的交點。

M1、M2、M為Ⅰ圓盤質(zhì)量、Ⅱ圓盤質(zhì)量、系統(tǒng)總質(zhì)量。

ω為轉子角速度。

L1、L2為Ⅰ圓盤、Ⅱ圓盤中重心偏移位置。

m、Ib、r為球的質(zhì)量、轉動慣量、半徑。

Iθ、Iψ為系統(tǒng)η、ξ軸上的轉動慣量。

φij為i圓盤j球的轉角(i=1,2；j=1,2)。

kr、Cr為轉軸的剛度、阻尼。

C0、C1為球的滾動摩擦系數(shù)，黏性阻尼系數(shù)。

R為球的公轉半徑。

Θ、Ψ為轉動軸角變化。

Ir為轉動軸的轉動慣量。

由圖1、圖2可知，雙盤球式自動平衡裝置可利用拉格朗日建立運動方程為

(1)

式(1)中：T為系統(tǒng)的總動能之和，包括圓盤Ⅰ、Ⅱ的動能，滾球的動能；qα為系統(tǒng)廣義坐標；V為系統(tǒng)的總勢能；Qα代表廣義外力；s為坐標數(shù)。由此推出雙盤球式自動平衡裝置運動方程為

(2)

2 定常解計算

對運動方程(2)進行無量綱化，得：

(3)

則方程(2)得到的系統(tǒng)方程式為

i=1,2；j=1,2

(4)

用平均法進行數(shù)值解析，式(4)的周期響應為

(5)

(6)

(7)

式(7)中：

(8)

式(8)中：ν=p的定常解如下。

5.1 穩(wěn)定解

滾球相對靜止，振幅為零。

(9)

此解僅存在0<δi≤2時，βi=cos-1(-δi/2)，各個圓盤及滾珠的位置如圖3所示。

當ν=p，δi=0時，此時由式(9)得φi2-φi1=π，A=B=C=D=0，同樣振幅為零。此時δi=0，各個圓盤及滾珠的位置如圖4所示。

圖3 定常解的滾球位置Fig.3 Position of balls in the steady state solutions

圖4 定常解的滾球位置Fig.4 Position of balls in the steady state solutions

(2)不穩(wěn)定解。滾球相對靜止，振幅不為零。

ν=p,φi1=φi2=φi(i=1,2)，此時A、B、C、D都不為零，即振幅不為零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。如圖5所示。

圖5 定常解的滾球位置Fig.5 Position of balls in the steady state solutions

3 模型的數(shù)值仿真

3.1 數(shù)值計算原理

在求解常微分方程時，通常將高階方程降階求解。采用ode45對模型進行數(shù)值仿真。求解過程將運動方程的二階量變?yōu)橐浑A，符合龍格庫塔計算的具體要求。在這里方程式(3)中的μθ非常小，可以假設為零，僅僅研究響應y及滾球的位置φ11、φ12、φ21、φ22。則方程(4)的具體形式可以表示為

(10)

為了確定上述定常解精確度，研究滾球出現(xiàn)的運動規(guī)律，對方程(10)數(shù)值計算。略去公式中高階小量O(ε2),選取合適仿真參數(shù)應用于ode45,編寫仿真程序。對系統(tǒng)降階處理，去高階小量，得到系統(tǒng)的一階方程如下：

[S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10]；

(11)

3.2 滾球碰撞調(diào)整

球式自動平衡裝置中研究的核心部分是滾球，滾球運動時盡量避免互相接觸與碰撞，這樣可能影響運動軌跡，研究中需檢查確定滾球位置是否發(fā)生干涉，干涉嚴重且產(chǎn)生誤導性理論研究，須對滾球作碰撞處理。

滾道中的兩滾球之間的夾角φ大于夾角σ，此時σ表示兩滾球已經(jīng)相互接觸，兩滾球碰撞視為完全非彈性碰撞，即指滾球碰撞結束，在一瞬間內(nèi)兩物體運動狀況完全相同，獲得相等的速度，如圖6所示。

(12)

圖6 滾球碰撞調(diào)整Fig.6 Rolling ball bollision adjustment

3.3 數(shù)值仿真結果

基于MATLAB軟件利用龍格庫塔法對系統(tǒng)進行數(shù)值計算，仿真的角速度分布于高速區(qū)和低速區(qū)，在p=0.758 8、p=0.999 5、p=2.222 5時，出現(xiàn)的仿真結果與定常解的數(shù)值相對應。

圖7 數(shù)值模擬結果(p=0.758 8)Fig.7 Numerical simulation (p=0.758 8)

角速度p=0.758 8時，響應y及滾球的位置φ11、φ12、φ21、φ22如圖7所示。由于轉速p小于1，轉速較小，各個圓盤上的兩滾球相對于回轉體相對靜止，圖7(a)與圖7(b)所示，φ11=φ12≈27°，φ21=φ22≈27°(圖中穩(wěn)定時φ大約0.5 rad)。轉子y方向以角頻率p作單頻簡諧振動，且轉子振幅y方向的響應并不收斂于零，如圖7(c)所示,在低速側，轉子振動幅值為-0.75～0.75，幅值較大，平衡效果不理想。

當p=0.999 5，幾乎接近于臨界轉速1時，響應如圖8所示，兩圓盤上的滾球各自收斂于同一位置，圖8(a)與圖8(b)中，φ11=φ12≈27°，φ21=φ22≈300°，相對于回轉體靜止不動，轉子y方向以角頻率p作單頻簡諧振動，但y方向的振動明顯增大，如圖8(c)所示，幅值為-1.8～1.8，導致振幅在定常解附近發(fā)生變化，產(chǎn)生強烈振動。

圖8 數(shù)值模擬結果(p=0.999 5)Fig.8 Numerical simulation (p=0.999 5)

在p=2.222 5，遠超過1時，響應如圖9所示，滾球在回轉體圓盤內(nèi)對稱分布，圖9(a)與圖9(b)所示φ11=φ21≈120°，φ12=φ22≈-120°，轉速明顯增大，每個圓盤中兩滾球在偏心質(zhì)量反方向布置，如圖9(c)所示,轉子的振幅y逐漸趨于零，此時滾球位置驗證了式(9)求得定常穩(wěn)定解的準確性，起到了平衡效果。

圖9 數(shù)值模擬結果(p=2.222 5)Fig.9 Numerical simulation (p=2.222 5)

仿真結果可以看出，在轉軸轉速較小時，或者接近于臨界轉速，每個圓盤內(nèi)的兩個滾球都會相對靜止，不會分開，且起不到減小振動的效果。只有在轉速遠遠大于臨界轉速時，圓盤中的滾球才會分布于偏心質(zhì)量相對面，起到平衡制振效果。

4 實驗驗證

為了驗證雙盤球式自動平衡裝置的有效性，設計了圖10所示的實驗平臺，著重研究穩(wěn)態(tài)時該裝置的減振效果以及滾球的位置。

改變電機的轉速來控制轉軸轉速，在不同轉速條件下，通過對比發(fā)現(xiàn)，仿真結果與實驗結果減振的趨勢基本一致，當回轉速度較高時，自動平衡裝置的振幅將會變小，此時滾球的位置如圖11所示。

圖10 實驗平臺Fig.10 Experimental platform

圖11 滾球位置Fig.11 Ball position

實驗表明，工作轉速接近臨界轉速時，振動的幅值明顯增大。雙盤球式自動平衡裝置在超過臨界轉速時具有很好的平衡制振性能。

5 結論

對雙盤球式自動平衡裝置主共振振動響應進行了研究，結論如下。

(1)雙盤球式自動平衡裝置的運動特性和滾球運動規(guī)律是，當轉速接近臨界轉速時，轉子的振幅明顯增大。

(2)在轉速較低時，雙盤球式自動平衡裝置轉子振幅增大，平衡惡化。轉速較高時，發(fā)生穩(wěn)態(tài)振動，定常解始終有振幅為零的周期解，即該裝置在高速運轉時，可以自動消除不平衡。