張旭 曹佳慧 艾保全 高天附? 鄭志剛

1) (沈陽師范大學物理科學與技術學院, 沈陽 110034)2) (華南師范大學物理與電信工程學院, 廣州 510006)3) (華僑大學信息科學與工程學院, 廈門 361021)(2019年12月24日收到; 2020年3月9日收到修改稿)

本文研究了耦合布朗馬達在溶液摩擦對稱性破缺條件下的定向輸運問題. 詳細討論了溶液阻尼系數比,周期外力以及耦合作用對布朗粒子定向輸運的影響. 研究發(fā)現: 溶液摩擦的不對稱性不僅能促進摩擦棘輪的定向輸運, 且合適的溶液阻尼系數比還可以使耦合棘輪的定向輸運達到最強. 此外, 一定摩擦阻尼條件下外力振幅可以使耦合粒子的定向輸運呈現多峰結構. 研究還發(fā)現合適的自由長度和耦合強度也能增強摩擦棘輪的輸運特性. 研究結果不僅能夠啟發(fā)實驗上選取合適的摩擦阻尼來優(yōu)化布朗馬達的輸運, 也可為信息容量大、反應速度快的納米器件的制備提供一定的理論參考.

1 引 言

生物分子馬達廣泛存在于細胞內部, 它們可將生物體內部的化學能轉化為機械能, 并利用細胞內的自由能完成各種輸運[1,2]. 例如, 細胞內的Factin 馬達、肌球蛋白馬達、交聯蛋白等它們能夠產生機械運動[3], 而動力蛋白和驅動蛋白還能拖動囊泡進行步進并完成細胞內的貨物運輸[4]. 生物分子馬達的這種定向運動對于細胞內的物質運輸起著非常重要的作用. 為了深入研究分子馬達的運動機制, 人們建立了搖擺棘輪[5?8], 閃爍棘輪[9?12]等大量棘輪模型[13]. 通過研究各類棘輪不僅能夠深入理解布朗粒子的定向運動行為[14], 找到其定向輸運的優(yōu)化條件[15], 研究結果還可應用于制備納米器件等領域.

目前, 關于布朗棘輪定向輸運的研究已引起人們廣泛的興趣[16?19]. 如Hojo 等[20]通過研究由氣泡狀中心束縛力驅動的布朗馬達, 發(fā)現驅動力作用下的馬達輸運會優(yōu)于通常單分子馬達的輸運行為.此外, Pattanayak 等[21]在理論上研究了周期性障礙陣列作用下布朗粒子的輸運, 發(fā)現障礙物陣列的周期性分布能促進棘輪的定向輸運. 同時, Yan 等[22]還研究了反饋脈沖棘輪模型, 結果表明粒子間的自由長度和耦合強度都能促進棘輪的定向輸運. 然而, 上述各類棘輪的研究中大都考慮的是單位阻尼條件下布朗粒子的運動情況. 由于生物體內細胞液的濃度、雜質等都會影響溶液的實際環(huán)境[23?25], 因此分子馬達受到的介質阻尼通常是變化的. 此外,大量實驗研究已表明布朗馬達的運動都是通過耦合相互作用拖動負載并進行集體定向步進的[26?28].由此可見, 研究溶液阻尼對耦合布朗粒子運動的影響更具實際意義. 因此將對不同摩擦阻尼條件下耦合布朗粒子的定向輸運展開詳細討論. 通過對不同摩擦阻尼影響的研究, 不僅能深入理解以集體協作形式步進的布朗馬達的定向輸運特性, 而且對于研究摩擦對稱性破缺情況下分子馬達的能量轉化也具有一定的實驗啟發(fā).

迄今為止, 關于溶液阻尼對布朗馬達定向輸運影響的研究理論上雖有涉及[29], 但并不深入. 如von Gehlen 等[30]通過研究無負載作用下摩擦對稱性破缺溶液環(huán)境中棘輪的輸運, 結果發(fā)現一定條件下的溶液阻尼會減小棘輪的定向輸運, 且通過選擇合適的阻尼還能誘導粒子的流反轉. 此外,Saikia 和Mahato[31]還研究了空間關聯摩擦棘輪的輸運行為, 結果表明只有在小阻尼條件下布朗粒子才能產生定向運動. 然而, 對于復雜細胞溶液環(huán)境中布朗粒子拖動負載時的定向輸運問題仍少有研究. 為了在理論上提高不同摩擦阻尼條件下耦合布朗馬達拖動負載時的定向輸運能力, 深入研究了介質阻尼對反饋耦合布朗粒子定向運動的影響.

本文通過建立過阻尼摩擦棘輪模型, 研究了阻尼系數比、耦合強度和外力振幅等對耦合布朗棘輪定向輸運的影響. 研究發(fā)現溶液阻尼并不總是阻礙棘輪的定向輸運, 合適的阻尼條件還能使棘輪的定向輸運達到最強. 此外, 研究還發(fā)現阻尼一定時存在多個外力振幅能使摩擦棘輪的定向輸運達到極值, 且合適的外力振幅也可以使棘輪的輸運達到最強. 所得結果可用于研究納米尺度下分子馬達的可控制備, 以實現馬達做功及能量轉換等工作.

2 過阻尼摩擦棘輪模型

主要研究摩擦對稱性破缺條件下耦合布朗馬達在拖動負載時的運動情況, 其動力學行為可由無量綱化的過阻尼朗之萬方程描述[32]:

其中t為時間, 兩個耦合布朗粒子的位置分別為x1(t),x2(t).γi(i=1,2)為第i個粒子的阻尼系數,α=γ2/γ1為兩個粒子的溶液阻尼系數之比, 反應的是摩擦阻尼的不對稱度. 模型中兩個耦合粒子的摩擦系數通常是不同的, 即摩擦不對稱. 此外,雖然方程(1)中兩個粒子的摩擦系數γi即不依賴于時間也不依賴于空間, 但是由于馬達兩個頭部的大小不同, 也會造成粒子受到的摩擦力不等, 因此會導致馬達的摩擦對稱性破缺. 由于耦合粒子摩擦對稱性的破缺會導致一個粒子運動快, 另一個粒子運動慢. 因此, 即使在對稱勢中耦合棘輪也能夠產生定向流. 下文通過調節(jié)摩擦阻尼系數比α來改變耦合棘輪摩擦的不對稱性, 從而研究摩擦棘輪的定向輸運行為. 此外, 方程中F(t) 為時變外力,λ為負載,D為熱噪聲強度, 滿足關系D=kBT,kB為玻爾茲曼常量,T為溶液環(huán)境溫度.ξi(t) 為高斯白噪聲, 滿足如下統(tǒng)計關系:

方程(1)中外勢U(x1,x2;l) 的具體形式為

其中耦合粒子受到的棘輪勢Vp(xi) 為

L為棘輪勢的周期長度. 同時兩個粒子還將受到耦合 相互作用Vin(x1,x2;l) , 其表達式為

圖1 摩擦對稱性破缺耦合粒子的模型示意圖Fig. 1. Coupling particles model with broken friction symmetry.

式中,k為耦合強度,l為彈簧自由長度, 其結構示意圖如圖1 所示. 圖1 中曲線代表棘輪勢Vp, 黑色與灰色兩個球分別代表耦合粒子x1和x2, 球的顏色代表粒子受到的不同摩擦力. 兩個耦合粒子的相互作用通過彈簧來實現. A, B 兩組圖分別表示棘輪勢Vp處于不同的相位, A 組表示耦合粒子處于壓縮狀態(tài), B 組則表示耦合粒子處于伸長狀態(tài). 圖1中第1 行表示棘輪勢Vp存在時, 耦合粒子分別處于壓縮和拉伸狀態(tài); 第2 行表示棘輪勢Vp消失瞬間耦合粒子所處的狀態(tài); 第3 行表示棘輪勢Vp消失后, 兩個耦合粒子恢復到原長狀態(tài). 彈簧回到原長的趨勢能夠促使耦合粒子運動. 由于粒子x2受到的摩擦力通常小于粒子x1(α<1.0 ), 所以粒子x2的運動會快于粒子x1, 進而耦合棘輪能夠形成定向輸運.

此外, (4)式中β為一個重要控制參量, 其具體形 式為

其中

表示耦合粒子受到棘輪勢的平均作用. 同時, 摩擦棘 輪還將受到時變外力F(t) 的作用, 其表述為

其中A為外力振幅,ω為圓頻率, 外驅動力的周期τ=2π/ω.

為了研究負載作用下不同摩擦阻尼對耦合棘輪定向輸運的影響, 采用質心平均速度描述耦合棘輪的定向輸運行為, 其具體表示為

其中τ為周期時間,n為周期數,t0為初始時刻,nτ表示耦合粒子的演化時間,表示系綜平均,表示第i個布朗粒子的平均速度.

采用二階龍格-庫塔算法對方程(1)式進行數值計算, 研究耦合布朗粒子拖動負載時的輸運特性隨棘輪各參量的變化. 為了得到穩(wěn)定的系綜平均值, 模擬了 1500個軌道, 每個軌道演化 2000個周期,時間步長取h=1×10?3. 文中所有物理量均采用無量綱化參量, 無特殊說明參量取L=1.0 ,ω=π.

3 結果與討論

3.1 彈簧自由長度l 的影響

為了研究摩擦棘輪的定向輸運特性, 深入討論了負載作用下摩擦對稱性破缺棘輪的輸運隨各參量變化的行為. 首先, 不同熱噪聲D條件下, 耦合粒子的質心平均速度隨彈簧自由長度l的變化關系如圖2 所示. 由于外勢U(x1,x2;l) 具有平移不變性,即U(x1,x2;l)=U(x1+nL,x2+mL;l ?nL+mL) ,n,m ∈Z, 且外勢還滿足反演對稱性, 即U(x1,x2;l)=U(?x1,?x2;?l). 因此耦合粒子的平均速度隨自由長度的變化具有周期性. 這與von Gehlen 等[30]研究棘輪輸運時得到的結論類似. 為方便起見, 僅研究一個演化周期內耦合粒子的輸運隨彈簧自由長度的變化情況. 圖2 所示的研究結果表明, 在一個演化周期內耦合粒子的質心平均速度隨自由長度l的變化會出現極值. 如, 當l=1.0時耦合粒子在一個演化周期內彈簧自由長度最長, 此時粒子間的相互作用最弱, 所以耦合布朗粒子容易跨越勢壘形成定向運動. 然而, 在一個演化周期內還存在某一個特定的彈簧自由長度使耦合粒子的定向輸運達到最小, 類似的分析可知由于此時粒子間的相互作用最強, 使得耦合布朗粒子很難跨越勢壘形成定向運動. 由此可見, 通過選取合適的彈簧自由長度可以增強棘輪的輸運. 此外, 研究還發(fā)現隨著熱噪聲D的增加, 耦合粒子的輸運也會增強,說明一定強度的熱噪聲也能增強耦合棘輪的定向輸運.

圖2 耦合粒子的平均速度 v 隨彈簧自由長度l 的變化曲線, 其中g1 = 5.0, k = 20.0, a = 0.3, A = 1.0, l = 0.1Fig. 2. The average velocity v of coupled particles varying with the free length l, where γ 1 =5.0 , k =20.0 ,α=0.3 , A =1.0 , λ =0.1 .

3.2 耦合強度k 的影響

通過上文研究已知粒子間的耦合對于棘輪的輸運會產生一定影響, 接下來研究了不同外力振幅A作用下耦合強度k對棘輪平均速度的影響,如圖3 所示. 研究結果表明, 在小外力振幅條件下,如A=4時, 隨著k的增加, 耦合粒子的幾率流單調增加. 然而, 隨著外力振幅逐漸變大, 如A>4時, 發(fā)現在弱耦合條件下粒子的幾率流隨k的增加呈非單調的變化關系, 也就是說耦合粒子的定向輸運能夠產生極值. 有趣的是在較大外力振幅作用下, 如時, 耦合粒子的幾率流會由單峰變成雙峰結構, 如圖3 插圖所示. 產生極值的原因主要是由于簡諧力與弱耦合作用的相互競爭與協作導致. 由圖3 還可以發(fā)現在振幅時, 耦合粒子幾率流隨k變化的曲線都存在峰值, 且隨著外力振幅的增加, 曲線峰值對應的優(yōu)化耦合強度kopt也隨之增大. 然而, 隨著A的增大各曲線對應的優(yōu)化耦合強度的間隔 ?kopt卻越來越小, 因此對于不同A值的曲線能夠產生交叉現象. 然而隨著耦合強度的繼續(xù)增大, 即耦合粒子的平均速度逐漸增加并趨于穩(wěn)定值. 這是因為隨著耦合作用的不斷增強, 其他外力很難與耦合作用進行競爭, 因此耦合粒子的輸運最終會趨于穩(wěn)定. 由此可見, 在一定外力振幅條件下, 通過選擇一個或多個合適的耦合強度能夠增強布朗粒子的定向輸運. 此外, 還發(fā)現隨著外力振幅A的增加, 耦合棘輪的幾率流整體減小, 這說明較大的外力振幅對耦合棘輪的定向輸運還會產生抑制作用. 同時, 圖3 中外力振幅較大時曲線出現的交叉現象說明外力振幅對耦合棘輪幾率流的影響并不是單調的, 所以下文將進一步討論外力振幅對耦合棘輪定向輸運的影響.

圖3 耦合粒子的平均速度 v 隨耦合強度k 的變化曲線,插圖為A =20.0時的變化曲線, 其中 γ 1 =5.0 , l =0.25 ,α=0.3 , D =0.35 , λ=0.1Fig. 3. The average velocity v of coupled particles varying with the strength of coupling k, the insert figure described the average velocity curve when A =20.0 , where γ1 =5.0 , l =0.25 , α =0.3 , D =0.35 , λ =0.1 .

3.3 外力振幅A 的影響

圖4 耦合粒子的平均速 度 v 隨外力振幅A 的變化曲線, 其中g1 = 5.0, l = 0.25, k = 20.0, D = 0.35, l = 0.1Fig. 4. The average velocity v of coupled particles varying with the amplitude A of external force, where γ 1 =5.0 ,l =0.25 , k =20.0 , D =0.35 , λ =0.1 .

圖3 的研究結果已表明外力振幅A對棘輪的輸運能夠產生抑制作用, 且棘輪的輸運隨振幅的變化關系并不是單調的. 為了深入研究外力振幅對摩擦棘輪輸運的影響, 還詳細討論了不同摩擦阻尼系數比α條件下的幾率流隨A的變化關系. 由圖4 可知, 隨著外力振幅A的增加耦合粒子幾率流的變化曲線呈現多峰結構, 且在較大的外力振幅條件下, 如A>30時, 曲線逐漸變得平緩并最終趨于穩(wěn)定. 產生此現象的原因可由棘輪受到外力作用的分析得到, 即在一定振幅條件下, 如A<30 , 此時簡諧力會與摩擦阻尼, 耦合作用等其他外力相互協作與競爭, 隨著振幅A的增加, 耦合粒子受到的簡諧力逐漸增大, 從而棘輪產生的幾率流會逐漸變大.由于幾率流的增加會導致耦合粒子受到的黏滯阻尼隨之增大. 此外, 由于黏滯阻力還會阻礙耦合粒子的定向運動, 因此當黏滯阻力增大到一定程度時, 耦合棘輪的幾率流將會減小, 而減小的幾率流又將導致耦合粒子受到的黏滯阻力減小. 當溶液的黏滯阻力減小時耦合粒子的定向輸運會再次增強.因此耦合粒子幾率流隨外力振幅A的變化曲線能夠呈現多個極值. 然而, 隨著A的繼續(xù)增加, 簡諧力逐漸變大, 此時耦合粒子受到的主要外力為F(t) ,而其他外力很難再與簡諧力競爭, 因此曲線的波動逐漸變小, 進而摩擦棘輪的幾率流會變得更加平緩. 上述結果表明, 在一定條件下存在多個合適的外力振幅使摩擦棘輪的質心平均速度達到極值.此外研究還發(fā)現, 隨著摩擦阻尼系數比α的增加,摩擦棘輪的輸運整體減小, 說明摩擦阻尼對摩擦棘輪的輸運也有一定抑制作用. 由此可知, 通過選取合適的外偏置力振幅及溶液阻尼系數比也能增強摩擦棘輪的定向輸運. 關于摩擦阻尼對耦合粒子定向輸運的影響將在下文進行詳細討論.

3.4 摩擦阻尼系數比 α 的影響

為了進一步研究溶液阻尼對摩擦棘輪定向輸運的影響, 研究了耦合粒子的幾率流隨溶液阻尼系數比α=γ2/γ1的變化關系. 由圖5 可得, 隨著阻尼系數比的增加, 耦合粒子的定向輸運整體減小. 產生這一現象的原因主要是隨著α的增加, 將導致γ2增加(γ1是常數). 這就意味著α越大, 粒子2 受到溶液的摩擦阻尼也越大, 因此耦合粒子的幾率流會整體變小. 然而, 在一定條件下, 如小負載條件λ<0.54 , 曲線存在兩個不明顯的拐點. 隨著負載λ的繼續(xù)增加, 如曲線能夠產生兩個明顯的峰值, 圖5 中插圖僅給出λ=0.6時的速度變化曲線. 產生上述峰值現象的原因主要是由于負載較小時, 負載與阻尼的競爭較弱, 隨著負載逐漸變大,如時負載與阻尼的競爭變強, 因而速度曲線的變化會由兩個不明顯的拐點逐漸變成明顯的波峰. 由此可見, 在一定負載條件下通過選取合適的摩擦阻尼系數比也能夠增強摩擦棘輪的定向輸運.

圖5 耦合粒子的平均速度 v 隨摩擦阻尼系數比 α 的變化曲線, 插圖為 λ =0.6時 的變化曲線, 其中 γ 1 =5.0 ,k =20.0 , l =0.25 , A =20.0 , D =0.35Fig. 5. The average velocity v of coupled particles varying with the frictional damping coefficient ratio α , the insert figure described the average velocity curve when λ=0.6 , where γ 1 =5.0 , k =20.0 , l =0.25 , A =20.0 ,D =0.35.

4 結 論

本文主要研究了摩擦對稱性破缺條件下耦合布朗粒子的定向輸運行為, 同時耦合粒子還會受到外勢的反饋作用. 詳細討論了摩擦阻尼系數比、彈簧自由長度、耦合強度以及外力振幅對耦合布朗棘輪定向輸運的影響. 研究發(fā)現, 一定的自由長度和耦合強度都可以促進棘輪的定向輸運. 同時, 有趣地發(fā)現在一定條件下摩擦阻尼并不總是阻礙布朗粒子的定向輸運, 合適的摩擦阻尼系數比還可增強摩擦棘輪的定向輸運特性. 此外, 研究還發(fā)現當摩擦阻尼一定時, 耦合粒子的輸運隨外力振幅的變化呈現多峰結構, 即存在多個外力振幅能使耦合粒子的質心平均速度達到極值, 這也意味著合適的外力振幅可以使摩擦棘輪的定向輸運達到最強. 所得結論不僅可應用于研究ATP 合成、信號傳導等生命活動方面, 還可為微觀尺度下納米器件的研制提供一定的理論指導.