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        “直線與圓的位置關(guān)系”(第1課時)教學(xué)設(shè)計及反思

        2020-06-03 16:04:36夏乾冬
        關(guān)鍵詞:探究學(xué)生

        夏乾冬

        【教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)】

        1.了解直線與圓的三種位置關(guān)系;

        2.學(xué)會通過圓心到直線的距離d與半徑r之問的數(shù)量關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系;

        3.用運(yùn)動的觀點(diǎn)研究問題,體會數(shù)形結(jié)合的思維方法。

        【教學(xué)過程】

        一、環(huán)節(jié)一:回顧舊知識點(diǎn),為類比探究做鋪墊

        問題1:點(diǎn)與圓有幾種位置關(guān)系?

        師:前面我們學(xué)過點(diǎn)與圓的關(guān)系,請問點(diǎn)與圓有幾種位置關(guān)系?

        生:點(diǎn)在圓內(nèi),點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓外。

        師:每種位置關(guān)系對應(yīng)怎樣的數(shù)量關(guān)系?

        生:點(diǎn)在圓內(nèi)時,dr。

        師:這里的d與r指什么?

        生:d是點(diǎn)到圓心的距離,r是圓的半徑。

        師:很好,由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,我們可以得到d與r的關(guān)系。那么,由d與r能否推出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系呢?

        生:可以,因為圓的內(nèi)部是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合,所以當(dāng)dr時,點(diǎn)在圓外。

        師:非常好!這樣一來,我們就建立了形與數(shù)的關(guān)系。

        二、環(huán)節(jié)二:建構(gòu)問題體系,為類比探究搭梯子

        問題2:直線與圓有哪幾種位置關(guān)系?請嘗試畫出示意圖。

        (學(xué)生在練習(xí)紙上畫圖。兩分鐘后,教師請幾名學(xué)生到黑板上先后畫出幾幅直線與圓的關(guān)系示意圖。)

        師:大家能將這幾種位置關(guān)系進(jìn)行分類,并說說分類的依據(jù)嗎?

        生:我認(rèn)為可以分為三類,即直線與圓沒有交點(diǎn),直線與圓有一個交點(diǎn),直線與圓有兩個交點(diǎn)。

        師:我們給這三種關(guān)系起個名字——直線與圓沒有交點(diǎn),叫作直線與圓相離;直線與圓有一個交點(diǎn),叫作直線與圓相切;直線與圓有兩個交點(diǎn),叫作直線與圓相交。

        問題3:這三種位置關(guān)系中,有沒有對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系呢?

        師:大家能否類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,來描述其對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系呢?

        (學(xué)生思考,并在學(xué)習(xí)單上推演。)

        生:我覺得跟圓心與直線的距離存在數(shù)量關(guān)系。如果把圓心與直線的距離看成d,圓的半徑看成r,那么,當(dāng)直線與圓相交時,dr,

        師:你是如何發(fā)現(xiàn)的?

        生:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,即點(diǎn)與圓心之問的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系;直線與圓的位置關(guān)系,即直線與圓心之間的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系。通過類比,我們就得到了相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

        師:太棒了!

        (教師在圖上演示,過O點(diǎn)做OD⊥l,找到了d,然后對比此時的d與r的關(guān)系,在板書2的基礎(chǔ)上形成板書3。)

        問題4:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系同直線與圓的位置關(guān)系有何區(qū)別及聯(lián)系呢?

        (教師投影問題4,請學(xué)生思考。學(xué)生小絹交流后,派代表進(jìn)行展示。)

        生:在點(diǎn)與圓的位置關(guān)系中,d是指點(diǎn)與圓心之問的距離,是線段;在直線與圓的位置關(guān)系中,d是指直線與圓心之問的距離,是垂線段。

        生:直線l與○O的三種位置關(guān)系也可以看成點(diǎn)D(垂足)與○O的三種位置關(guān)系。如果點(diǎn)D在圓內(nèi),那么直線與圓相交;如果點(diǎn)D在圓上,那么直線與圓相切;如果點(diǎn)D在圓外,那么直線與圓相離。

        師:很好!還有嗎?

        (學(xué)生一片沉默。)

        師:如果把直線看成是由無數(shù)個點(diǎn)組成的呢?

        (有的學(xué)生頓悟,發(fā)出“哦”的聲音。)

        生:直線與圓相交時,直線上的點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上和圓外;直線與圓相切時,直線上的點(diǎn)在圓上和圓外,不在圓內(nèi);直線與圓相離時,直線上的所有點(diǎn)都在圓外。

        師:太厲害了!這位同學(xué)說出了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系同直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)在區(qū)別和聯(lián)系。

        (此時,學(xué)生自發(fā)地響起掌聲。)

        問題5:在這三種位置關(guān)系中,你認(rèn)為哪一種最特殊?

        生:我認(rèn)為直線與圓相切時的位置關(guān)系最特殊。

        師:為什么?

        生:因為此時直線與圓有一個公共點(diǎn),而且圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系是d=r。

        師:是的,此時,這條直線叫作圓的切線,這個公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)。說到這里,哪位同學(xué)能推測一下,后面我們會學(xué)習(xí)什么?

        生:既然切線比較特殊,我覺得后面應(yīng)該會學(xué)習(xí)切線的性質(zhì)。

        師:非常好!后面我們還會研究切線的性質(zhì)和判定。那么,今天這節(jié)課我們就上到這里,下課!

        【教學(xué)反思】

        在本節(jié)課上,基于點(diǎn)與圓的位置關(guān)系這一“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,筆者首先創(chuàng)設(shè)情境,提出“點(diǎn)與圓有幾種位置關(guān)系”的問題.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧,并通過追問“每種位置關(guān)系對應(yīng)怎樣的數(shù)量關(guān)系”,為類比探究直線與圓的關(guān)系做好鋪墊。接著,筆者繼續(xù)提出問題,引導(dǎo)學(xué)生通過類比,探究直線與圓的位置關(guān)系,及其對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。最后,筆者通過追問,使學(xué)生對直線與圓最特殊的位置關(guān)系產(chǎn)生關(guān)注,并拋出切線、切點(diǎn)的概念,為下節(jié)課的內(nèi)容做鋪墊。

        除了進(jìn)行問題引導(dǎo)教學(xué)外,筆者在本節(jié)課中還特意通過“雕塑式板書”,來記錄學(xué)生思維的生長過程。所謂“雕塑式板書”,就是教師根據(jù)教學(xué)活動的進(jìn)程,有意識地選擇對學(xué)生思維有幫助的精髓內(nèi)容進(jìn)行板書。在一開始,板書可能只表達(dá)了一些零散的信息,但是,隨著教學(xué)內(nèi)容的推進(jìn)和數(shù)學(xué)思維的深入,板書最終會呈現(xiàn)出一個完整的知識結(jié)構(gòu)?!暗袼苁桨鍟钡臅r問節(jié)點(diǎn)能夠與學(xué)生思維成長的過程同步,這是PPT所無法實(shí)現(xiàn)的。

        總之,一堂數(shù)學(xué)課的結(jié)束,并不意味著教學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思維的戛然而止。數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)“收”中有“放”,通過及時的回顧總結(jié)和類比探究,使前后知識形成一個完整的體系。正如章建躍老師所言:“研究的對象在變,研究套路不變,思想方法不變,這就是數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗的力量?!?(作者單位:江蘇省南京市江寧區(qū)開發(fā)區(qū)學(xué)校)

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