金 凱， 王 磊， 信志強(qiáng)， 徐業(yè)鵬

（河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，南京 211100）

近年來，無線微型傳感器和無線網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在工業(yè)上的應(yīng)用備受關(guān)注. Collins［1］發(fā)表了一篇關(guān)于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)在工業(yè)上應(yīng)用的文章，在此基礎(chǔ)上，Paradiso等［2］對(duì)該領(lǐng)域進(jìn)行了更深入的研究和闡述. 這些設(shè)備和系統(tǒng)在工作時(shí)很難實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)供電，因此需要使用電池供電或者從周圍環(huán)境中吸收能量，而由于傳感器和無線網(wǎng)絡(luò)工作環(huán)境的限制，頻繁更換電池相當(dāng)困難，使得直接從工作環(huán)境中獲能成為此類型設(shè)備和網(wǎng)絡(luò)的最佳供能方式. 廣泛存在于環(huán)境中的機(jī)械能、熱能、電磁能、流體能以及生物和化學(xué)能，都可以作為獲能的能量源［3］.

利用機(jī)械結(jié)構(gòu)將流體動(dòng)能轉(zhuǎn)化為壓電材料的應(yīng)變能，進(jìn)而通過壓電效應(yīng)［4］產(chǎn)生電能，實(shí)現(xiàn)直接從流體環(huán)境中俘獲能量為微型無線傳感系統(tǒng)供能［5］，這是一種高效、可行的獲能方式［6～8］. 最初設(shè)計(jì)中，使用壓電懸臂梁作為風(fēng)車葉片，葉片轉(zhuǎn)動(dòng)使梁自由端偏轉(zhuǎn)并產(chǎn)生電荷，但這種裝置只實(shí)現(xiàn)了幾毫瓦的電功率［9］. 在此基礎(chǔ)上，Allen和Tylor提出了eel式壓電獲能裝置［10-11］，該裝置使用由PVDF（聚偏氟乙烯）壓電材料制成的壓電旗帶將流體的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能. 進(jìn)一步的研究中，Mccarthy等［12］制作了雙串聯(lián)PVDF（壓電薄膜材料）壓電梁，利用風(fēng)吹過鈍體時(shí)在后方形成的漩渦，誘導(dǎo)壓電梁在漩渦作用下發(fā)生彎曲變形，進(jìn)而產(chǎn)生電能. Rezaei等［13］對(duì)電能收集裝置進(jìn)行了改良，在保留壓電懸臂梁的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)帶有永磁體的小型風(fēng)扇，使整個(gè)裝置收集風(fēng)能的啟動(dòng)風(fēng)速大大降低，拓寬了整個(gè)俘能裝置的適用風(fēng)速范圍.

研究者不僅對(duì)如何利用壓電材料收集風(fēng)能進(jìn)行了大量研究，還針對(duì)通過壓電裝置俘獲水流動(dòng)能這一課題做了大量工作. 利用水流流過圓柱時(shí)在下游形成的渦街，誘導(dǎo)壓電懸臂梁在流體力作用下發(fā)生變形，并通過壓電效應(yīng)產(chǎn)生電能［14］. 在另一項(xiàng)研究中，Shan等［15］在水流流經(jīng)鈍體下游形成的渦街中放置柔性纖維復(fù)合材料，使其在流體力作用下發(fā)生周期性彎曲變形進(jìn)而產(chǎn)生電能. 進(jìn)一步研究表明，當(dāng)壓電材料固有頻率和漩渦脫落頻率大致相當(dāng)時(shí)，水流動(dòng)能轉(zhuǎn)換為電能的效率最高.

關(guān)于流致振動(dòng)獲能的研究大多都是運(yùn)用實(shí)驗(yàn)方法，而通過數(shù)值模擬分析流致振動(dòng)獲能機(jī)理的研究則相對(duì)較少. 本文采用松耦合算法模擬流體和柔性壓電結(jié)構(gòu)之間復(fù)雜的非線性耦合運(yùn)動(dòng)，得到柔性壓電結(jié)構(gòu)在流體作用下的運(yùn)動(dòng)過程，進(jìn)一步將結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程代入到壓電方程中，根據(jù)壓電效應(yīng)得到理論上能夠俘獲的電能.

1 模擬方法

流體部分通過有限體積法求解ALE（任意拉格朗日坐標(biāo)系）下不可壓縮N-S（納維-斯托克斯）方程，結(jié)構(gòu)部分則采用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，流體和結(jié)構(gòu)之間的數(shù)據(jù)交換通過在流固耦合面上的數(shù)值插值來完成. 通過松耦合算法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)振型函數(shù)蘊(yùn)含了結(jié)構(gòu)機(jī)械能，經(jīng)過壓電效應(yīng)轉(zhuǎn)化，可以得到柔性壓電結(jié)構(gòu)最終獲得的電能.

1.1 流體方程

流體為不可壓縮牛頓流體，ALE下三維連續(xù)性方程和動(dòng)量方程［16］為：

式中：uf為速度矢量；P為壓強(qiáng)矢量；ρf為流體密度，因流體具有不可壓縮性，其值為常數(shù)；v為流體運(yùn)動(dòng)黏度.

流體部分主要采用有限體積法進(jìn)行求解. 流固耦合過程中固體在流場(chǎng)作用下發(fā)生變形，流體網(wǎng)格必須同步進(jìn)行更新，從而保證流固耦合交界面始終是匹配的. 本文使用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)來保證流場(chǎng)網(wǎng)格的更新，計(jì)算過程中流場(chǎng)網(wǎng)格會(huì)發(fā)生大變形，需使用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)中的網(wǎng)格重構(gòu)法來更新流場(chǎng)網(wǎng)格. 該方法通過對(duì)舊的網(wǎng)格物理量進(jìn)行數(shù)值插值，得到新的流場(chǎng)網(wǎng)格.

1.2 結(jié)構(gòu)方程

結(jié)構(gòu)組成材料假定為線彈性材料，ALE下基于初始坐標(biāo)構(gòu)型的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程［17］為：

式中：Fs=I+?us是變形梯度張量；ρs代表結(jié)構(gòu)的密度；us為結(jié)構(gòu)的位移矢量；g 為體積力；I 是單位張量；J 是Fs對(duì)應(yīng)的行列式；σs表示柯西應(yīng)力張量，可壓縮材料本構(gòu)模型表示為：

將結(jié)構(gòu)的控制方程進(jìn)行有限元離散，并忽略阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程表示為：

式中：MS為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；Ks是結(jié)構(gòu)剛度矩陣；QS是作用在結(jié)構(gòu)上的外力矢量.

1.3 流固耦合面的控制

1.3.1 耦合條件 為保證整個(gè)計(jì)算過程中流場(chǎng)和結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)能夠在流固耦合面上順利傳遞，耦合面上應(yīng)滿足平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件：

式中：n 是耦合面單位外法線矢量；σs和σf分別表示耦合面上結(jié)構(gòu)和流體的應(yīng)力矢量；Ss和Sf分別是耦合面上結(jié)構(gòu)和流體的位移矢量.

1.3.2 耦合算法 本文采用強(qiáng)耦合算法求解非線性流固耦合問題. 該算法基本思路是將流場(chǎng)和結(jié)構(gòu)分別在流體求解器和結(jié)構(gòu)求解器中進(jìn)行求解，然后使用耦合程序進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，即在流固耦合面上將流場(chǎng)計(jì)算得到的應(yīng)力傳遞給結(jié)構(gòu)求解器，將求解結(jié)構(gòu)方程得到的位移傳遞給流體求解器，在每一個(gè)計(jì)算時(shí)間步內(nèi)需要經(jīng)過多次迭代，保證耦合面上滿足平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件，該算法具有很高的計(jì)算精度.

強(qiáng)耦合算法的基本流程如圖1所示，在初始條件下求解流體控制方程，得到流場(chǎng)應(yīng)力分布，由于流固耦合面上流場(chǎng)網(wǎng)格和結(jié)構(gòu)網(wǎng)格存在節(jié)點(diǎn)不匹配，需在流固耦合面上對(duì)流場(chǎng)應(yīng)力進(jìn)行數(shù)值插值，作為外荷載傳遞給結(jié)構(gòu)；而結(jié)構(gòu)在流場(chǎng)荷載作用下產(chǎn)生的位移，同樣通過插值方式反饋給流場(chǎng)，流場(chǎng)以此作為運(yùn)動(dòng)邊界來更新網(wǎng)格. 每個(gè)耦合時(shí)間步的計(jì)算都需要經(jīng)過多次迭代，達(dá)到流場(chǎng)、結(jié)構(gòu)和耦合面上數(shù)值插值的收斂標(biāo)準(zhǔn)，才能進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間步.

1.3.3 流固耦合算法驗(yàn)證 剛性鈍體尾流區(qū)發(fā)生的渦激振動(dòng)經(jīng)常被用來驗(yàn)證流固耦合算法的有效性［18-19］，本文選擇對(duì)剛性方柱下游渦流場(chǎng)中柔性平板渦激振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行模擬. 模型計(jì)算域如圖2所示，流場(chǎng)為30 cm×12 cm×1 cm，方柱尺寸為1 cm×1 cm×1 cm，緊跟著方柱的平板大小為4 cm×1 cm×0.06 cm，選取平板末端中間位置點(diǎn)A 為監(jiān)測(cè)點(diǎn)，方柱位置固定，平板左端固支在方柱尾端. 初始時(shí)刻平板保持水平靜止，整個(gè)模擬過程忽略重力影響，邊界條件設(shè)置和材料參數(shù)選取與文獻(xiàn)［19］一致. 將計(jì)算得到的監(jiān)測(cè)點(diǎn)A 的豎向位移幅值umax、振動(dòng)頻率f 和作用在平板上的升力幅值Fmax，與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表1所示，結(jié)果吻合較好，說明本文采用的流固耦合算法有效可行.

圖1 強(qiáng)耦合算法流程圖Fig.1 Flow chart of strong coupling algorithm

圖2 渦流區(qū)中柔性平板渦激振動(dòng)的計(jì)算域Fig.2 Computational domain of vortex-induced vibration of flexible plate in eddy current field

表1 渦流區(qū)中柔性平板渦激振動(dòng)計(jì)算結(jié)果對(duì)照Tab.1 Comparisons of vortex-induced vibration of flexible plate in eddy current field

1.4 壓電轉(zhuǎn)換理論

壓電懸臂梁在流場(chǎng)中受到流場(chǎng)荷載作用產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，其位移是與空間和時(shí)間相關(guān)的二元函數(shù)w( x,t ). 通過流固耦合計(jì)算，得到不同時(shí)刻t 下的振動(dòng)函數(shù)φ( x )，從而將二元函數(shù)簡(jiǎn)化為只與空間相關(guān)的一元函數(shù).

懸臂梁?jiǎn)蝹?cè)表面的壓電片粘貼排列方式如圖3所示，在懸臂梁雙側(cè)表面，參數(shù)相同的壓電片沿著懸臂梁長度方向依次排列粘貼，壓電片能夠隨著懸臂梁振動(dòng)同步變形. 懸臂梁的彎曲變形會(huì)導(dǎo)致梁表面交替出現(xiàn)正向和負(fù)向的軸向應(yīng)變，梁表面粘貼的壓電片同時(shí)開始收集電荷. 第i 個(gè)壓電片表面產(chǎn)生的電荷和電壓Vgi［20］：

式中：C′V=CV/b，CV表示單個(gè)壓電片電容；b 為懸臂梁寬度；e31為壓電常數(shù)；l 為單個(gè)壓電片長度；h 和he分別代表懸臂梁和壓電貼片的厚度.

圖3 壓電片粘貼方式示意圖Fig.3 Sketch of pasting mode of piezoelectric patch

取Δt 為時(shí)間間隔，壓電懸臂梁在一個(gè)穩(wěn)定振動(dòng)周期T 內(nèi)產(chǎn)生電能W 為：

壓電懸臂梁?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的電能，也就是電功率S 為：

2 物理模型

2.1 幾何模型

本文主要研究渦流場(chǎng)中柔性壓電懸臂梁流致振動(dòng)的俘能特性，考慮了不同截面形狀阻流體、懸臂梁-阻流體間距及壓電懸臂梁長度對(duì)俘能效果的影響. 利用柱體繞流理論，在流場(chǎng)中放置剛性阻流體，流體流經(jīng)阻流體發(fā)生漩渦脫落在下游形成渦流場(chǎng). 將距離阻流體更近一端作為固定端的懸臂梁放置在渦流場(chǎng)中，梁在流場(chǎng)作用下會(huì)發(fā)生振動(dòng)，進(jìn)而通過梁表面壓電貼片的壓電效應(yīng)產(chǎn)生電能. 整個(gè)模型的簡(jiǎn)圖如圖4 所示，整個(gè)流場(chǎng)域?yàn)?0D×12D×1D（D=1 cm），阻流體為D×D×D的剛性方柱（或者是直徑為D，沿y軸厚度為D的圓柱），阻流體與流場(chǎng)入口相距6.5D，在距離阻流體尾部d 處放置一根左端固定的柔性懸臂梁，懸臂梁表面沿長度方向滿布粘貼了一系列壓電片，壓電片材料參數(shù)如表2 所示. 表2 中，單片壓電片的長度為l，厚度為he，寬度為b，壓電常數(shù)為e31，電容為Cv.

柔性壓電懸臂梁在渦流場(chǎng)中的振動(dòng)過程通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)行模擬，而數(shù)值模擬需要對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分來離散幾何模型. 考慮到流場(chǎng)動(dòng)邊界會(huì)發(fā)生大變形，將流場(chǎng)劃分成能夠適應(yīng)大變形的楔形網(wǎng)格，并在阻流體和懸臂梁附近做網(wǎng)格加密處理，以提高計(jì)算精度；結(jié)構(gòu)則采用六面體網(wǎng)格單元進(jìn)行離散.

2.2 材料參數(shù)和邊界條件

流體材料近似為空氣，流場(chǎng)左端為速度入口，來流速度v 為0.513 m/s，阻流體特征長度為D，雷諾數(shù)Re=333（在較低雷諾數(shù)中該雷諾數(shù)附近的渦流場(chǎng)中漩渦的能量最高［21］）. 為防止回流發(fā)生，流場(chǎng)右側(cè)設(shè)置為壓力出口，流場(chǎng)沿z 方向和y 方向的面均設(shè)為對(duì)稱邊界. 為保證懸臂梁能夠產(chǎn)生較大變形，需選擇有足夠柔性的結(jié)構(gòu)材料，懸臂梁和流體的材料參數(shù)如表3 所示. 表中，流體的密度和運(yùn)動(dòng)黏度分別為ρf和υ，結(jié)構(gòu)的密度、楊氏模量和泊松比分別表示為ρs、E 和μ . 在初始時(shí)刻，懸臂梁保持水平靜止，計(jì)算中忽略重力影響.

圖4 計(jì)算模型簡(jiǎn)圖Fig.4 Sketch of the computational model

表2 壓電貼片材料參數(shù)Tab.2 Material parameters of piezoelectric patch

表3 所選流體和結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)Tab.3 Material parameters of selected fluid and structure

3 模擬結(jié)果與討論

3.1 懸臂梁與阻流體不同間距下俘能機(jī)理分析

本節(jié)主要研究當(dāng)剛性阻流體具有不同截面形狀（圓形和方形）時(shí)，與阻流體處于不同間距下的壓電懸臂梁的俘能表現(xiàn)、振動(dòng)特性和流場(chǎng)的特征. 整個(gè)過程中保持來流速度v 和特征長度D=1 cm不變從而保證雷諾數(shù)不變. 懸臂梁的幾何參數(shù)和前兩階固有頻率，如表4所示，懸臂梁的長度為a，厚度h，寬度b，一階固有頻率是f1，二階固有頻率為f2. 以特征長度為衡量標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)懸臂梁與阻流體間距d=0D～8D 時(shí)在流場(chǎng)中的振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，進(jìn)而通過懸臂梁表面的壓電貼片產(chǎn)生電能.

3.1.1 俘能分析 剛性方柱和圓柱分別作為阻流體時(shí)，壓電懸臂梁和阻流體處于不同間距下的俘能表現(xiàn)如圖5 所示，圖中，S 表示整個(gè)壓電懸臂梁?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的電功率. 可以看出，相同間距下，方柱下游壓電懸臂梁產(chǎn)生的電功率S 高于圓柱，俘能效果更好. 間距在0D～3D 內(nèi)方柱激發(fā)的梁的俘能能力明顯優(yōu)于圓柱，而在3D～8D 內(nèi)僅僅是稍高于圓柱. 不管是方柱還是圓柱，當(dāng)壓電懸臂梁與其間距改變時(shí)，梁的俘能表現(xiàn)都可以分為兩個(gè)階段，間距較小時(shí)俘能表現(xiàn)明顯優(yōu)于間距拉大后的俘能表現(xiàn). 這種俘能能力的轉(zhuǎn)變都有一個(gè)臨界間距，過了這個(gè)臨界間距，壓電懸臂梁俘能能力從優(yōu)變劣. 阻流體為方柱的臨界間距在3D～3.25D 之間，圓柱的臨界間距則在2.75D～3D 之間. 一旦間距超過臨界間距，壓電懸臂梁收集的電能就會(huì)驟降，這種現(xiàn)象在方柱阻流體中體現(xiàn)地更為明顯，間距為3D時(shí)的平均電功率達(dá)到80 mW，而間距增大到3.25D卻陡降到了4 mW.

壓電懸臂梁與阻流體的間距增大到臨界間距之前，隨著間距不斷增大，壓電懸臂梁俘能能力總體上逐漸變?nèi)?，圓柱作為阻流體時(shí)梁的俘能能力減弱得更快. 圓柱作為阻流體最佳俘能位置為間距0D時(shí)，而方柱作為阻流體的最佳俘能位置則在間距為1D時(shí). 當(dāng)間距超過臨界間距時(shí)，壓電懸臂梁俘能能力變化趨勢(shì)與到達(dá)臨界間距之前一樣，隨著間距增大越來越弱，但是下降速度相對(duì)慢得多，梁能夠收集的電功率只有幾mW. 很明顯，當(dāng)壓電懸臂梁與阻流體的間距越來越大，離核心渦區(qū)也就越來越遠(yuǎn)，作用在梁上的流體力也越來越小，梁能夠俘獲的流體動(dòng)能也越來越低.

3.1.2 振動(dòng)分析 懸臂梁振動(dòng)導(dǎo)致其表面壓電片同步彎曲變形，壓電片所俘獲的能量正是來源于彎曲變形產(chǎn)生的應(yīng)變能，并通過壓電效應(yīng)轉(zhuǎn)化為電能. 因此，要揭示不同壓電懸臂梁-阻流體間距下導(dǎo)致梁俘能表現(xiàn)產(chǎn)生差異的本質(zhì)原因，必須要對(duì)懸臂梁振動(dòng)特性進(jìn)行分析.

壓電懸臂梁與阻流體處于不同間距下，梁端監(jiān)測(cè)點(diǎn)A振動(dòng)穩(wěn)定時(shí)沿z軸的豎向平均振幅UZ及其振動(dòng)頻率fU，如圖6所示. 這里的平均振幅定義為

表4 懸臂梁幾何尺寸及固有頻率Tab.4 Geometric dimensions and natural frequencies of cantilever beam

圖5 壓電懸臂梁與阻流體不同間距下產(chǎn)生的平均電功率Fig.5 Average electric power generated by piezoelectric cantilever beam at different distances from bluff body

UZmax和UZmin分別表示A點(diǎn)豎向最大和最小位移. A點(diǎn)平均振幅變化趨勢(shì)大致和壓電懸臂梁俘能的電功率變化趨勢(shì)相對(duì)應(yīng)，都隨著間距拉大而逐漸減小，也會(huì)出現(xiàn)臨界間距，且位置范圍相同，間距超過臨界間距后A點(diǎn)平均振幅同樣出現(xiàn)陡降并保持在一個(gè)較小振幅振動(dòng). 唯一不同的是，阻流體為方柱時(shí)A點(diǎn)平均振幅最大位置出現(xiàn)在懸臂梁與阻流體間距0D時(shí)，而電功率最大值出現(xiàn)的位置則是在間距1D時(shí).

圖6 懸臂梁與阻流體不同間距下梁端監(jiān)測(cè)點(diǎn)沿z軸方向的平均振幅和振動(dòng)頻率Fig.6 Average amplitude and vibration frequency along z-axis of the monitoring point at the end of the cantilever beam at different distances from bluff body

A點(diǎn)振動(dòng)頻率變化趨勢(shì)和平均振幅相反，懸臂梁與阻流體間距到達(dá)臨界間距前，梁的振動(dòng)頻率很小，僅稍高于其一階固有頻率3.09 Hz，并隨間距拉大緩慢提高；間距超過臨界間距之后，A 點(diǎn)振動(dòng)頻率先驟升，而后隨間距的增大而緩慢提高并且逐漸趨于穩(wěn)定，圓柱和方柱作為阻流體時(shí)A點(diǎn)振動(dòng)頻率分別穩(wěn)定在10 Hz 和7 Hz 附近.由于在間距增大到臨界間距之前懸臂梁振動(dòng)頻率僅比其一階固有頻率稍高一些，可以認(rèn)為此時(shí)懸臂梁處于共振區(qū)間附近，導(dǎo)致其產(chǎn)生較大變形. 但是當(dāng)懸臂梁與阻流體間距越拉越大時(shí)，梁的振動(dòng)頻率開始遠(yuǎn)離其一階固有頻率，不再處于共振區(qū)間附近，梁端振幅急速降低. 對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)平均振幅和頻率變化趨勢(shì)的解釋可以相互佐證，高頻率對(duì)應(yīng)小振幅，反之亦然，梁端出現(xiàn)高振幅對(duì)應(yīng)更佳的俘能能力，小振幅則體現(xiàn)較弱的俘能表現(xiàn).

在懸臂梁和阻流體的間距到達(dá)臨界間距之前，相同間距下，方柱下游懸臂梁的板端振幅和頻率都大于圓柱，致使方柱下游壓電懸臂梁能夠產(chǎn)生更大的電功率；間距到達(dá)臨界間距之后，雖然方柱下游懸臂梁板端振幅依舊大于圓柱，但頻率卻低于圓柱，此階段相同間距下，方柱下游梁的俘能表現(xiàn)僅僅略強(qiáng)于圓柱. 懸臂梁與方柱阻流體相距1D時(shí)的振動(dòng)頻率高于間距0D時(shí)的振動(dòng)頻率，但梁端平均振幅卻相近，正是由于在相同振幅下卻具有更高振動(dòng)頻率，導(dǎo)致間距為1D時(shí)梁達(dá)到相近振幅卻用了更少時(shí)間，這意味著相同時(shí)間內(nèi)梁能完成更多振幅相近的振動(dòng)，從而產(chǎn)生更多機(jī)械能，顯而易見，間距為1D時(shí)壓電懸臂梁產(chǎn)生的電功率會(huì)高于將梁固支在方柱尾端上產(chǎn)生的電功率.

圖7 懸臂梁和阻流體不同間距下懸臂梁中性軸在一個(gè)周期內(nèi)的振動(dòng)形態(tài)Fig.7 Vibration pattern of the neutral axis of a cantilever beam with different distance between the cantilever beam and the bluff body in a period

懸臂梁和圓柱阻流體相距2.75D（將達(dá)臨界間距）、3D（剛過臨界間距），以及和方柱阻流體相距3D（將達(dá)臨界間距）、3.25D（剛過臨界間距）四種情況下，懸臂梁中性軸在一個(gè)周期內(nèi)的振動(dòng)形態(tài)如圖7所示，這可以充分反映臨界間距前后兩個(gè)階段的普遍特征. 在間距未到達(dá)臨界間距之前，阻流體不論是方柱還是圓柱，其下游懸臂梁運(yùn)動(dòng)方式基本上都以一階彎曲模態(tài)為主；到達(dá)臨界間距之后，懸臂梁運(yùn)動(dòng)則明顯混雜著二階彎曲模態(tài)，而激發(fā)這些高階振型需要消耗部分動(dòng)能，最終導(dǎo)致壓電片能夠俘獲的機(jī)械能大大減少.

3.1.3 流場(chǎng)分析 流體流經(jīng)阻流體時(shí)會(huì)在下游形成渦街，放置在渦流區(qū)的懸臂梁正是在漩渦作用下產(chǎn)生振動(dòng)來俘獲流場(chǎng)動(dòng)能，并最終通過懸臂梁表面的壓電片將機(jī)械能轉(zhuǎn)化成為電能. 由于最初能量來源是流場(chǎng)動(dòng)能，因此對(duì)流場(chǎng)特性進(jìn)行分析必不可少.

不同壓電懸臂梁-阻流體間距下，作用在臂梁上沿z軸方向的升力的頻率及其平均幅值FZ如圖8所示.其中，升力的平均幅值定義為

圖8 懸臂梁距阻流體不同間距時(shí)作用在懸臂梁上沿z軸方向的平均升力幅值和升力頻率Fig.8 Average amplitude and frequency of lift force acting on the cantilever beam along z-axis with the different distance between the cantilever beam and the bluff body

FZmax和FZmin分別表示升力最大值和最小值. 懸臂梁和阻流體處于不同間距時(shí)，升力頻率fF和懸臂梁振動(dòng)頻率fU基本一致，說明懸臂梁豎向位移主要受作用在梁上的升力控制. 平均升力幅值FZ變化趨勢(shì)和梁端監(jiān)測(cè)點(diǎn)平均振幅UZ走勢(shì)相反，間距到達(dá)臨界間距之前，作用在懸臂梁上的升力反而小于間距超過臨界間距之后作用在梁上的升力. 懸臂梁與阻流體的間距不管是在臨界間距之前還是之后，平均升力幅值都大致穩(wěn)定并整體上逐漸減小.

由于方柱和圓柱作為阻流體時(shí)梁的電功率、平均振幅和平均升力幅值隨間距的變化趨勢(shì)總體上相似，將方柱作為阻流體的情況作為代表進(jìn)行分析，從流場(chǎng)角度分析俘能能力發(fā)生變化的原因. 懸臂梁在距離方柱阻流體3D和3.25D時(shí)，運(yùn)動(dòng)到梁端豎向位移最大位置UZmax、最小位置UZmin以及平衡位置UZ0的壓力P分布云圖，如圖9所示. 當(dāng)梁運(yùn)動(dòng)到最大和最小豎向位移位置，間距為3.25D下梁上下表面壓力差明顯大于間距3D時(shí)的壓力差，導(dǎo)致前者作用在梁上的升力也大于后者，而3D和3.25D分別在臨界間距前后，能很好反映這兩個(gè)區(qū)間的普遍特征.

懸臂梁振動(dòng)主要是受阻流體尾端脫落的漩渦作用，在較低雷諾數(shù)范圍內(nèi)，方柱繞流激發(fā)的漩渦能量會(huì)高于圓柱，當(dāng)梁和阻流體間距不改變時(shí)，方柱作為阻流體的俘能效果明顯優(yōu)于圓柱. 懸臂梁與方柱相距3D、3.25D 時(shí)，運(yùn)動(dòng)到梁端豎向位移最大位置UZmax、最小位置UZmin以及平衡位置UZ0的渦量V 分布云圖，如圖10所示. 在相同流場(chǎng)長度內(nèi)，梁與阻流體相距3.25D下激發(fā)出來的渦的數(shù)量明顯更多，這說明不同間距下懸臂梁對(duì)阻流體漩渦脫落會(huì)產(chǎn)生不同影響，也說明了此時(shí)方柱的渦脫頻率更大，而梁處于方柱下游渦街中，脫落的漩渦對(duì)懸臂梁的作用主要體現(xiàn)為升力，這導(dǎo)致了間距3.25D下的升力頻率也相應(yīng)地高于3D. 懸臂梁與方柱相距3D和3.25D時(shí)誘導(dǎo)的渦對(duì)梁作用的最大區(qū)別在于，前者的渦還未從方柱尾端脫落下來就直接作用在梁上，而后者則是渦從尾端脫落下來之后才作用在梁上，漩渦脫落并向后運(yùn)動(dòng)的過程會(huì)有能量耗散，導(dǎo)致后者作用在梁上的渦能量遠(yuǎn)不如前者. 不僅如此，間距3D時(shí)方柱尾端產(chǎn)生正負(fù)一對(duì)漩渦且同時(shí)作用在懸臂梁上，而間距3.25D時(shí)只有單個(gè)渦作用在梁上，梁從一對(duì)渦中吸收的能量自然是高于單個(gè)渦，這都導(dǎo)致懸臂梁與阻流體間距在到達(dá)臨界間距之前的俘能效果優(yōu)于間距超過臨界間距之后的俘能效果.

圖9 懸臂梁與方柱不同間距下運(yùn)動(dòng)到不同位置的壓力云圖Fig.9 Contours of pressure when cantilever beam moving to different positions with different distance between cantilever beam and square cylinder

圖10 懸臂梁與方柱不同間距下運(yùn)動(dòng)到不同位置的渦量云圖Fig.10 Contours of vorticity when cantilever beam moving to different positions with different distance between cantilever beam and square cylinder

方柱和圓柱作為阻流體最大區(qū)別是最佳獲能位置不一樣，懸臂梁固支在圓柱尾端時(shí)能夠俘獲的能量最多，而懸臂梁與方柱相距1D時(shí)可獲得的電功率最高. 從圖7可以看出，懸臂梁與方柱相距1D與固支在方柱尾端相比，雖然平均升力幅值Fy稍小，但升力頻率fF卻偏高，綜合兩者來看，升力頻率提高值大于平均升力幅值減少值，導(dǎo)致相同時(shí)間內(nèi)間距1D時(shí)作用在梁上的升力合值大于間距0D下的升力合值，升力合值越大對(duì)應(yīng)流場(chǎng)對(duì)梁做功越多.

懸臂梁和方柱相距0D和1D時(shí)作用在方柱上沿z軸方向的升力以及經(jīng)過快速傅里葉變換得到的頻譜圖，如圖11所示. 方柱升力頻率和懸臂梁升力頻率一致，間距1D時(shí)方柱上的升力頻率為3.53 Hz，間距0D時(shí)為3.18 Hz，說明間距1D時(shí)漩渦的渦脫頻率大于懸臂梁固支在方柱尾端的渦脫頻率，而作用在梁上的升力體現(xiàn)了漩渦對(duì)梁作用，更高的渦脫頻率則對(duì)應(yīng)著相同時(shí)間內(nèi)有更多漩渦作用在梁上，梁吸收的流場(chǎng)能量也就越多，具有的機(jī)械能也越高，通過壓電效應(yīng)產(chǎn)生的電能也就越多.

3.2 不同懸臂梁長度下俘能機(jī)理分析

通過上文對(duì)不同截面形狀阻流體、壓電懸臂梁-阻流體間距下的俘能機(jī)理研究，可以得到，方柱作為阻流體時(shí)激發(fā)的壓電懸臂梁的俘能效果更佳，且俘能最佳位置在梁距離方柱阻流體1D處. 在此基礎(chǔ)上，將壓電懸臂梁放置在獲能最佳位置，僅僅改變懸臂梁長度，分別取為4D、8D、12D，繼續(xù)研究了壓電懸臂梁長度改變對(duì)俘能的影響.

圖11 懸臂梁與方柱相距0D、1D時(shí)作用在方柱上的升力及其經(jīng)快速傅里葉變換得到的頻譜Fig.11 The lift force acting on a square cylinder when the cantilever beam is 0D and 1D away from the square cylinder and its spectrum obtained by fast Fourier transform

將壓電懸臂梁產(chǎn)生的電功率和作用在梁上的沿z軸的升力平均幅值都平均到梁的每塊壓電片上，如表5所示，S′表示每塊壓電貼片產(chǎn)生的平均電功率，F(xiàn)′是作用在單片壓電片上的升力的平均幅值，f′是作用在梁上的升力頻率. 平均到每塊壓電片的電功率和升力幅值一一對(duì)應(yīng)，都是先增大后減小，懸臂梁長度為8D時(shí)每塊壓電片的平均電功率和平均升力幅值同時(shí)達(dá)到最大值，懸臂梁長度超過8D后隨著梁長增大梁上每塊壓電片的平均俘能能力越來越差，而長度為4D時(shí)壓電懸臂梁上單塊壓電片平均俘能效果優(yōu)于長度為12D的梁.

表5 懸臂梁與方柱相距1D時(shí)不同懸臂梁長度的獲能表現(xiàn)Tab.5 Capacitance performance of cantilever beams with different lengths when the distance between cantilever beams and square cylinder is 1D

正是由于不同懸臂梁長度下每塊壓電片的平均升力幅值及其產(chǎn)生的平均電功率變化趨勢(shì)一致，為了揭示不同梁長下單塊壓電片產(chǎn)生不同平均電功率的原因，只需從流場(chǎng)角度分析懸臂梁長度的改變對(duì)作用在單片壓電片上的升力的影響即可. 不同長度懸臂梁與方柱相距1D時(shí)運(yùn)動(dòng)到不同位置的壓力P分布云圖，如圖12所示. 懸臂梁長度為4D時(shí)，上下表面只有一側(cè)有負(fù)壓力集中區(qū)；當(dāng)梁長增加到8D時(shí)，懸臂梁兩側(cè)表面分別出現(xiàn)正負(fù)壓力核心，此時(shí)的壓力差最大，作用在梁上的升力也為最大值；而梁長為12D下沿長度方向梁兩側(cè)表面同時(shí)出現(xiàn)一對(duì)正負(fù)壓力核心，梁兩側(cè)面上相同的壓力核心在形成升力時(shí)會(huì)相互抵消，導(dǎo)致作用在單片壓電片上的平均升力反而最小，而升力直接決定懸臂梁的運(yùn)動(dòng)變形，更小的平均升力導(dǎo)致懸臂梁所能產(chǎn)生的機(jī)械能平均到每塊壓電片上會(huì)更小，每片壓電片所能產(chǎn)生的平均電功率也更小.

從不同懸臂梁長度下作用在梁上的升力頻率f′的差異也可以看出，梁長8D時(shí)升力頻率最大，且從流場(chǎng)分析中可以知道此時(shí)作用在單塊壓電片的平均升力幅值也最大，在單位時(shí)間內(nèi)單片壓電片上升力對(duì)其做功最多，能夠產(chǎn)生的電能也最多，同理可以得到12D梁長時(shí)單片壓電片的平均電功率最小.

圖12 不同長度懸臂梁與方柱相距1D時(shí)運(yùn)動(dòng)到不同位置的壓力云圖Fig.12 Contours of pressure when cantilever beam with different lengths moving to different positions 1D apart from square cylinder

4 結(jié)語

本文通過在渦流場(chǎng)中放置壓電懸臂梁，吸收流場(chǎng)能量使懸臂梁發(fā)生振動(dòng)，壓電貼片跟隨懸臂梁同步運(yùn)動(dòng)觸發(fā)壓電效應(yīng)將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能. 為了得到該模型最佳俘能效果以及力學(xué)機(jī)理，本文針對(duì)不同截面形狀阻流體、梁與阻流體的距離以及懸臂梁的長度等參數(shù)開展了壓電懸臂梁的俘能模擬，并進(jìn)一步深入分析了懸臂梁振動(dòng)特性以及流場(chǎng)特征，解釋了壓電懸臂梁的最佳俘能機(jī)制. 主要結(jié)論如下：

1）在相同的來流速度下，不同截面形狀的阻流體下游的壓電懸臂梁的俘能效果差異較大. 在本研究中的低雷諾數(shù)范圍內(nèi)，方柱作為阻流體與圓柱相比，能夠激發(fā)出更大強(qiáng)度的渦，導(dǎo)致其下游的壓電懸臂梁的俘能表現(xiàn)更好，產(chǎn)生的最大電功率達(dá)到了圓柱下游壓電懸臂梁所俘獲的最大電功率的2倍.

2）壓電懸臂梁和阻流體的間距超過臨界間距（方柱的臨界間距在壓電懸臂梁與之相距3D～3.25D 之間，圓柱的則在2.75D～3D 之間），壓電懸臂梁俘能效率驟降，懸臂梁的梁端振幅和振動(dòng)頻率也隨之驟降，而作用在懸臂梁上的升力卻出現(xiàn)驟升的情況. 這是由阻流體激發(fā)出來的漩渦的長度和空間分布狀態(tài)所決定的.

3）當(dāng)阻流體截面形狀和壓電懸臂梁與阻流體間距等參數(shù)固定時(shí)，存在最佳獲能梁長，最佳獲能梁長的確定取決于阻流體誘發(fā)的流場(chǎng)特征. 懸臂梁長度小于最佳獲能梁長時(shí)，梁長不夠?qū)е缕渖险迟N的壓電貼片能夠吸收的流場(chǎng)能量有限；懸臂梁長度超過最佳獲能梁長，流場(chǎng)對(duì)懸臂梁的壓力在梁的兩個(gè)表面分布不均，并出現(xiàn)正負(fù)壓力相互抵消的現(xiàn)象，導(dǎo)致平均到每塊壓電片上的升力隨梁長增加而減小，每塊壓電片上能夠產(chǎn)生的平均電功率也隨之減小.