趙 帥 沈志遠(yuǎn) 魏文斌

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院 南京 210016)

0 引 言

通過路徑優(yōu)化可以提高無人機(jī)(unmanned aerial vehicle,UAV)飛行品質(zhì)，以滿足日益嚴(yán)苛的任務(wù)要求[1].在無人機(jī)設(shè)計(jì)狀態(tài)確定的情況下，如何對飛行軌跡優(yōu)化，提高飛行效率，是未來對無人機(jī)要求更加精準(zhǔn)化的方向之一.無人機(jī)的路徑優(yōu)化問題中因其含有很多的非線性約束條件，從本質(zhì)上可以看成是一個(gè)非線性最優(yōu)控制問題[2].因此,對最優(yōu)控制問題的研究也即是對路徑優(yōu)化問題的研究.

隨著計(jì)算機(jī)性能的不斷提高，采用數(shù)值方法來解決最優(yōu)控制問題，目前主流的數(shù)值方法包括間接法和直接法[3-4].直接法相比間接法在求解路徑優(yōu)化問題時(shí)不需要很多初始值，也不需要推導(dǎo)一階最優(yōu)性條件，程序簡便,容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用到解決路徑優(yōu)化問題中.由于偽譜法對初始值的要求較低，同時(shí)可以將復(fù)雜的約束轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式，可用于實(shí)時(shí)最優(yōu)控制中，成為近年來學(xué)者偏愛的方法之一.高斯偽譜法(Gauss pseudospectral method,GPM)是目前研究最多的一種采用Legendre-Guass配置點(diǎn)的偽譜法[5].

Jorris等[6]在使用高斯偽譜法時(shí)加入航路點(diǎn)和禁飛區(qū)約束，使其生成的三維軌跡得到了優(yōu)化.彭祺擘等[7]采用將直接打靶法和高斯偽譜法相結(jié)合為一種新的融合方法，解決了在探測器在月球表面定點(diǎn)軟著陸時(shí)的軌道優(yōu)化問題.水尊師等[8]利用高斯偽譜法計(jì)算了再入段的最優(yōu)軌跡并采用預(yù)測校正制導(dǎo)方法對離線軌跡進(jìn)行跟蹤，但是整個(gè)過程中迎角變化范圍太大，現(xiàn)實(shí)中很難實(shí)現(xiàn).Zhang等[9]通過設(shè)置不同的目標(biāo)函數(shù)，用Guass偽譜法解決了帶有姿態(tài)約束的翼傘歸航路徑優(yōu)化問題，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.郭泉成[10]通過添加限制約束，保證最優(yōu)控制問題中各個(gè)階段之間的連續(xù)性，并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了三個(gè)階段中智能車的路徑優(yōu)化問題.

綜上所述，目前的研究主要集中在運(yùn)用Guass偽譜法解決單一飛行器或者交通運(yùn)輸工具的軌跡優(yōu)化問題，大多數(shù)學(xué)者通過對目標(biāo)函數(shù)或者約束條件進(jìn)行分類精細(xì)討論.本文在路徑優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上，考慮實(shí)際飛行情況，建立低空空域模擬規(guī)劃空間，討論三維空間下多無人機(jī)在低空空域有沖突風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的路徑優(yōu)化.通過對無人機(jī)建立各自的安全保護(hù)區(qū)，結(jié)合無人機(jī)自身性能及其他約束，基于Gauss偽譜法對存在沖突風(fēng)險(xiǎn)的無人機(jī)進(jìn)行調(diào)配，給出在線調(diào)整高度的路徑優(yōu)化策略.

1 多無人機(jī)路徑優(yōu)化模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

無人機(jī)在飛行過程中會(huì)涉及到很多因素，包括空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、升力、空氣阻力、姿態(tài)角度的變化等，是一個(gè)綜合復(fù)雜的非線性系統(tǒng).本文考慮一定情況下的過程簡化，采用三自由度點(diǎn)質(zhì)量模型用于描述無人機(jī)的動(dòng)態(tài)特性，無人機(jī)在三維空間里的飛行狀態(tài)為

(1)

式中：x,y,z分別為無人機(jī)在飛行環(huán)境中的經(jīng)度，緯度，高度坐標(biāo)；γ為航跡角；φ為偏轉(zhuǎn)角；θ為傾斜角；T為無人機(jī)的推力；L和D分別為無人機(jī)的升力和阻力；m為總質(zhì)量；g為重力加速度；V為無人機(jī)的速度；n為負(fù)載系數(shù),n=L/g.

1.2 確定分類變量

對于低空空域下無人機(jī)路徑優(yōu)化問題，考慮其在三維空間環(huán)境下飛行姿態(tài)一直隨著過程的進(jìn)行而變化，根據(jù)無人機(jī)動(dòng)力學(xué)方程組(1)，六個(gè)狀態(tài)變量分別為經(jīng)度x、緯度y、高度z、航跡角γ、偏轉(zhuǎn)角φ、速度V，故狀態(tài)變量為

x=[x,y,z,γ,φ,V]

(2)

無人機(jī)在飛行過程中，通過調(diào)節(jié)推力T和通過控制舵面的變化來改變傾斜角θ，同時(shí)升力L與負(fù)載系數(shù)有關(guān)，因此，三個(gè)控制變量為

u=[T,θ,L]

(3)

1.3 構(gòu)建約束條件

1.3.1邊界約束

邊界約束包括無人機(jī)狀態(tài)變量的初始條件和終端條件，在某一確定的飛行任務(wù)中，無人機(jī)從初始狀態(tài)經(jīng)過一系列調(diào)整控制，最后到達(dá)終端狀態(tài).假設(shè)無人機(jī)的飛行時(shí)間t∈[t0,tf].其中,t0為初始時(shí)刻;tf為終端時(shí)刻.

1) 初始條件 初始條件是指無人機(jī)在起始點(diǎn)時(shí)，狀態(tài)變量在t0時(shí)刻需要滿足初始位置約束、姿態(tài)約束、速度約束，本文中所有變量下標(biāo)含“0”均表示在初始條件下的狀態(tài)，那么無人機(jī)受到的初始條件約束為

(4)

2) 終端條件 終端條件是指無人機(jī)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，狀態(tài)變量tf在時(shí)刻所需要滿足的約束，包括終端位置約束、姿態(tài)約束、速度約束，本文中所有變量下標(biāo)含“f”均表示在終端條件下的狀態(tài)，那么無人機(jī)受到的終端條件約束為

(5)

1.3.2性能約束

無人機(jī)的機(jī)動(dòng)性能反映了其改變姿態(tài)和速度的能力，要確保滿足該條件，生成的路徑才可行.考慮姿態(tài)和速度的影響，形成在某一范圍內(nèi)的機(jī)動(dòng)性能約束：

(6)

式(6)表明姿態(tài)角和速度均在一定的范圍內(nèi)，在各個(gè)時(shí)刻各個(gè)狀態(tài)量和控制量都遵循自身約束.

1.3.3路徑約束

1) 誤差約束 在飛行過程中，可能要經(jīng)過特定位置點(diǎn)，需要在該位置點(diǎn)完成轉(zhuǎn)彎或者改變高度等機(jī)動(dòng)性動(dòng)作，無人機(jī)在該位置點(diǎn)的約束一般需要其滿足橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、高度的約束，為

|xGIV-xt|≤ε1

|yGIV-yt|≤ε2

|zGIV-zt|≤ε3

(7)

式中：xGIV,yGIV,zGIV為無人機(jī)需要經(jīng)過GIV特定點(diǎn)的位置量；xt,yt,zt為在時(shí)刻t無人機(jī)的坐標(biāo)；ε1,ε2,ε3為在不同約束下的可容忍誤差.

2) 空間障礙物約束 本文建立的有空域限制、基礎(chǔ)山峰、電磁干擾三種空間障礙物約束，無人機(jī)在可行區(qū)域內(nèi)飛行時(shí)要躲避此三種外界障礙物.設(shè)B,C,D為障礙物的類型，則障礙物的邊界點(diǎn)集合為

H={(x,y,z)|mn(x,y,z)=0}

(8)

式中：n=B,C,D，如果在坐標(biāo)系中存在mn(x,y,z)>0的點(diǎn)，則表示在障礙物邊界的外面；相反，如果有mn(x,y,z)≤0，則表示在障礙物邊界內(nèi)部，假設(shè)有空間點(diǎn)在此范圍內(nèi)，則一定與障礙物發(fā)生碰撞.

假設(shè)無人機(jī)所在的整個(gè)規(guī)劃空間為A，無人機(jī)機(jī)身邊界點(diǎn)集合為E={(xc,yc,zc)|e(xc,yc,zc)=0}，則對機(jī)身的任意一點(diǎn)E(xc,yc,zc)而言，它需要滿足的條件為

E(xc,yc,zc)?CA(B1∪…∪Bi∪

C1∪…∪Cj∪D1∪…∪Dk)

(9)

式中：i,j,k分別為三種空間障礙物的個(gè)數(shù)，同時(shí)

3) 多無人機(jī)避撞約束 上述空間障礙物全為靜態(tài)障礙物，無人機(jī)要滿足在規(guī)劃空間內(nèi)除去靜態(tài)障礙物以外的空間范圍內(nèi)活動(dòng).但是假如同時(shí)存在多架無人機(jī)，則有存在碰撞風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)存在動(dòng)態(tài)障礙物約束.常見的解決方法一般有兩種：①給不同的無人機(jī)分配不同的高度層，則從根本上解決了動(dòng)態(tài)障礙物約束的問題，但可能會(huì)浪費(fèi)空域；②空間無限制，但要保持不同的無人機(jī)在同一時(shí)刻不會(huì)出現(xiàn)在同一位置，即在任意時(shí)刻多架無人機(jī)互相之間要有空間上的安全距離，為

‖xi(t)-xj(t),yi(t)-yj(t),

zi(t)-zj(t)‖2≥dmin

(11)

式中：i,j為規(guī)劃空間中任意兩架無人機(jī)；dmin為無人機(jī)之間的最小安全距離.

1.4 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

無人機(jī)的時(shí)效性是很重要的一個(gè)指標(biāo)，也就是執(zhí)行任務(wù)時(shí)間短，需要盡可能快的穿過飛行區(qū)域；同時(shí)需要消耗的能量最少，則目標(biāo)函數(shù)為綜合代價(jià)函數(shù)值最小.本文假設(shè)p架無人機(jī)同時(shí)存在一片規(guī)劃空間內(nèi)，綜合考慮執(zhí)行任務(wù)時(shí)間最短和綜合代價(jià)函數(shù)值最小，對兩種指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)形成最終的目標(biāo)函數(shù)：

(12)

式中：σ1,σ2為對應(yīng)目標(biāo)的權(quán)重，根據(jù)具體任務(wù)的要求，權(quán)衡不同目標(biāo)的重要程度，對其取不同的值.

1.5 最優(yōu)控制模型

建立的最優(yōu)控制模型包括目標(biāo)函數(shù)式(12)為最小性能指標(biāo)，式(1)為無人機(jī)狀態(tài)方程約束，式(4)為邊界初始條件，式(5)為邊界終端條件，式(6)為狀態(tài)變量和控制變量的條件約束，式(7)～(11)為路徑約束，同時(shí)還有無人機(jī)機(jī)身邊界的避障約束，為

(13)

2 基于Guass偽譜法求解路徑優(yōu)化

2.1 最優(yōu)控制問題描述

本文用Guass偽譜法解決無人機(jī)路徑優(yōu)化問題，并將其歸納為以最小化任務(wù)時(shí)間和綜合代價(jià)函數(shù)值為優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)控制問題：

minJ=ψ(x(t0),t0,x(tf),tf)+

(14)

滿足動(dòng)力學(xué)狀態(tài)約束

(15)

邊界約束

φ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(16)

性能約束和路徑約束

C[x(t),u(t),t]≤0

(17)

狀態(tài)變量x(t)=[xyzrφV]T，控制變量u(t)=[θTL]T.在優(yōu)化目標(biāo)即性能指標(biāo)表達(dá)式中，由終端性能指標(biāo)和過程動(dòng)態(tài)指標(biāo)兩部分構(gòu)成，ψ是Mayer項(xiàng)，g是Lagrange項(xiàng).再加上無人機(jī)路徑規(guī)劃問題的動(dòng)力學(xué)方程函數(shù)、邊界約束函數(shù)和路徑約束函數(shù)，其定義域和值域的范圍為

ψ:Rn×R×Rn×R→R

g:Rn×Rn×R→R

f:Rn×Rn×R→R

φ:Rn×R×Rn×R→R

C:Rn×Rn×R→R

(18)

1) 區(qū)間變化 Gauss偽譜法離散化后都為[-1,1]區(qū)間的LG配點(diǎn).因此，需要將最優(yōu)控制問題的時(shí)間區(qū)間t∈[t0,tf]轉(zhuǎn)換成τ∈[-1,1]，對時(shí)間變量t作變換：

(19)

則式(14)～(17)可轉(zhuǎn)換為

minJ=ψ(x(-1),t0,x(1),tf)+

(20)

(21)

φ(x(-1),t0,x(1),tf)=0

(22)

(23)

2) 全局插值多項(xiàng)式近似狀態(tài)變量和控制變量 Gauss偽譜法選取N個(gè)LG點(diǎn)和一個(gè)初始點(diǎn)τ0=-1為節(jié)點(diǎn)，即N+1個(gè)離散點(diǎn)τi(τ0,τ1,τ2,…,τN)，并在此節(jié)點(diǎn)上N+1構(gòu)造個(gè)Lagrange插值多項(xiàng)式Li(τ)(i=0,…,N)，并以此為基函數(shù)近似狀態(tài)變量：

(24)

插值多項(xiàng)式表達(dá)式為

(25)

使用Lagrange插值多項(xiàng)式可使變量在節(jié)點(diǎn)上近似狀態(tài)等于實(shí)際狀態(tài)，即x(τi)=X(τi)，(i=0,1，…,N).

(26)

(27)

(28)

(29)

經(jīng)過上述分析得到了變量的離散形式，下面繼續(xù)討論將無人機(jī)狀態(tài)方程的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散化.

3) 狀態(tài)方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束 對式(24)求導(dǎo)得狀態(tài)變量在離散點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，從而將無人機(jī)動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束：

(30)

式中：τk(k=1,2,…,N)表示位于集合κ中的點(diǎn)，τi(i=0,1,…,N)是集合κ0={τ0,τ1,…,τN}的元素.式(31)得到了狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)的代數(shù)表達(dá)式，這樣，就將最優(yōu)控制問題的動(dòng)力學(xué)微分方程狀態(tài)約束轉(zhuǎn)化成代數(shù)約束：

k=1,2,…,N

(32)

經(jīng)過上述變化就將無人機(jī)微分方程狀態(tài)約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束，同時(shí)微分矩陣Dki∈RN×(N+1)與選取的離散點(diǎn)有關(guān)，而與狀態(tài)變量無關(guān).

4) 離散條件下的終端狀態(tài)約束 Gauss偽譜法中配點(diǎn)個(gè)數(shù)包括N個(gè)配點(diǎn)(τ1,…,τN)和初始點(diǎn)τ0=-1，但很多最優(yōu)問題需要考慮終端約束，也就是在終點(diǎn)τf=1的終端狀態(tài)Xf，終端狀態(tài)也應(yīng)滿足相應(yīng)的狀態(tài)約束：

將終端約束條件使用插值多項(xiàng)式近似離散化，而Gauss積分公式具有精度高的特點(diǎn)，因此用Gauss積分近似積分項(xiàng)，可得：

X(τf)=X(τ0)+

(34)

2.2 將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)為非線性規(guī)劃問題

經(jīng)過2.1的離散化處理，Gauss偽譜法已將連續(xù)型的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)變成離散型的非線性規(guī)劃問題：

minJ=Ψ(X0,t0,Xf,tf)+

(35)

(36)

X(τf)=X(τ0)+

(37)

φ(X(τ0),t0,X(τf),tf)=0

(38)

C[X(τk),U(τk),τk;t0,tf]≤0

(39)

通過Guass偽譜法在高斯點(diǎn)上離散最優(yōu)控制問題的控制變量和狀態(tài)變量，同時(shí)確保在所有配點(diǎn)處都滿足約束.經(jīng)過上述變化由無人機(jī)路徑規(guī)劃問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽顑?yōu)控制問題，又進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成非線性規(guī)劃問題.目前在解決含有多重不等式約束的非線性規(guī)劃問題中，序列二次規(guī)劃算法以其良好的收斂性，被認(rèn)為是最有效的方法之一.

非線性規(guī)劃問題的簡化數(shù)學(xué)模型為

minf(x)

(40)

式中：f(x)為目標(biāo)函數(shù)；h(x)，g(x)分別為等式約束和不等式約束，本文采用序列二次規(guī)劃方法求解該問題.

3 仿真驗(yàn)證

3.1 參數(shù)設(shè)置

采用Matlab2014a和gpops工具通過編程搭建仿真環(huán)境，在配置為Intel(R)Xeon(R) 2.4 GHz,2 GB，64 G操作系統(tǒng)內(nèi)存的Windows10系統(tǒng)下的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，建立規(guī)劃空間障礙物分布圖，其參數(shù)設(shè)置見表1，規(guī)劃空間模擬圖見圖1.

表1 規(guī)劃空間障礙物類型 m

圖1 規(guī)劃空間模擬圖

本文選用兩架類型完全相同的無人機(jī)UAV1和UAV2，部分性能參數(shù)見表2.

表2 UAV參數(shù)設(shè)置

無人機(jī)在起始點(diǎn)的初始條件和在目標(biāo)點(diǎn)的終端條件設(shè)置的參數(shù)或者范圍分別見表3～4.

表3 初始條件

表4 終端條件

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)

本文設(shè)計(jì)兩組仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比，討論無人機(jī)在加上保護(hù)區(qū)后的路徑優(yōu)化.

1) 仿真實(shí)驗(yàn)1 兩架無人機(jī)在不考慮沖突風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的路徑規(guī)劃 通過Gauss偽譜法將最優(yōu)控制問題在高斯配點(diǎn)處對無人機(jī)路徑規(guī)劃問題進(jìn)行離散化，轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，然后對其求解得到兩架無人機(jī)的最終生成路徑見圖2.

圖2 多無人機(jī)飛行路徑俯視圖和三維圖

由圖2可知，首先兩架無人機(jī)都成功避開了空間所有的障礙物.對UAV1，遇到空域限制區(qū)時(shí)，上升下降軌跡較為平滑；遇到電磁干擾威脅區(qū)時(shí)，產(chǎn)生一定幅度的合理迂回，最終到達(dá)目的地.對UAV2，從起始點(diǎn)出發(fā)后，始終在1～100 m高度平穩(wěn)飛行，波動(dòng)不大，然后由于空域限制區(qū)的影響，只能持續(xù)上升，但可以看出在(2 850，3 500，430)點(diǎn)附近有沖突碰撞風(fēng)險(xiǎn)，然后到500 m左右高度，貼近空域限制區(qū)表面飛行，并隨后翻越山峰，到達(dá)目的地.

經(jīng)過對數(shù)據(jù)提取分析，得UAV1飛行時(shí)間為202 s，UAV2飛行時(shí)間為208 s，UAV1和UAV2部分變量隨時(shí)間變化曲線見圖3.

圖3 部分變量變化圖

由圖3可知，軌跡較為平滑，滿足邊界約束、性能約束和路徑約束的要求，變化范圍在可接受的程度之內(nèi).

2) 仿真實(shí)驗(yàn)2 兩架無人機(jī)考慮沖突風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的路徑優(yōu)化 假設(shè)每個(gè)無人機(jī)周圍都有一定的保護(hù)區(qū)范圍，當(dāng)另一架無人機(jī)進(jìn)入該區(qū)域時(shí)就認(rèn)為會(huì)發(fā)生碰撞.本節(jié)以移動(dòng)的UAV1為中心點(diǎn)，建立半徑為100 m的球形保護(hù)區(qū).考慮UAV1執(zhí)行任務(wù)重要，路徑不變的情況下，UAV2做路徑規(guī)劃時(shí)，不僅要考慮規(guī)劃空間靜態(tài)障礙物的躲避，還要考慮對UAV1動(dòng)態(tài)障礙物進(jìn)行規(guī)避，加上該約束兩架無人機(jī)形成的最終路徑見圖4.

圖4 多無人機(jī)飛行路徑俯視圖和三維圖

由圖4可知，兩架無人機(jī)的飛行路徑都成功避開了空間所有的障礙物.對UAV1，飛行路徑不變.對UAV2，從起始點(diǎn)出發(fā)后，剛開始貼地飛行，隨后上升高度，經(jīng)過一段時(shí)間平飛，繼續(xù)上升，接著在遇到UAV1時(shí)，為了避免風(fēng)險(xiǎn)沖突，通過上升高度來規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，然后下降到500 m左右，貼近空域限制區(qū)表面飛行，并隨后翻越山峰，到達(dá)目的地.

經(jīng)過對數(shù)據(jù)提取分析，得UAV1飛行時(shí)間為202 s，UAV2路徑優(yōu)化后飛行時(shí)間為237 s，雖然飛行時(shí)間增加，但是為了規(guī)避沖突風(fēng)險(xiǎn).原始UAV1、原始UAV2和改進(jìn)UAV2的部分變量隨時(shí)間變化曲線見圖5.

圖5 部分變量變化圖

由圖5可知，軌跡較為平滑，滿足邊界約束、性能約束和路徑約束的要求，變化范圍在可接受的程度之內(nèi).

3.3 結(jié)果分析

為了更直觀說明基于Guass偽譜法的無人機(jī)路徑優(yōu)化，將兩架無人機(jī)有沖突風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的路經(jīng)和加上保護(hù)區(qū)改進(jìn)后的路徑局部放大，見圖6.UAV2通過調(diào)整高度來規(guī)避UAV1保護(hù)區(qū)，雖然飛行時(shí)間增加，但更具有適用性和安全性.

圖6 局部放大圖

以上計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)表明，經(jīng)過優(yōu)化后的路徑繞過了與動(dòng)態(tài)障礙物有沖突風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的空間，同時(shí)驗(yàn)證了兩架無人機(jī)在加上保護(hù)區(qū)后會(huì)有在線路徑調(diào)配的優(yōu)化策略.

4 結(jié) 束 語

本文研究了多無人機(jī)在三維空間中有沖突風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，基于Gauss偽譜法的路徑優(yōu)化方法.首先將無人機(jī)路徑優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為在滿足無人機(jī)各種約束條件下，以最小化任務(wù)時(shí)間和綜合代價(jià)函數(shù)值為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題.接著詳述了Gauss偽譜法把該最優(yōu)控制問題逐步離散化成非線性規(guī)劃問題的過程，通過對非線性規(guī)劃問題求解，即可得兩架無人機(jī)的生成路徑.最后通過對每一架無人機(jī)增加保護(hù)區(qū)，那么在遇到?jīng)_突風(fēng)險(xiǎn)時(shí)會(huì)采取調(diào)整高度的優(yōu)化策略來避免相撞，并用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了Guass偽譜法解決無人機(jī)路徑優(yōu)化問題的有效性.