鐘文坤，吳玖榮

(廣州大學(xué)-淡江大學(xué)工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心，廣州大學(xué)，廣東，廣州 510006)

調(diào)頻液體阻尼器(Tuned Liquid Damper, TLD)作為一種有效的減振耗能裝置，具有成本低、便于安裝等優(yōu)勢，已經(jīng)被越來越廣泛地應(yīng)用于船舶、航天、海洋平臺、高層建筑等領(lǐng)域[1―3]。當水箱受到較大的外部激勵時，容器內(nèi)的水會發(fā)生較大幅度晃動，而激勵頻率與水箱自振頻率接近時，水箱內(nèi)水的晃動會更加劇烈，進而會影響到結(jié)構(gòu)的使用功能。由于純水提供的粘性阻尼較小，不能較好地抑制水的晃動，為克服這一缺點，可以通過在水箱內(nèi)部設(shè)置障礙物如格柵、擋板、立柱等來提高TLD系統(tǒng)的阻尼比[4―7]。但水箱內(nèi)安裝障礙物后，在水發(fā)生晃蕩時，產(chǎn)生的動力特性會非常復(fù)雜[8―10]，所以如何較準確地估算出水箱TLD 系統(tǒng)的阻尼比仍是我們值得深入研究的課題。

對于水箱TLD 系統(tǒng)的阻尼比估算，可以采用能量耗散原理和虛功原理兩種方法。而對于內(nèi)置有擋板的矩形水箱TLD 系統(tǒng)阻尼比估算，大多數(shù)學(xué)者基本上都是采用能量耗散原理進行推導(dǎo)。Warnitchai 等[7]提出矩形水箱底部中央位置垂直安裝有單塊擋板的阻尼比估算公式，并與純水箱系統(tǒng)進行對比，發(fā)現(xiàn)內(nèi)置擋板可以較明顯提高水箱系統(tǒng)的阻尼比；Isaacson 等[11]分別推導(dǎo)了底部中央位置垂直安裝有單塊擋板和左右側(cè)壁水平對稱安裝有一對擋板的矩形水箱線性阻尼比估算公式，分別研究了垂直擋板的高度、水平擋板的安置高度、水深比等因素對系統(tǒng)阻尼比的影響，并與實驗結(jié)果進行對比，表明所推導(dǎo)的公式具有較好的估算效果；Faltinsen 等[12]利用能量耗散率方法分別推導(dǎo)了底部中央位置垂直安裝有單塊擋板和左右側(cè)壁水平對稱安裝有一對擋板的矩形水箱線性阻尼比估算公式，并與Isaacson 所推導(dǎo)的公式進行了對比。Goudarzi 等[13]推導(dǎo)了底部垂直安裝有兩塊擋板和左右側(cè)壁水平安裝有一對擋板的矩形水箱線性阻尼比估算公式，并結(jié)合實驗研究了兩塊垂直擋板不同間距下的系統(tǒng)阻尼比。而利用虛功原理來估算水箱系統(tǒng)的阻尼比，主要集中對于內(nèi)置格柵的水箱。Tait 等[14]把矩形水箱視為等效彈簧-質(zhì)量-阻尼線性系統(tǒng)，推導(dǎo)了隨機激勵和正弦激勵下內(nèi)置有多塊格柵的等效線性阻尼比計算公式，并討論了不同水深比、不同激勵幅度下水箱系統(tǒng)等效阻尼比的大小變化；Deng 等[15]建立了TLD 水箱系統(tǒng)對應(yīng)的可調(diào)諧等效線性力學(xué)模型，并推導(dǎo)出具有任意幾何形狀如平底矩形、垂直圓柱形、水平圓柱形等多種水箱系統(tǒng)的阻尼比估算公式；Love 等[16]利用線性等效模型和非線性四階模型分別研究了矩形水箱內(nèi)部置有多排的十字立柱對水箱系統(tǒng)阻尼比的影響，并推導(dǎo)出阻尼比的估算公式；同時為了改進傳統(tǒng)的TLD減振性能，他還設(shè)計了由TMD 和TLD 組成的新型減振器，并推導(dǎo)了該系統(tǒng)的阻尼比計算公式[17]；Tsao 等[18]提出一種填充多孔介質(zhì)的新型TLD 系統(tǒng)，建立其等效的力學(xué)系統(tǒng)，并推導(dǎo)出其對應(yīng)的阻尼比計算方法，與經(jīng)驗計算公式相比，該阻尼比計算方法更具為簡便。以往研究者基本上均是單獨采用能量耗散原理或虛功原理方法推導(dǎo)水箱系統(tǒng)的阻尼比估算公式，但對于此兩種研究方法間的區(qū)別與聯(lián)系還少有學(xué)者進行過研究，同時激頻比也是影響水箱系統(tǒng)阻尼比的一個重要參數(shù)，不能忽略。

基于此本文以某一矩形水箱為研究對象，假定水箱受到的底部外加激勵為正弦位移(加速度)激勵，利用能量耗散原理和虛功原理兩種方法，分別推導(dǎo)了底部安裝有多塊垂直擋板和左右側(cè)壁安裝有多組水平擋板的矩形水箱線性阻尼比估算公式，并與已有的實驗結(jié)果進行對比分析，還分析了激頻比對水箱系統(tǒng)阻尼比的影響。

1 基本理論

1.1 流體勢流理論

假定水是不可壓縮、無粘性及無旋運動的理想流體，則由流體力學(xué)[19]可知，水箱內(nèi)液體的速度勢函數(shù)φ(x,y,z,t)滿足拉普拉斯方程：

忽略y方向，只考慮x、z兩個方向的二維矩形水箱，如圖1 所示。水的運動需滿足如下邊界條件：

圖1 二維矩形水箱 Fig.1 2-D rectangular water tank

水箱左右側(cè)壁(x=0，x=L)：

式中， ( , , )u x z t為水的水平運動速度。

水箱底部(z=-h)：

式中，w(x,z,t)為水的豎向運動速度。

對于自由液面的線性化邊界層條件為：

聯(lián)立方程組式(1)～式(4)，滿足上述邊界條件的速度勢函數(shù)可以表示為：

1.2 擋板的阻力計算

當水箱受到外部激勵作用時，水箱水會產(chǎn)生晃動，根據(jù)Morison[20]公式，水箱內(nèi)的擋板dz段所受到的阻力dF部分可表示為：

式中：vri(x,z,t)表示為流向擋板的水平入射速度或垂直入射速度；ρ為水的密度；DC表示為擋板的阻力系數(shù)，可表示為[12]：

式中：Vrm為vri(x,z,t)的最大值；T為水箱的晃蕩周期；lb為擋板的高度。

2 底部安裝有垂直擋板的矩形水箱 系統(tǒng)阻尼比分析

只考慮x、z兩個方向的維度，對于如圖2 所示的僅在底部安裝有多塊垂直擋板的矩形水箱，在以下推導(dǎo)過程中，假定液體是線性運動且只考慮一階模態(tài)，并忽略擋板對矩形水箱固有頻率的影響。

圖2 底部安裝有垂直擋板的矩形水箱 Fig.2 Rectangular water tank with vertical baffles

2.1 虛功原理

只考慮矩形水箱的一階晃動模態(tài)，把式(5)代入 式(7)，則單塊擋板上dz段的阻力dVDiF可表示為：

對速度勢函數(shù)進行積分，則廣義虛水平位移1qδ可表示為：

假定水箱底部安裝有n塊高度為lb的垂直擋板，則作用在所有擋板上阻力所做的虛功為Wδ：

把式(10)、式(11)代入式(12)得：

式中，VnQ為：

式中，VΔ 、VnΘ分別為：

對式(15)進一步化簡得：

式(14)表示非線性阻尼力，可通過求得與等效線性阻尼力的最小誤差來用廣義的線性阻尼力代替，非線性與線性阻尼力的誤差ε可以表示為[21]：

最小誤差應(yīng)滿足：

式中，E( )表示期望值，對該式進一步化簡，可得廣義線性化阻尼：

水箱在正弦激勵作用下，線性的廣義阻尼可進一步表示為：

式中，q為液體一階晃動模態(tài)下的廣義波高幅值。則線性化的廣義阻尼比表示為：

Tait[22]等把水箱內(nèi)的液體視為等效質(zhì)量塊，建立了等效線性化的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，如圖3 所示。該系統(tǒng)在一階模態(tài)下，運動方程為：

式中：X˙˙表示水箱底部外加激勵的加速度；rx表示等效質(zhì)量塊相對于水箱的位移，其等效質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度分別表示為式(24)～式(26)[7]：

圖3 水箱TLD 等效力學(xué)模型 Fig.3 Equivalent mechanical model of a TLD system

式(26)中，1ω為水箱一階固有頻率：

對式(23)進行化簡得：

矩形水箱的等效阻尼比可表示為[23]：

式中，Γ為模態(tài)參與因子，可表示為[17]：

基于虛功原理，可得到底部安裝垂直擋板的矩形水箱的線性阻尼比 eqVξ計算公式，即：

式中，x0為矩形水箱對應(yīng)的等效線性模型的相對水平位移幅值，可表示為式(33)[14]：

式中，X0為底部正弦激勵的位移幅值。

2.2 能量耗散原理

為便于計算矩形水箱的能量耗散率，假設(shè)水箱底部無外部激勵時，單塊擋板以速度uri(x,z,t)在四周靜止的液體中做周期為T的振蕩運動，則單塊擋板所做的功ViW為：

若矩形水箱底部垂直安裝有n(n= 1,2,…) 塊擋板，則一個振蕩周期T內(nèi)水箱系統(tǒng)的能量耗散率DBV等于所有擋板做的功除以T[12]，即：

擋板對于箱內(nèi)液體的相對水平速度可表示為：

式中，A0為水箱側(cè)壁的最大波高幅值。把式(36)代入式(35)中，得：

分別再對式(39)和式(40)進一步化簡得：

在水箱內(nèi)，能量耗散率DBV等于液體動能和勢能的衰減速率E-˙[12]，即：

式中，E為動能和勢能的總和，對于二維的矩形水箱且液體流動是線性的，則可表示為[12]：

另 1=ω ω，可得到底部安裝有垂直擋板的矩形水箱線性阻尼比Vξ計算公式，即：

3 側(cè)壁上安裝有水平擋板的矩形 水箱系統(tǒng)阻尼比分析

只考慮x、z兩個方向的維度，對于側(cè)壁安裝有多塊水平擋板的矩形水箱，如圖4 所示。以下推導(dǎo)過程中，假設(shè)的條件與僅有垂直擋板的情形一致。

圖4 側(cè)壁安裝水平擋板的矩形水箱 Fig.4 Rectangular water tank with horizontal baffles

3.1 虛功原理

把上一節(jié)矩形水箱底部安裝有垂直擋板的阻尼比推導(dǎo)方式，推廣到水箱側(cè)壁上安裝有水平擋板的工況，則擋板上dx段的阻力dHDiF可表示為：

對速度勢函數(shù)進行積分，則廣義虛水平位移1qδ可為：

若水箱左右側(cè)壁對稱安裝有2n(n= 1,2,… ) 塊水平擋板，則所有阻力所做的虛功δW為：

把式(46)～式(47)代入式(48)得：

式(49)中，HnQ為：

式(50)中HΔ 、HnΞ分別為：

當矩形水箱底部受到正弦激勵時，與帶垂直擋板工況的推導(dǎo)方法類似，用廣義線性化阻尼力來代替非線性阻尼力，最后得到矩形水箱左右側(cè)壁對稱安裝水平2n(n= 1,2,…) 塊擋板的線性阻尼比ξHeq計算公式：

3.2 能量耗散原理

同理，把底部安裝垂直擋板的矩形水箱阻尼比推導(dǎo)方法，推廣到側(cè)壁安裝有水平擋板，若水箱左右側(cè)壁對稱安裝有2n(n= 1,2,…) 塊水平擋板，則所有擋板在一個振蕩周期T內(nèi)的能量耗散率DBH可以表示為[3]：

擋板對于箱內(nèi)液體的相對垂直速度wri(x,z i,t)可表示為：

把式(54)代入式(55)中，得：

在水箱內(nèi)，能量耗散率DBH等于液體動能和勢能的衰減速率E-˙[12]，即：

另ω=ω1，則矩形水箱左右側(cè)壁對稱安裝有2n(n= 1,2,…) 塊水平擋板的線性阻尼比ξH計算公式可化簡為：

4 結(jié)果分析

由上述的推導(dǎo)結(jié)果可知，當矩形水箱受到正弦激勵時，利用能量耗散原理推導(dǎo)的公式中，水箱側(cè)壁的波高幅值A(chǔ)0是影響阻尼比大小的其中一個主要因素，而利用虛功原理推導(dǎo)的公式中，沒有體現(xiàn)出側(cè)壁波高幅值的影響，取而代之的是矩形水箱等效線性模型的相對水平位移幅值x0，而x0又與外激勵幅值X0有關(guān)。為進一步分析兩種方法的差異性，引入矩形水箱等效線性模型的相對水平位移xr與液體波高q的關(guān)系式[16]：

若已知水箱側(cè)壁波高幅值A(chǔ)0，則由式(62)進一步得到x0，即：

把式(63)代入式(31)化簡得到：

同樣，把式(63)代入式(53)進行化簡可得到：

可見通過以上的化簡，式(64)與式(45)一致，式(65)與式(53)一致，即利用能量耗散原理推導(dǎo)的公式與利用虛功原理推導(dǎo)的公式具有一致性。所以，若已知作用在水箱底部的外加位移激勵幅值X0，直接利用虛功原理推導(dǎo)的公式來計算矩形水箱的線性阻尼比會更加方便，若由實驗直接測得水箱側(cè)壁的波高幅值A(chǔ)0，利用能量耗散原理推導(dǎo)的公式來計算矩形水箱的線性阻尼比會更加簡便。但是需要注意的是，從利用能量法推導(dǎo)的計算公式來看，阻尼比的大小沒有直接體現(xiàn)出與激頻比的關(guān)系，而隱含在波高幅值A(chǔ)0中，而利用虛功原理將TLD 等效線性化后推導(dǎo)的阻尼比計算公式卻能直接通過x0體現(xiàn)出與激頻比的關(guān)系。

當擋板的尺寸較小時，由擋板所產(chǎn)生的阻尼也比較小，在此種情況下則不能忽略水的粘性阻尼影響，此時僅由水產(chǎn)生的阻尼比計算公式為[24]：

式中：ν為水的粘度性系數(shù)；b為水箱的寬度；SC為水的表面光滑因子，通常取1。

4.1 實驗結(jié)果對比

為進一步驗證本文所推導(dǎo)的公式的準確性與否，本小節(jié)將與Isaacson[11]測得的實驗結(jié)果進行對比。Isaacson 利用振動臺對矩形水箱開展了試驗，如圖5 所示，矩形水箱為有機玻璃制作，被固定在臺面上，當水箱受到荷載激勵時水會發(fā)生晃動，其阻尼比可以通過側(cè)壁處自由液面波高的自由振動衰減曲線計算得到，而水箱側(cè)壁處自由液面的波高則通過波高儀測量得到。

圖5 矩形水箱振動臺實驗圖 Fig.5 View of tank model mounted on shake table

矩形水箱受到的荷載激勵為正弦位移激勵，且激勵頻比μ=1，水箱尺寸為0.5 m×0.5 m×0.5 m，水深比h/L=0.5，側(cè)壁對稱安裝的水平擋板尺寸為lb=40 mm，進行了水平擋板在相對位置為0.6h、0.7h、0.8h的三組實驗；水箱底部安裝的垂直擋板位于L/2 處，進行了垂直擋板高度為0.1h、0.2h、0.3h的三組實驗；對于側(cè)壁對稱安裝水平擋板的水箱，實驗測得的側(cè)壁波高幅值為0.1h，對于水箱底部安裝垂直擋板的水箱，實驗測得的側(cè)壁波高幅值為0.2h，對比結(jié)果如圖6～圖7 所示。

圖6 線性阻尼比隨垂直擋板高度變化的實驗值與 預(yù)測值比較圖(垂直擋板) Fig.6 Variations of predicted and measured linear damping ratios with various relative vertical baffle heights (h/L=0.25)

圖7 隨擋板相對位置變化的線性阻尼比實驗值與 預(yù)測值比較圖(水平擋板) Fig.7 Variations of predicted and measured linear damping ratios with various relative horizontal baffle locations (h/L=0.25 and lb/L=0.08)

由圖6 可知，對于底部安裝有單塊垂直擋板的矩形水箱線性阻尼比，其值隨擋板高度的增大而增大；當垂直擋板相對高度lb/h＜0.35 時，用本文公式估算的值與 Faltinsen 估算的值比較接近，當lb/h＞0.35 時，用本文公式估算的值要大于Faltinsen估算的值，而這兩者值在0.1＜lb/h＜0.5 上都小于Isaacson 估算的值；在lb/h=0.1 處，本文公式估算的值、Isaacson 估算的值與Faltinsen 估算的值基本上與實驗值一致，在lb/h=0.2、lb/h=0.3 處，本文公式估算的值與Faltinsen 估算的值較接近于實驗值，而Isaacson 估算的值要大于實驗值。

由圖7 可知，對于側(cè)壁安裝對稱水平擋板的矩形水箱線性阻尼比，其值隨擋板相對高度位置的增大而增大；當水平擋板位置z＜0.6h時，利用本文公式估算的值、Isaacson 估算的值與Faltinsen 估算的值，三者基本一致。當z＞0.6h時，利用本文公式估算的值要小于Isaacson 與Faltinsen 估算的值；擋板位置z在0.6h處，三者所估算的值基本與實驗值基本一致，但在0.7h、0.8h處，本文公式所估算的值要小于其他兩者的值，而三者的值都要大于實驗值。其主要原因可能是擋板靠近液面時，會出砰擊現(xiàn)象，而使得用線性阻尼比估算的公式會高估矩形水箱的阻尼比。由圖6～圖7 可知，與安裝垂直擋板相比，安裝水平擋板會產(chǎn)生更高的阻尼比。

由上述可知，本文利用能量耗散原理與虛功原理兩種方法，所推導(dǎo)的矩形水箱的線性阻尼比計算公式具有較好的估算效果。

4.2 激頻比對阻尼比的影響

激頻比也是水箱阻尼比的重要影響因素之一，根據(jù)式(31)、式(53)，以下給出不同激頻比作用下矩形水箱的阻尼比值，假定水箱的尺寸為0.5 m× 0.5 m×0.5 m，外激勵為正弦激勵且激勵幅值為20mm，結(jié)果如圖8 所示。

圖8 不同激頻比作用下矩形水箱的線性阻尼比估算值 Fig.8 Variation of predicted normalized damping ratio with various frequency ratios

由圖8 可知，當激頻比μ=1 時，分別安裝有垂直擋板和水平擋板的矩形水箱的線性阻尼比都達到最大值，而在μ=0.9～1.0、μ=1.0～1.1 兩個區(qū)間內(nèi)，阻尼比變化幅度較劇烈，說明激頻比對矩形水箱的阻尼比影響較大，不可忽視，而直接采用激頻比μ=1.0 時的值，很容易高估矩形水箱的阻尼比值。

4.3 能量耗散原理對比

本文在利用能量耗散原理推導(dǎo)矩形水箱的線性阻尼比公式時，采用的方法是借鑒于Faltinsen 的推導(dǎo)方法，但兩者之間又存在一定的差異性，忽略水的粘性阻尼，下面對此進一步分析。

4.3.1 底部安裝有垂直擋板的水箱系統(tǒng)阻尼比

Faltinsen[12]利用能量耗散原理推導(dǎo)了水箱底部安裝有單塊垂直擋板(擋板在x=L/2 位置處)的阻尼比計算公式，表示為：

在Faltinsen 的推導(dǎo)過程中，簡化了擋板z方向上的速度計算方法，并采用z= -h處的速度值代替擋板任意z方向上的速度值。在本文第2.2 小節(jié)，在推導(dǎo)水箱底部安裝有任意塊垂直擋板的矩形水箱的阻尼比過程中，考慮了液體x方向的相對水平速度沿z方向的變化，為比較兩公式之間的差異，令式(64)中x=L/2 則可化簡為：

以下給出兩種方法計算底部安裝有單塊垂直擋板的矩形水箱的歸一化阻尼比隨水深比變化的曲線圖，如圖9 所示。

圖9 矩形水箱底部垂直擋板高度引起的歸一化阻尼比隨水深比變化的比較圖 Fig.9 Variation of normalized damping ratio with various liquid depth ratios and different vertical baffle heights

由圖9 可知：當lb/h位于某一定值時，由圖9(a)～圖9(c)可以看出，采用本文推導(dǎo)的公式估算的系統(tǒng)阻尼比與Faltinsen 估算的值相比，兩者之間的差值與外加激勵的最大波幅無關(guān)；由圖9(d)可知，擋板的高度小于0.2h時，本文推導(dǎo)的公式估算的值與Faltinsen 估算的值基本一致；擋板的高度大于0.2h時，F(xiàn)altinsen 計算的值小于本文計算的值，兩者之間的差值隨lb/h的增大而增大。顯然，當擋板的高度較大時，考慮液體x方向的相對水平速度沿z方向的變化來估算水箱的阻尼比會更加合理。但垂直擋板高度較大時，采用本文公式估算來水箱的線性阻尼比時，還需考慮擋板對水箱最低固有頻率的 影響。

4.3.2 側(cè)壁安裝有水平擋板的水箱系統(tǒng)阻尼比

同樣，F(xiàn)altinsen[12]在推導(dǎo)矩形水箱左右側(cè)壁安裝兩塊水平擋板(擋板在zi=Hbi位置處)的阻尼比計算公式過程中，簡化了擋板x方向上的速度計算方法，并統(tǒng)一采用擋板在x=0 處的速度值代替其沿x方向的變化，最終表示為：

在本文第3.2 小節(jié)中，在推導(dǎo)水箱阻尼比計算公式過程中，考慮了液體z方向的相對速度沿x方向的變化與激頻比的影響，為比較兩公式之間的差異，令式(50)中zi=Hbi則可化簡為：

以下給出兩種方法計算水箱左右側(cè)壁安裝有兩塊水平擋板時，水箱系統(tǒng)對應(yīng)的歸一化阻尼比隨水深比變化的曲線圖，如圖10 所示。

圖10 矩形水箱側(cè)壁水平擋板引起的歸一化阻尼比 隨水深比變化的比較圖 Fig.10 Variation of normalized damping ratio with various liquid depth ratios and different horizontal baffle lengths

由圖10 可知，當lb/L=0.05 時，本文推導(dǎo)的公式計算的值與Faltinsen 計算的值基本一致；當lb/L增大至0.15 時，本文推導(dǎo)的公式計算的值小于Faltinsen 計算的值，兩者之間的差值隨Hb的增大而越來越明顯。顯然，當lb的長度越來越大時，液體z方向的相對速度沿x方向的變化也越來越明顯，進而對水箱的阻尼比影響也越來越大，所以考慮該因素的影響來估算水箱的阻尼比會更加合理。但水平擋板長度較長時，采用本文公式來估算水箱的線性阻尼比時，還需要考慮擋板對水箱最低固有頻率的影響。

5 結(jié)論

通過以上對于內(nèi)置有水平和垂直擋板的矩形水箱受到正弦激勵時的線性阻尼比研究，得到以下結(jié)論：

(1) 對于底部安裝垂直擋板的矩形水箱和左右側(cè)壁安裝對稱水平擋板的矩形水箱，本文分別采用能量耗散原理和虛功原理對其線性阻尼比估算，兩種不同方法推導(dǎo)的結(jié)果具有一致性，且具有較好的估算效果，在利用本文所建議的公式時，可以根據(jù)外加激勵幅值還是水箱側(cè)壁波高幅值為已知條件，來選用相應(yīng)的內(nèi)置有水平和垂直擋板的水箱TLD系統(tǒng)線性阻尼比估算方法；

(2) 在外加激勵和其它條件相同的情況下，水箱側(cè)壁安裝水平擋板同比底部安裝垂直擋板相比，前者可以產(chǎn)生更高的線性附加阻尼比；

(3) 激頻比對矩形水箱的阻尼比影響較大，不可忽視，而直接采用激頻比μ=1 時的值，容易高估矩形水箱的阻尼比值。

(4) 采用能量耗散原理推導(dǎo)矩形水箱的線性阻尼比公式，本文考慮了設(shè)置垂直擋板時液體x方向的相對水平速度沿z方向的變化，或是設(shè)置水平擋板時液體z方向的相對速度沿x方向的變化，以此來估算水箱的線性阻尼比，同F(xiàn)altinsen 的建議公式相比，得到的阻尼比估算結(jié)果更加合理。