樂美龍，鄭文娟，吳明功，王澤坤

（1.南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院，南京211106； 2.空軍工程大學(xué) 空管領(lǐng)航學(xué)院，西安710051；3.國(guó)家空管防相撞技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710051）

隨著航空管制的放松，各個(gè)航空公司都在重建自己的航線網(wǎng)絡(luò)，由點(diǎn)對(duì)點(diǎn)航線網(wǎng)絡(luò)向中樞輻射式航線網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)變。中樞輻射式航線網(wǎng)絡(luò)通過短途匯運(yùn)、分運(yùn)和長(zhǎng)途、大容量轉(zhuǎn)運(yùn)，使得運(yùn)輸成本更低，經(jīng)濟(jì)效益更好。但在構(gòu)建樞紐網(wǎng)絡(luò)時(shí)，始發(fā)地與目的地（OD）需求不確定是困擾航空公司戰(zhàn)略決策的主要原因。研究需求不確定下的樞紐選址與運(yùn)輸路徑規(guī)劃問題能夠幫助航空公司確定最佳的運(yùn)輸方案以應(yīng)對(duì)季節(jié)、市場(chǎng)等因素引起的OD需求波動(dòng)，使其運(yùn)營(yíng)總成本最低。

對(duì)樞紐選址問題的設(shè)計(jì)與優(yōu)化，O’Kelly［1］、Campbell［2］、Skorin-Kapov［3］、Ernst［4］等 建 立 了 經(jīng)典的樞紐航線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型。之后學(xué)者在經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上從樞紐機(jī)場(chǎng)容量限制、機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策、OD需求不確定性等角度做了逐步的推進(jìn)。在樞紐機(jī)場(chǎng)容量限制方面，Yang［5］分別考慮樞紐機(jī)場(chǎng)總流量限制和樞紐機(jī)場(chǎng)中轉(zhuǎn)流量限制，構(gòu)建了2個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，得出了不同容量限制情形下的樞紐選址差異。馮乾等［6］將樞紐選擇和航線設(shè)計(jì)2個(gè)階段綜合考慮，用機(jī)場(chǎng)吞吐量衡量機(jī)場(chǎng)容量限制，提出了機(jī)場(chǎng)容量限制下的多分配樞紐航線網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方法。在機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策方面，Wu等［7-8］將機(jī)場(chǎng)容量看作離散變量，確定不同情形下的樞紐位置和路徑流分配，得出不同容量限制情形下的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)。Correia等［9］在機(jī)場(chǎng)容量限制的基礎(chǔ)上引入樞紐機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策。Zarei［10］在樞紐機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策的基礎(chǔ)上引入樞紐之間的連接方式差異。Seyed等［11］從容量包絡(luò)曲線的角度構(gòu)建了樞紐機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策的混合整數(shù)規(guī)劃模型（MILP）。在OD需求不確定性方面，Yang［12-13］和Chiu［13］考慮隨機(jī)需求，構(gòu)建了兩階段的隨機(jī)規(guī)劃模型，第1階段解決樞紐選址問題，第2階段在第1階段樞紐選擇的基礎(chǔ)上確定不同需求情形下OD之間的路徑和流量分配。Alumur等［14］同時(shí)考慮樞紐建設(shè)成本的不確定性和OD需求的不確定性，分別構(gòu)建了單分配、多分配下的優(yōu)化模型。Qin和Gao［15］、Contreras等［16］研究OD流量不確定情形下樞紐機(jī)場(chǎng)無(wú)容量限制的樞紐選址問題。胡青蜜和胡志華［17］運(yùn)用隨機(jī)規(guī)劃方法研究不確定貨流下的樞紐選址問題。

縱觀國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，對(duì)樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問題從機(jī)場(chǎng)容量限制、機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策和OD需求不確定性方面的研究主要存在以下3點(diǎn)不足：①現(xiàn)有研究主要從整個(gè)航空運(yùn)輸市場(chǎng)的角度考慮，但實(shí)際規(guī)劃航線網(wǎng)絡(luò)布局的是航空公司；②現(xiàn)有研究在確定樞紐機(jī)場(chǎng)容量時(shí)以機(jī)場(chǎng)的最大吞吐量作為容量，但是樞紐機(jī)場(chǎng)容量受多種因素影響，不同的時(shí)期容量可能不同；③現(xiàn)有研究在樞紐容量決策和OD需求不確定性方面獨(dú)立研究。研究OD需求不確定性時(shí)，未考慮樞紐機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策，在對(duì)樞紐機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策研究時(shí)未考慮季節(jié)、時(shí)期等因素造成的OD需求不確定性。

本文從航空公司的角度出發(fā)，在機(jī)場(chǎng)容量一定的情況下，確定航空公司選擇樞紐機(jī)場(chǎng)的最優(yōu)所占份額。對(duì)樞紐機(jī)場(chǎng)總?cè)萘克降拇_定，為了更切合實(shí)際，將機(jī)場(chǎng)容量看作離港和到港航班的函數(shù)，運(yùn)用歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線。同時(shí)考慮OD需求的不確定性，構(gòu)建航空公司樞紐選址問題的多分配、非嚴(yán)格的兩階段混合整數(shù)隨機(jī)規(guī)劃模型，并運(yùn)用實(shí)際航空公司數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1 機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線

樞紐機(jī)場(chǎng)的實(shí)際容量與天氣、機(jī)場(chǎng)空域構(gòu)型、跑道構(gòu)型及數(shù)量、?？康暮桨囝悇e等多種因素有關(guān)。學(xué)者通常情況下根據(jù)歷史數(shù)據(jù)將進(jìn)離港航班之和的最大值表示為單位時(shí)間內(nèi)樞紐機(jī)場(chǎng)的容量。對(duì)于一個(gè)真實(shí)的航線網(wǎng)絡(luò)，實(shí)際容量比理論容量更加精確。單位時(shí)間內(nèi)的機(jī)場(chǎng)容量應(yīng)該表示為到港和離港航班數(shù)量的函數(shù)，而不是一個(gè)常數(shù)。這些函數(shù)是對(duì)歷史數(shù)據(jù)形成的全部觀測(cè)值的包絡(luò)，從而構(gòu)成了機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線。

機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線根據(jù)一段時(shí)間內(nèi)（1 h）的到達(dá)和離開的實(shí)際航班數(shù)量進(jìn)行繪制。橫軸表示到港航班數(shù)量，縱軸表示離港航班數(shù)量。一般情況下運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法去除低頻率的觀測(cè)值，通過拒絕一定比例的觀測(cè)頻率來(lái)繪制正確的樞紐機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線。如圖1（a）所示，曲線1表示基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)觀測(cè)到的機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線；曲線2表示修正后的機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線。圖1（b）中，y1、y2、y3共同構(gòu)成了機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線。

圖1 機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線案例Fig.1 Example of airport capacity envelope curves

2 模型提出

本文采用有向圖建模。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，包括始發(fā)地、目的地和潛在樞紐。非樞紐節(jié)點(diǎn)之間既能中轉(zhuǎn)也能直達(dá)運(yùn)輸。一個(gè)非樞紐節(jié)點(diǎn)可以連接多個(gè)樞紐點(diǎn)，并且規(guī)定兩個(gè)非樞紐節(jié)點(diǎn)之間最多實(shí)現(xiàn)兩次中轉(zhuǎn)。

從航空公司樞紐選址問題的角度出發(fā)，基于機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線，考慮航空公司在樞紐機(jī)場(chǎng)的容量多水平?jīng)Q策，以及OD需求的不確定性，構(gòu)建兩階段的隨機(jī)規(guī)劃模型。本文將需求的不確定性表示為隨機(jī)變量。第1階段以總的網(wǎng)絡(luò)運(yùn)輸成本最低來(lái)確定樞紐的位置，第2階段在第1階段樞紐選址結(jié)果的基礎(chǔ)上確定不同需求的運(yùn)輸路徑和路徑上的流量分配。

2.1 模型參數(shù)及變量

2.1.1 模型參數(shù)

2.2 兩階段模型

樞紐建設(shè)是一個(gè)長(zhǎng)期且耗資的工程，由季節(jié)、時(shí)期等因素引起的需求不確定性對(duì)樞紐節(jié)點(diǎn)的選擇不產(chǎn)生影響。因此第1階段模型中的變量Xtk不受需求不確定性的影響，第2階段變量Zij（ω）、Zikmj（ω）取決于需求的不同情形。Z為目標(biāo)函數(shù)值。

1）第1階段

第2階段模型表示每種情形ω下的路徑?jīng)Q策和流量分配決策。式（4）表示情形ω下所有OD中轉(zhuǎn)和直達(dá)的總成本最小。式（5）確保OD之間的需求必須得到滿足。式（6）～式（8）表示流變量之間的關(guān)系。其中式（6）、式（7）表示當(dāng)節(jié)點(diǎn)k被選作樞紐時(shí)，流經(jīng)節(jié)點(diǎn)k的運(yùn)輸應(yīng)被看作中轉(zhuǎn)運(yùn)輸；式（8）表示當(dāng)節(jié)點(diǎn)k、m都是樞紐時(shí)，k和m之間的運(yùn)輸應(yīng)被看作中轉(zhuǎn)運(yùn)輸。式（9）表示當(dāng)節(jié)點(diǎn)k不是樞紐時(shí)，經(jīng)節(jié)點(diǎn)k中轉(zhuǎn)的流量為0。式（10）表示流出節(jié)點(diǎn)k的流平衡約束。式（11）表示流入節(jié)點(diǎn)k的流平衡約束。式（12）表示容量約束，流經(jīng)節(jié)點(diǎn)k的流量應(yīng)小于節(jié)點(diǎn)k的容量。式（13）～式（15）表示變量域的限制。

針對(duì)需求不確定下樞紐選址和運(yùn)輸路徑規(guī)劃問題所構(gòu)建的模型是一個(gè)兩階段模型，需要采用迭代算法求解。假設(shè)需求情形ω是離散變量，具有有限種可能的情形，每種情形以一定的概率發(fā)生。則兩階段的隨機(jī)規(guī)劃模型可以被寫為確定的等價(jià)規(guī)劃（Deterministic Equivalent Programming，DEP），如式（16）～式（29）所示。各式的含義等同于兩階段的隨機(jī)規(guī)劃模型。

在上述模型中，情形ω下路徑的單位旅客運(yùn)輸成本表示為

式（30）表明在HS網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)于每種需求情形ω，節(jié)點(diǎn)i和j之間的整個(gè)運(yùn)輸成本包括匯運(yùn)、轉(zhuǎn)運(yùn)、分運(yùn)三部分。由于規(guī)模經(jīng)濟(jì)性的存在，隨著路徑流量的增加（h1增加至h4），單位運(yùn)輸成本逐漸降低，如圖2所示。

圖2 運(yùn)輸成本的規(guī)模經(jīng)濟(jì)函數(shù)Fig.2 Scale economy function of transport cost

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)輸入

為了驗(yàn)證模型的有效性，本文以東航為例，選擇13個(gè)主要省會(huì)機(jī)場(chǎng)研究航空公司樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問題。根據(jù)2016、2017兩年的進(jìn)離港航班數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)單位小時(shí)內(nèi)的進(jìn)離港航班數(shù)量如圖3所示（以西安機(jī)場(chǎng)為例）。為了獲得機(jī)場(chǎng)的年旅客容量，設(shè)機(jī)場(chǎng)的日開放小時(shí)為18 h，每航班的平均旅客數(shù)為180，則以旅客數(shù)表示的機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線如圖4所示。

13個(gè)機(jī)場(chǎng)旅客容量包絡(luò)曲線的系數(shù)如表1所示。

在13個(gè)機(jī)場(chǎng)中，任意兩個(gè)OD之間的需求，根據(jù)2017年實(shí)際運(yùn)力乘以行業(yè)航線平均客座率估算。運(yùn)力數(shù)據(jù)源于OAG（Official AirlineGuide），客座率數(shù)據(jù)源于飛常準(zhǔn)。東航在某些沒有運(yùn)力部署的OD上需求設(shè)為0。

圖3 西安機(jī)場(chǎng)單位小時(shí)進(jìn)離港航班數(shù)Fig.3 Number of arrival and departure flights per hour at Xi’an Airport

圖4 西安機(jī)場(chǎng)旅客容量包絡(luò)曲線Fig.4 Envelope curve of passenger capacity of Xi’an Airport

本文對(duì)需求不同的考慮，只要根據(jù)航空公司的實(shí)際做法，即如何應(yīng)對(duì)旺、平、淡季，在文中對(duì)應(yīng)設(shè)立了高、中、低3個(gè)不同的需求場(chǎng)景。平季需求，即基準(zhǔn)需求hij，采用OAG數(shù)據(jù)計(jì)算；高低等級(jí)需求按深航博士后創(chuàng)新實(shí)踐基地研究，設(shè)為1.14hij和0.87hij。根據(jù)基地的研究，需求發(fā)生的概率由高等級(jí)至低等級(jí)依次為0.371、0.488和0.141。

根據(jù)OAG數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出，東航在任意主協(xié)調(diào)機(jī)場(chǎng)的運(yùn)力份額不超過20%，因此將航空公司在每個(gè)潛在樞紐機(jī)場(chǎng)能夠得到的容量情形設(shè)置為機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線最大值的5%、10%、15% 和20%。樞紐機(jī)場(chǎng)的建設(shè)成本與容量情形有關(guān)，用式（31）表示：

式中：ρk為一個(gè)常量參數(shù)，與機(jī)場(chǎng)的規(guī)模經(jīng)濟(jì)效應(yīng)有關(guān)。當(dāng)ρk＞1時(shí)表示機(jī)場(chǎng)繁忙，航空公司增加在機(jī)場(chǎng)的容量份額就得付出更高的單位容量建設(shè)成本；當(dāng)ρk＜1時(shí)表示機(jī)場(chǎng)不是繁忙機(jī)場(chǎng)，增加容量能夠減少樞紐機(jī)場(chǎng)的單位容量建設(shè)成本。本文定義主協(xié)調(diào)機(jī)場(chǎng)SZX、XIY、URC、CSX、WUH、CTU、PVG、NKG、PEK、KMG為繁忙機(jī)場(chǎng)，設(shè)ρk＝1.1；其余機(jī)場(chǎng)為非繁忙機(jī)場(chǎng)，設(shè)ρk＝0.9。根據(jù)東航2017年公司年報(bào)，推斷的樞紐機(jī)場(chǎng)建設(shè)成本如表2所示。

假設(shè)每位旅客的單位運(yùn)輸成本相同，則任意2個(gè)OD之間的運(yùn)輸成本與航線距離成正比，因此用航線距離來(lái)計(jì)算其運(yùn)輸成本。

表1 機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線系數(shù)Tab le 1 Airport capacity envelope curve coefficient

為驗(yàn)證折扣因子的靈敏度，計(jì)算3組不同折扣因子取值下的優(yōu)化模型，取α＝γ。根據(jù)Yang［12］的研究結(jié)果，α和γ的范圍為0.7～0.9，β的范圍為0.6～0.8。同時(shí)考慮網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模效應(yīng)，OD需求越大，成本折扣越大。折扣因子的取值見表3。

表2 不同容量情形下的樞紐建設(shè)成本Tab le 2 Hub construction cost under different capacity scenarios 107元

表3 不同需求情形下的折扣因子Table 3 Discount factors for different dem and scenarios

3.2 結(jié)果展示

運(yùn)用MATLAB求解DEP模型，得到不同折扣因子情形下的樞紐選址結(jié)果如表4所示。

通過對(duì)結(jié)果中的流變量值進(jìn)行分析，繪制了不同需求情形、不同折扣因子情形下的航空公司航線網(wǎng)絡(luò)，如圖5所示。圖中的黑圓點(diǎn)表示不同折扣因子情形下的樞紐點(diǎn)。

表4 折扣靈敏度下的樞紐選址結(jié)果Tab le 4 Resu lts of hub location under discount sensitivity

圖5 不同需求和折扣因子情形下的航線網(wǎng)絡(luò)布局Fig.5 Route network layout with different demand scenarios and different discount factors

由圖5可以看出，在折扣因子情形1下，由于折扣較小，折扣不足以抵消樞紐的建設(shè)成本，模型得出的網(wǎng)絡(luò)是完全的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，任意2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間直達(dá)運(yùn)輸。在折扣因子情形2下，選擇XIY、PVG作為樞紐，選擇的容量水平分別是10%、5%，網(wǎng)絡(luò)中一部分OD直達(dá)運(yùn)輸，一部分OD通過樞紐中轉(zhuǎn)運(yùn)輸。不同OD需求情形下的網(wǎng)絡(luò)間存在較小的差異，隨著需求的下降，原本直達(dá)或通過浦東機(jī)場(chǎng)中轉(zhuǎn)運(yùn)輸?shù)腛D轉(zhuǎn)向西安中轉(zhuǎn)，這是因?yàn)橹修D(zhuǎn)和直達(dá)2種運(yùn)輸方式的成本存在差異，當(dāng)受到中轉(zhuǎn)成本最低的樞紐機(jī)場(chǎng)容量限制時(shí)，一些OD轉(zhuǎn)向成本次低的路徑運(yùn)輸，需求高的時(shí)候這種現(xiàn)象更加顯著。在折扣因子情形3下，選擇XIY、PVG、KMG 3個(gè)機(jī)場(chǎng)作為樞紐，選擇的容量水平分別是10%、5%、10%。隨著OD需求的變化，網(wǎng)絡(luò)間的差異與折扣因子情形2下的變化趨勢(shì)相同。

表5、表6分別列出了折扣因子情形2和折扣因子情形3下，不同OD需求情形下需要中轉(zhuǎn)的OD、中轉(zhuǎn)點(diǎn)和路徑流比例，表中來(lái)回運(yùn)輸路徑相同的城市之間只列一個(gè)OD。從表5、表6可以再次看出不同需求情形下OD 的中轉(zhuǎn)差異。表5中的KMG-SHE、KMG-TYN、SZX-TYN，表6中的WUH-SHE、PVG-URC、CTU-WUH、SZX-NKG都選擇了2條路徑，這是由于目標(biāo)函數(shù)是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)總成本最小，不同容量的樞紐建設(shè)成本不同，模型會(huì)選擇使得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)總成本最小的樞紐容量，因此這些OD會(huì)選擇成本最低的路徑運(yùn)送一部分流量，剩余流量選擇次低成本的路徑運(yùn)輸。

表5 折扣因子情形2下的中轉(zhuǎn)情況Tab le 5 Transit in discount factor Case 2

表6 折扣因子情形3下的中轉(zhuǎn)情況Tab le 6 Transit in discoun t factor Case 3

與隨機(jī)規(guī)劃模型相對(duì)應(yīng)的是傳統(tǒng)的確定性模型。傳統(tǒng)的確定性模型包含2類：

1）若每種需求情形發(fā)生的概率為1，將3種需求情形分別代到確定性模型中單獨(dú)求解，得到3種不同的解，將這個(gè)解按照本文中的概率分布加權(quán)求和，即期望最優(yōu)成本。但每一種情形下求得的樞紐選擇可能不同，樞紐選擇是航空公司的戰(zhàn)略選擇，較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)隨需求而變。

2）不同需求以一定概率發(fā)生，求得3種需求的期望值，將這一期望需求作為平均需求代入確定性模型可以得到一個(gè)最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)成本。

這2種模型，第1種成本上占優(yōu)，但是若要達(dá)到最優(yōu)成本，必須要視需求變動(dòng)樞紐選擇，對(duì)公司長(zhǎng)期發(fā)展不利。因此本文中比對(duì)第2種確定性模型和DEP模型之間的成本和樞紐選擇的差異，如圖6所示。圖中虛線上的樞紐表示確定需求下的選擇，實(shí)線上的樞紐表示不確定需求下的選擇，可以看出當(dāng)折扣因子相同時(shí)，需求確定和不確定兩種情況下樞紐選址結(jié)果存在差異，且不確定需求下的網(wǎng)絡(luò)總成本更低。

圖6 需求不確定和確定下的結(jié)果差異Fig.6 Differences in results under uncertain and certain demand

4 結(jié) 論

1）從航空公司的角度出發(fā)研究樞紐航線網(wǎng)絡(luò)的選址問題，考慮OD需求的隨機(jī)性和樞紐機(jī)場(chǎng)容量多水平?jīng)Q策，基于機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線，構(gòu)建了隨機(jī)需求下有容量限制的多分配、非嚴(yán)格的兩階段混合整數(shù)隨機(jī)規(guī)劃模型，并將兩階段模型轉(zhuǎn)化為確定的等價(jià)規(guī)劃。

2）在考慮機(jī)場(chǎng)容量限制時(shí)，為了讓模型更加貼近實(shí)際，將機(jī)場(chǎng)的容量表示為到港和離港航班的函數(shù)，繪制機(jī)場(chǎng)容量包絡(luò)曲線，獲得樞紐機(jī)場(chǎng)的容量限制。

3）對(duì)運(yùn)輸成本折扣因子進(jìn)行靈敏度分析，結(jié)果表明在不同的折扣因子情形下選擇的樞紐機(jī)場(chǎng)不同，折扣越大，選擇的樞紐越多，網(wǎng)絡(luò)總成本越低。當(dāng)折扣因子一定、需求不同時(shí)，OD的運(yùn)輸路徑有所差異，流量分配也不同。

4）通過對(duì)比需求確定和不確定下的結(jié)果差異，得出需求不確定下的網(wǎng)絡(luò)總成本更低。說明隨機(jī)規(guī)劃模型更能適應(yīng)航空公司的發(fā)展需求，幫助航空公司規(guī)劃布局航線網(wǎng)絡(luò)。