李文智， 薛亞奎

(中北大學 理學院，山西 太原 030051)

1 引 言

縱觀人類歷史，傳染病一直是危害人類生存與發(fā)展的巨大挑戰(zhàn).目前，人類對于傳染病的預防以及治療都有了很大的進步，但傳染病的突發(fā)性是不可預測的，所以仍要保持高度警惕.對于某些傳染病而言，易感者中會存在患病風險更高的職業(yè)，這類人群就是傳染病的高危人群.如非典時期，一線的醫(yī)護人員就是一類高危人群[1]；又如在布魯氏菌病的傳播中，獸醫(yī)也是易受感染的高危險人群[2].

1927年Kermack和Mckendrick提出了用動力學方法來研究流行病的傳播[3].此后，根據(jù)流行病的特點，建立不同的數(shù)學模型，再現(xiàn)疾病流行的規(guī)律，為疾病流行狀況的預測和防治策略提出了理論依據(jù)[4-7].近年來，許多作者研究了常微分方程的流行病學模型，這些系統(tǒng)的重要研究主題是閾值的存在(該閾值可區(qū)分傳染病是否會消亡)，無病平衡點和地方平衡點的局部和全局穩(wěn)定性，周期解的存在，持久性和疾病的滅絕[8-11].由于易感者中存在某些特定職業(yè)的高危人群，因此通過將易感人群分類來建立數(shù)學模型，可以更好地分析某些傳染病的流行規(guī)律.本文劃分易感者中的高危人群和低危人群，且考慮患者存在接受醫(yī)院治療或通過體內(nèi)抗體等因素自然抵抗疾病的情況，研究在飽和治療率內(nèi)的醫(yī)院治療對于疾病傳播控制的影響.

2 模型的建立

通過對易感者分類為高危人群和低危人群，把疾病流行區(qū)域的人口總數(shù)N(t)分為五類：高危易感者S1(t)、低危易感者S2(t)、潛伏者E(t)、感染者I(t)和恢復者R(t)，所以

N(t)=S1(t)+S2(t)+E(t)+I(t)+R(t)

建立的傳染病模型為

(1)

由于模型(1)的其他方程均不含有R,所以只需要以下的子系統(tǒng)

(2)

其中Λ表示人群的輸入率；μ表示人類的自然死亡率；β1表示低危易感者與染病者接觸的感染率；β2表示高危易感者與染病后死亡者接觸的感染率；σ表示低危易感者轉(zhuǎn)換為高危易感者的轉(zhuǎn)化率；δ表示高危易感者轉(zhuǎn)換為低危易感者的轉(zhuǎn)化率；ε表示潛伏期的爆發(fā)率；γ表示染病者的自然恢復率；α表示感染者的因病死亡率；k為治愈率，一般k>0.

3 基本再生數(shù)和平衡點存在性

(3)

εE*-αI*-μI*-γI*-kI*=0

整理求得

P(I*)=AI*2+BI*+C=0

其中

則可得下列關(guān)于平衡點的存在性的結(jié)果：

1)若R0>1(此時C<0)，則模型存在唯一的地方病平衡點；

2)若R0>1,且B<0,則模型存在兩個地方病平衡點；

3)若B<0,且R0=1時，模型存在唯一的地方病平衡點.

4 平衡點的穩(wěn)定性

定理4.1 如果R0<1,模型(2)的無病平衡點P0在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的；如果R0>1,無病平衡點P0是不穩(wěn)定的.

證明：模型(2)在無病平衡點P0處的線性化系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

對應的特征方程為：

其他根的特征方程簡記為

其中

由此可得，當R0<1時，λ3和λ4都為負，系統(tǒng)(2)在無病平衡點P0處是局部漸近穩(wěn)定的；當R0>1時，解存在正根，系統(tǒng)(2)的無病平衡點不穩(wěn)定.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對V關(guān)于模型(2)求導：

系統(tǒng)(2)在無病平衡點處可知

定理4.2 如果R0>1,系統(tǒng)(2)的地方病平衡點P*在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明：模型(2)在地方病平衡點P*=(S*,E*,I*,D*)處的線性化系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

特征方程簡記為λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0,地方病平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的，當且僅當特征方程的所有特征根具有負實部，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，若Hk>0,特征方程的所有特征根均具有負實部.

其中

a1=(β1I*+σ+μ)+(β2I*+δ+μ)+(ε+μ)+(α+μ+γ+k)

a2=(α+μ+γ+k)(ε+μ)+(α+μ+γ+k)(β1I*+σ+μ)+(α+μ+γ+k)(β2I*+δ+μ)+

(ε+μ)(β1I*+σ+μ)+(ε+μ)(β2I*+δ+μ)+(β1I*+σ+μ)(β2I*+δ+μ)-δσ-

a3=(β1I*+σ+μ)(ε+μ)(α+μ+γ+k)+(α+μ+γ+k)(β2I*+δ+μ)(ε+μ)+

(α+μ+γ)(β1I*+σ+μ)(β2I*+δ+μ)+(ε+μ)(β1I*+σ+μ)(β2I*+δ+μ)-

με(β1S1*+β2S2*)-εβ1S1*(β2I*+δ+μ)-εβ2S2*(β1I*+σ+μ)-

(α+μ+γ+k)δσ-(ε+μ)δσ

a4=(α+μ+γ+k)(β1I*+σ+μ)(ε+μ)(β2I*+δ+μ)-δσ(α+μ+γ+k)(ε+μ)-

通過計算可知

因此R0>1時，系統(tǒng)的地方病平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

當f(z)=z-1-lnz,z∈R+,當且僅當z=1時f(z)=0

對L關(guān)于模型(2)求導得：

則通過替換可求得：

5 數(shù)值模擬和討論

運用軟件MATLAB進行數(shù)值模擬，考慮不同的醫(yī)院治愈率在平衡點處的穩(wěn)定性，且醫(yī)院治愈率在飽和治愈率內(nèi)，則有以下情形.

(a)k=0.3 (b)k=0.6

圖1 參數(shù)k對無病平衡點處穩(wěn)定性的影響

Fig.1 The effect of parameterkon the stability of disease-free equilibrium point

圖1中，(a)為取參數(shù)Λ=10,σ=0.01,α=0.25,γ=0.05,β1=0.005,β2=0.015,μ=0.05,ε=0.02，k=0.3,δ=0.005,無病平衡點P0在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.通過改變醫(yī)療治愈率(飽和治愈率內(nèi))， 研究其對穩(wěn)定性的影響.(b)為改變醫(yī)療治愈率，k=0.6,無病平衡點P0在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，R0隨著醫(yī)療治愈率的增加而減小，疾病趨于消亡的時間也相應地縮短.

(a)k=0.3 (b)k=0.6

圖2 參數(shù)k對地方病平衡點處穩(wěn)定性的影響

Fig.2 The effect of parameterkon the stability of endemic equilibrium point

圖2中，(a)為取參數(shù)Λ=50,σ=0.01,α=0.25,γ=0.05,β1=0.005,β2=0.015,μ=0.05,ε=0.02，k=0.3,δ=0.005,地方病平衡點P*是全局漸近穩(wěn)定的.同樣通過改變醫(yī)療治愈率影響因子，來探討其對傳染病的影響效果.(b)為改變醫(yī)療治愈率，k=0.6,地方病平衡點P0在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，R0隨著醫(yī)療治愈率的增加而減小，疾病趨于穩(wěn)定的時間也相應縮短.

6 結(jié) 語

建立了易感者分為高危人群和低危人群的模型，分析其平衡點的存在性和穩(wěn)定性，通過第二代生成矩陣的方法得到了疾病能否流行的閾值R0,通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，并運用Lassalle不變性原理，得到以下的兩個結(jié)論：其一是發(fā)現(xiàn)病毒能否得到有效控制主要由基本再生數(shù)R0決定，而提高醫(yī)療治愈率是控制病毒爆發(fā)的有效途徑，從模型的計算中可以得到如果R0<1,無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的；如果R0>1,地方病平衡點P*是全局漸近穩(wěn)定的，并通過數(shù)值模擬，驗證了模型的穩(wěn)定性；其二是提高醫(yī)院的醫(yī)療設(shè)備率，增大對醫(yī)療機構(gòu)的投資，對床位以及資源設(shè)施的完善，并且通過政府的宣傳，加大高危工作人員的防護措施，減少發(fā)病率，從而減少大規(guī)模的感染發(fā)生.因此，研究具有不同易感人群的傳染病模型對于預測和控制傳染病的流行都有重要的理論價值和實際意義.