王登峰，姚舒越，焦仲科，姚 鑫，李 由

0 引 言

在航天科技飛速進步發(fā)展以及科技工作者的一系列實踐過程中，人類對于衛(wèi)星的姿態(tài)跟蹤控制問題給予廣泛的關(guān)注和研究.其中，應(yīng)用PD控制方法解決上述問題已發(fā)展為業(yè)界較為成熟且一般化的手段.PD控制律最早是由WIE等[1-2]在解決航天器的姿態(tài)跟蹤控制問題時提出的.同時，WIE總結(jié)了一些相關(guān)的Lyapunov函數(shù)并且總結(jié)了普適的穩(wěn)定性證明方法.而在最近，針對衛(wèi)星姿態(tài)控制問題，JAMES[3]提出一種對PD控制方法改進的方法——無源PD控制律.本文內(nèi)的方向余弦矩陣將被視作比例項引入控制律中.

PD控制方法之所以能夠長期得到廣泛的關(guān)注和應(yīng)用，是因為其結(jié)構(gòu)不復(fù)雜、物理含義明確、魯棒性強等優(yōu)勢.但在某些方面也有局限，如：1)初始控制力矩過大，伴隨著狀態(tài)的減小，控制力矩會急劇下降，對控制律的利用效率較低；2)收斂速率較緩，姿態(tài)角速度的快速下降造成四元數(shù)的收斂速率減緩；3)無法完全利用已知參數(shù)，只能確定系統(tǒng)部分轉(zhuǎn)動慣量參數(shù).

針對控制力矩受限問題，JOVAN等[4]設(shè)計了一種魯棒姿態(tài)跟蹤控制律.針對PD控制器的收斂速率問題，VERBIN等[5-7]應(yīng)用Back-stepping方法設(shè)計的角速度曲線具備快速收斂特性，設(shè)計的控制律實現(xiàn)了實際狀態(tài)對設(shè)計參考軌跡進行跟蹤.在文獻[5]和[6]中則討論了衛(wèi)星的控制力矩限制問題，而文獻[5]和[7]中討論了衛(wèi)星的角速度限制問題.但文獻[5-7]中均缺少了對系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量不確定性的討論.CAO等[8]考慮了轉(zhuǎn)動慣量具有不確定性并加入外部干擾力矩，設(shè)計出了時間較優(yōu)的控制律，并對衛(wèi)星的時間最優(yōu)角加速度與角速度進行了規(guī)劃.針對衛(wèi)星角速度受限問題，HU等[9-10]基于滑?？刂坪屯瞬椒槿嵝孕l(wèi)星設(shè)計了姿態(tài)控制律.PD控制器不僅廣泛應(yīng)用于航天領(lǐng)域，而且應(yīng)用于其他領(lǐng)域，例如LI等[11]基于遺傳算法對PD控制器的參數(shù)進行了優(yōu)化，文獻中反映出控制器各項對于系統(tǒng)性能的不同影響，并提出針對收斂時間與穩(wěn)態(tài)精度的參數(shù)優(yōu)化方案.TATSUYA[12]與ZHANG[13]針對直升機的姿態(tài)控制設(shè)計了模糊PD控制器，由于直升機飛行時受到的干擾遠多于衛(wèi)星，作者對經(jīng)典PD控制器加以改進，增強了其抗干擾性.SU等[14]針對四旋翼飛行器的姿態(tài)控制設(shè)計了非線性PD控制器，其系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過非線性變換之后才輸入到控制器當(dāng)中，增強了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

本文基于衛(wèi)星控制力拒和角速度受限的情況，改進了傳統(tǒng)PD控制律，在不改變穩(wěn)定性證明方法的前提下設(shè)計了PD+控制器，設(shè)計出一種時間較優(yōu)的滑模面，實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)沿設(shè)計的滑模面運動.對控制力矩飽和給出解決方案，對姿態(tài)角速度與控制參數(shù)之間的關(guān)系進行討論.最后通過仿真驗證算法的有效性.

1 動力學(xué)與運動學(xué)模型

姿態(tài)跟蹤控制問題中誤差角速度的動力學(xué)模型為[15-17]

(ωe+Rωd)×J(ωe+Rωd)=u+d

(1)

其中,ωe為衛(wèi)星姿態(tài)誤差角速度，ωd為衛(wèi)星姿態(tài)期望角速度.J為衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，且J為實正定對稱矩陣，u為控制力矩，d為外部干擾力矩.期望姿態(tài)四元數(shù)為qd,期望角速度為ωd,誤差四元數(shù)qe:

(2)

R是由誤差坐標(biāo)系到慣性系的轉(zhuǎn)換矩陣，給出R關(guān)于qe的表達式：

(3)

其中I3為3×3的單位矩陣.誤差角速度ωe定義為

ωe=ω-R(qe)ωd

(4)

(5)

考慮到在實際控制中轉(zhuǎn)動慣量矩陣不可能精確已知，故假定

(6)

誤差四元數(shù)的運動學(xué)模型為

(7)

(8)

2 PD+姿態(tài)跟蹤控制器

一般來說衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤的PD控制器往往由比例項、微分項構(gòu)成，二者可以通過星敏感器、紅外地平儀、太陽敏感器、陀螺儀等敏感裝置測量計算得到，同時控制器結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強，因此在航天領(lǐng)域的到了廣泛的應(yīng)用.但經(jīng)典PD控制器結(jié)構(gòu)固定、參數(shù)固定，這也一定程度上限制了系統(tǒng)性能的優(yōu)化.基于此，本次研究提出的魯棒PD+控制器結(jié)構(gòu)為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

為使得滑模面切換點處角速度不發(fā)生突變，k1、k2應(yīng)滿足

(15)

在式(11)與(13)中，λ為正常數(shù)且滿足

(16)

設(shè)計控制增益因子ρi,使控制力矩不超過系統(tǒng)上界，ρi定義：

(17)

在給出本文控制器結(jié)構(gòu)之后，接下來將給出控制器(9)的穩(wěn)定性證明與性能分析.

2.1 控制器穩(wěn)定性證明

為證明系統(tǒng)在控制器(9)作用下的穩(wěn)定性，首先需要給出兩個引理.

引理1.對于任意的正常數(shù)kd、kp和三維向量r,系統(tǒng)(1)、(7)、(8)在如下結(jié)構(gòu)的控制器作用下一致漸近穩(wěn)定.

(18)

證明.選取Lyapunov函數(shù)：

(19)

J是正定矩陣，所以式(19)第一項正定，而kp為正常數(shù)，且qe0∈[-1,1],故第二項也正定.有V1>0成立.

對式(19)求導(dǎo)并代入控制器(18)可以得到

J(ωe+Rωd)-λ‖ωe‖‖ωe+Rωd‖2+

(20)

引理 2.通過選擇合適的控制參數(shù)，系統(tǒng)(1)、(7)在如下結(jié)構(gòu)的控制器作用下一致漸近穩(wěn)定.

(21)

se=ωe+kqev

(22)

證明.選擇Lyapunov函數(shù)：

(23)

注意到

(24)

從而有

(25)

從而只需滿足:

(26)

即可保證V2正定.

計算V2的導(dǎo)數(shù)并代入控制器(21)可以得到

(27)

選擇參數(shù)使得式(28)成立:

(28)

(29)

從而控制器(9)在第二階段的微分項可以視為

(30)

考慮到引理2中的約束條件，同時注意到

(31)

(32)

(33)

即可使得控制器(9)的第二階段滿足引理2中的約束條件，從而系統(tǒng)在控制器(9)第二階段的作用下一致漸近穩(wěn)定.

綜上，系統(tǒng)穩(wěn)定性證明完畢.

2.2 控制器性能分析

本文所提出的控制器(9)能夠使得系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面(14)運行，從而實現(xiàn)系統(tǒng)收斂速率的提升.

選取Lyapunov函數(shù)如下：

(34)

(ωe+Rωd)×J(ωe+Rωd))+

(35)

在控制器(9)的α>‖qev‖≥β階段對V4求導(dǎo)，并代入控制器(9)，可以得到

(ωe+Rωd)×J(ωe+Rωd))+

(36)

由(35)、(36)可以得到滑模狀態(tài)se一致漸近穩(wěn)定.從而系統(tǒng)在控制器(9)作用下能夠沿著滑模面(14)運行.同時值得注意的是滑模面(14)分為兩階段，在第一階段姿態(tài)角速度為勻速，這就避免了傳統(tǒng)PD控制律中角速度下降過快導(dǎo)致的四元數(shù)收斂速率變慢的問題.同時，在滑模面的第二階段收斂速率為指數(shù)收斂，選擇合適的控制參數(shù)即可實現(xiàn)對于收斂時間的估計.

3 數(shù)值分析

ω(t0)=[0 0 -0.08]Trad/s,

ωd(t0)=[0.005 0 0]Trad/s,

qd(t0)=[1 0 0 0]T

(37)

為說明本文提出控制律的性能，以相同參數(shù)的傳統(tǒng)PD控制律(38)作為對比

(ωe+Rωd)J(ωe+Rωd)

(38)

首先給出傳統(tǒng)PD控制律(38)的仿真圖.

由圖1與圖2可以看到，系統(tǒng)狀態(tài)收斂時間超過250 s，同時在400 s時誤差角速度與誤差四元數(shù)的穩(wěn)態(tài)精度分別為2×10-5和8×10-4.

接下來給出本次研究所提出的姿態(tài)跟蹤PD+控制器(9)的仿真曲線.

圖1 傳統(tǒng)控制律的誤差角速度曲線

圖2 傳統(tǒng)控制律的誤差四元數(shù)曲線

由圖3～4可以看到系統(tǒng)在50 s左右收斂，系統(tǒng)收斂時間相比較于經(jīng)典PD控制器提升約80%，同時在200 s時的誤差角速度與誤差四元數(shù)穩(wěn)態(tài)精度分別為1×10-5和8×10-4，與經(jīng)典PD控制器在400 s的穩(wěn)態(tài)精度相一致，由此可以認為本次研究所提出的控制器能夠在維持穩(wěn)態(tài)精度的前提下大幅提升系統(tǒng)收斂速率.與之前討論相類似，系統(tǒng)在5 s左右開始進入滑模面(14)的勻速段，在35 s左右開始減速，在此區(qū)間內(nèi)控制力矩維持在相對較小的范圍內(nèi)，這也使得系統(tǒng)對于控制力矩的利用效率得到了提升.

圖3 PD+控制器的誤差角速度曲線

圖4 姿態(tài)跟蹤PD+控制器的誤差四元數(shù)曲線

4 結(jié) 論

本文面對空間動態(tài)目標(biāo)的跟蹤問題，同時針對經(jīng)典PD控制存在的缺陷，通過滑?？刂频乃枷胍刖哂袃?yōu)良收斂速率的滑模面，在系統(tǒng)存在模型不確定性、外部干擾的條件下，設(shè)計魯棒PD+控制律實現(xiàn)系統(tǒng)的快速、平穩(wěn)收斂，實現(xiàn)了收斂速率的大幅度提升.雖然同時控制器結(jié)構(gòu)變得較為復(fù)雜，但仍然具有良好的魯棒性.得出的結(jié)論是：在控制器中添加一些輔助項實現(xiàn)PD控制器和滑膜控制的結(jié)合，沿著既定軌跡運動，提升收斂速率，同時保持了PD控制器的魯棒性.