一種基于多尺度極值的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h1>
2020-05-26 07:16:06劉述田徐冠雷王曉煒
數(shù)據(jù)采集與處理 2020年2期
楊 達，劉述田，徐冠雷，王曉煒
（1.大連東軟信息學(xué)院智能與電子工程學(xué)院，大連，116023；2.海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋系，大連，116018；3.大連醫(yī)科大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，大連，116044）
引 言
經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸鈁1]是近20年來發(fā)展起來的一種新型強大的自適應(yīng)多分辨率信號時頻處理方法，特別適用于非線性非平穩(wěn)信號的分析處理，因此經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸馑枷朐谝痪S、二維、多維和多變量信號處理方面得到持續(xù)的關(guān)注和深入的研究[2-5]。傳統(tǒng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓˙idimensional empirical mode decomposition,BEMD）方法因其無需預(yù)定義任何基函數(shù)、完全數(shù)據(jù)驅(qū)動且信號分析能力強，在圖像等二維信號的分析處理中體現(xiàn)出許多優(yōu)勢和巨大潛力[6-8]，然而BEMD方法在求解上下包絡(luò)插值過程中非常耗時，并且由于離散點插值存在過沖和欠沖情況，使得分解出的分量中會存在比較明顯的偽像[9-10]。2008年，Bhuiyan等提出了一種新的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒?，即FABEMD方法[11]。該方法利用統(tǒng)計排序平滑濾波代替了離散點插值，極大地提高了分解效率，改善了分解效果，顯著地促進了二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒ㄔ趫D像融合、圖像增強、圖像配準(zhǔn)以及圖像運動估計等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用[12-15]。文獻[16-17]通過實驗指出，基于BEMD和FABEMD的圖像處理方法比對比度金字塔和小波變換等傳統(tǒng)多尺度分解方法具有更好的效果。然而，包括FABEMD方法在內(nèi)的現(xiàn)有二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸馑惴ㄔ跇O值點查找、內(nèi)蘊模式篩選以及迭代分解過程中效率比較低，自適應(yīng)性依賴于一些參數(shù)的人工選擇。如果對FABEMD方法進行改進，將能夠進一步促進經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸庠趫D像處理領(lǐng)域的應(yīng)用。
信號的多尺度極值點蘊含了存在于不同尺度上的豐富信息，成為近年來提高信號處理技術(shù)的一個研究方向。2013年，筆者提出了一維信號多尺度極值二叉樹結(jié)構(gòu)的概念，研究了其特性，并將其用于一維信號趨勢項的快速提取[18-19]，為一維非線性非平穩(wěn)信號的快速分析提供了一個新的思路。本文通過將一維多尺度極值二叉樹概念推廣到二維信號中，提出了一種高效的二維多尺度極值二叉樹建立方法，并在此基礎(chǔ)之上提出一個新的分解層數(shù)和濾波窗口大小的自適應(yīng)確定原則，結(jié)合基于統(tǒng)計排序的平滑濾波方法實現(xiàn)了基于多尺度極值的二維信號經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒?Improved fast and adaptive BEMD，IFABEMD)，從而顯著提高了二維信號多尺度分解的自適應(yīng)性及分解效率。
1 二維信號多尺度極值點集的二叉樹結(jié)構(gòu)及其生成方法
1.1 一維信號多尺度極值的二叉樹結(jié)構(gòu)
文獻[18]提出了如圖1所示的一維信號極值點的二叉樹結(jié)構(gòu)及其生成方法，具體過程總結(jié)如下：
（1）對于一個給定的一維多分量信號f(t)，其支撐為[0,T]，找出該信號所有的局部極大值點和極小值點，得到集合S〈1,1〉,S〈1,2〉，形成代表最小時間尺度的一級極值點集合S1={S〈1,1〉,S〈1,2〉}。
圖1 信號極值點的二叉樹結(jié)構(gòu)Fig.1 Binary tree of multi-level signal extrema
（2）再分別將S〈1,1〉,S〈1,2〉作為新的序列分別找出它們的局部極大值點和極小值點，得到集合S〈2,1〉,S〈2,2〉，S〈2,3〉和S〈2,4〉，從而得到第二級極值點集S2={S〈2,1〉,S〈2,2〉，S〈2,3〉,S〈2,4〉}。
（3）依此類推，迭代上述操作，直到某一級極值點子集S〈i,j〉的元素數(shù)小于3停止迭代，此時的i等于n，被稱為多尺度極值的最高級數(shù)，而上述迭代過程得到的各級極值點集合和子集就形成了如圖1所示的一維信號極值點的二叉樹結(jié)構(gòu)。該二叉樹結(jié)構(gòu)的多尺度極值點集的獲得，有助于對信號進行進一步的多尺度分析。
1.2 二維信號多尺度極值的二叉樹結(jié)構(gòu)
將一維多尺度極值二叉樹概念推廣到二維信號中可以得到：
（1）設(shè)I為一個多分量構(gòu)成的二維信號，F(xiàn)為某種二維局部極值點查找操作，S為其多尺度極值點集合，Si為S的第i級子集。對I進行一次F操作，可以得到I的局部極大值點集S〈1,1〉和局部極小值點集S〈1,2〉，即：F(I)→(S〈1,1〉,S〈1,2〉)，由極值點集S〈1,1〉,S〈1,2〉形成第一級極值點子集S1，即S1={S〈1,1〉,S〈1,2〉}。
（2）再分別對S〈1,1〉,S〈1,2〉進行F操作，可以得到第二級極值點子集S2={S〈2,1〉,S〈2,2〉,S〈2,3〉,S〈2,4〉}，其中F(S〈1,1〉)→(S〈2,1〉,S〈2,2〉)，F(xiàn)(S〈1,2〉)→(S〈2,3〉,S〈2,4〉)。
（3）依此類推，每一個極值點集合又可進一步劃分為下一級的兩個極值點子集，即第i級（i=1，2，…，n，其中n為最高級極值點的級數(shù)）極值點集Si可劃分為2i個極值點子集，因此，信號I的多級極值點集可表示為S[m]={Si}={S〈i,j〉},i=1,2,…,n;j=1,2,…,2i。其中，S〈i,j〉表示第i級極值點集中的第j個極值點子集。由此可建立二維信號極值點的二叉樹結(jié)構(gòu)，也可用圖1表示。
1.3 基于一維多尺度極值點集的二維多尺度點集的生成方法
利用基于窗口的p-鄰域比較法和基于Voronoi多邊形的鄰域比較法可以將二維信號局部極值點的查找直接推廣到二維多級極值點。但前者窗口尺寸p的選擇缺乏自適應(yīng)性，無法反映出信號內(nèi)在頻率模式的信息，而后者是以8-鄰域比較方法得到一級極值點；二級和二級以上的極值點由Voronoi多邊形內(nèi)節(jié)點與相鄰多邊形內(nèi)節(jié)點比較得到，雖具有對信號自適應(yīng)的特點，但隨著極值點級數(shù)的增加，極值點數(shù)快速減少，很快出現(xiàn)極值點稀疏情況，不利于挖掘信號內(nèi)部包含的眾多頻率模式分量。因此本文給出基于一維多尺度極值點集的二維多尺度點集的生成方法。二維多尺度極值點集的建立方法具體步驟如下：
（1）如圖2所示將圖像I分別沿水平方向和垂直方向蛇形展開，生成兩個一維信號f1和f2。圖中實心圓點代表一維/二維局部極小值點；空心圓圈代表一維/二維局部極大值點。
（2）對f1和f2分別使用文獻[11]中的方法建立多尺度極值點集S′和S″，設(shè)S′和S″的最高級數(shù)表示為n′和n″。
（3）將一維多尺度極值點集S′和S″中的各極值點子集按照各像素在原圖像I中的位置生成對應(yīng)的方向分離的2維極值點子集圖，其中i=1,2,… ,n;j=1,2,… ,2i；n=min(n′,n″)為二維極值點最高級數(shù)。
圖2 由方向分離的極值點圖合成的最終二維極值點圖Fig.2 2-D MSE-scale extrema based on 1-D MSE-scale extrema
采用此方法生成的二維多尺度極值點在效果上相當(dāng)于各級極值點在不同尺度的4鄰域上查找獲得。該方法生成二維多尺度極值點集的優(yōu)點是速度快、可減弱大尺度級別上極值點稀疏的情況、自適應(yīng)性強以及物理意義直觀。
2 改進的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h2>2.1 快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h3>
文獻[11]提出的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǎ碏ABEMD方法在獲得較好的分解效果的同時具有較快的分解速度，主要原因在于采用了一種新的求解局部均值的方法，基本思想是：用鄰域窗口（通常是3×3鄰域）比較方法找到圖像I的局部極大值點集和極小值點集，由2個極值點間最小距離矩陣依據(jù)某種原則確定出濾波窗口尺寸wen作為圖像I分解濾波的尺度。圖像I上下包絡(luò)的估計方法是FABEMD方法的核心：由極大值和極小值統(tǒng)計排序濾波器分別作用于I，生成圖像I的上下2個包絡(luò)曲面；但曲面并不光滑，因此再用算數(shù)平均濾波器對2個包絡(luò)曲面進行平滑，得到最終的圖像I的上下包絡(luò)估計。
圖3 FABEMD算法流程圖Fig.3 Flow diagram of FABEMD
FABEMD方法的具體步驟如圖3所示。其中BIMFi為第i級二維內(nèi)蘊模式分量，Ires為余量，Ri為分解過程中間變量。wen的確定方法是：計算極值點最近距離矩陣dadj-max和dadj-min，兩者都以降序排列，可以選用不同的準(zhǔn)則從dadj-max和dadj-min中選擇出濾波器窗口的尺寸wen。
然而，F(xiàn)ABEMD方法中各級濾波窗口尺寸的計算效率不高，需要反復(fù)查找圖像極值點、計算極值點間距離矩陣，不能自適應(yīng)確定分解級數(shù)。文獻[11]中提供的4種計算窗口尺寸的準(zhǔn)則無法在得到分解結(jié)果前確定哪種是最佳的，即濾波窗口尺寸的確定具有很大的靈活性，也缺乏對信號的自適應(yīng)性。
2.2 基于多尺度極值的改進FABEMD方法
針對FABEMD方法存在的不足，本文利用二維多尺度極值的各級極值點密度作為新的指標(biāo)確定濾波窗口尺寸，提出一種改進的快速自適應(yīng)BEMD算法，即IFABEMD方法，流程如圖4所示，其具體步驟如下：
圖4 改進的FABEMD算法流程圖Fig.4 Flow diagram of IFABEMD
（1）由1.3節(jié)方法求出圖像I的二叉樹結(jié)構(gòu)的多尺度極值點集S={Si}={S〈i,j〉},i=1,2,…,n;j=1,2,…,2i，其中n為多尺度極值點集最高級數(shù)。
（2）計算各極值點子集S〈i,j〉的極值點數(shù)目NSij，由此得到各級極值點的數(shù)目NSi為
（3）計算各級極值點的平均密度為
式中Np為圖像I的像素總數(shù)。
（4）確定各級濾波窗口尺寸為
（5）設(shè)Ires=I，k=1。
（6）利用與FABEMD方法中相同的最大值/最小值統(tǒng)計排序濾波和平滑濾波方法，估計Ires的局部均值信號Imean。
（7）BIMFk=Ires-Imean，Ires=Ires-BIMFk。
（8）如果k＜n-1，則k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟（6），否則轉(zhuǎn)到步驟（9）。
（9）分解結(jié)束。
由圖3和圖4的比較可以看出，IFABEMD算法的極值點查找和各級窗口尺寸計算不需要迭代，且各級濾波窗口尺寸隨各級特征尺度的增加而自適應(yīng)增大，與FABEMD分解結(jié)果相比減少了特征尺度不顯著的多余分量，提高了分解的自適應(yīng)性和效率。
3 仿真結(jié)果與性能分析
本文通過對典型的自然圖像與合成紋理圖像的實驗仿真來驗證上文介紹的二維多尺度極值查找方法和改進FABEMD方法的有效性。實驗所用硬件配置為：Intel Core i5-7200U CPU，主頻2.5 GHz和2.7 GHz，內(nèi)存8 GB。所用代碼均用Matlab語言實現(xiàn)。
3.1 3種二維多尺度極值點集建立方法的比較
不失一般性，以圖5(a)Lena圖像的多尺度極值點集為例，通過與基于p-鄰域比較法和基于Voronoi多邊形的鄰域比較法進行對比，證明基于一維多尺度極值點集的二維多尺度點集生成方法的優(yōu)點。3種方法所得Lena圖像的1～4級極大值點集圖如圖5（b）―（d）所示，得到的各級極值點數(shù)及算法計算性能比較如表1，2所示。
圖5 3種方法查找Lena圖像的1～4級極大值點比較（白色點為極大值像素位置）Fig.5 Comparison of three methods for finding the maximum points of Lena image at levels 1―4(white points are the location of maximum pixels)
表1 3種多級極值點查找方法各級極值點數(shù)目比較Table 1 Comparison of the number of extrema at each level by three methods
表2 3種多級極值點查找方法計算性能比較Table 2 Comparison of computational performance of three methods
由圖5及表1，2可以直觀看出，基于一維多尺度極值點集的二維多尺度點集生成方法既能自適應(yīng)反映出信號的內(nèi)蘊模式特征尺度，又能減弱極值點數(shù)目隨極值點級數(shù)增加而過快稀疏，并且速度更快。
3.2 改進FABEMD方法分解實驗結(jié)果
為了驗證和分析改進FABEMD方法，即IFABEMD方法的有效性，下面分別給出原FABEMD方法和IFABEMD方法對典型的自然圖像與合成紋理圖像的分解對比結(jié)果。其中，F(xiàn)ABEMD方法選用極值點最近距離矩陣dadj-max和dadj-min最小值中的最小值作為濾波窗口尺寸，并且篩選次數(shù)為1，迭代次數(shù)以分解效果與本文分解的最高級分量相當(dāng)時為標(biāo)準(zhǔn)；IFABEMD方法不需要篩選過程，迭代次數(shù)為多尺度極值點集最高級數(shù)n-1（避免濾波窗口尺寸過大使分解速度快速下降）。實驗圖像如圖6,7所示，圖像參數(shù)如表3所示。FABEMD方法和IFABEMD方法的分解結(jié)果如圖8—11所示。分解速度如表4所示。
由圖8—11可以看出，不論對于自然圖像還是合成紋理圖像，F(xiàn)ABEMD方法和IFABEMD方法分解結(jié)果均看不到偽像，并且各分量的物理意義更明顯（FABEMD方法分解出的相互之間只有細(xì)微差別的多余分量在圖中沒有列出）。
圖6 自然圖像Fig.6 Natural images
圖7 合成紋理圖像及其組成分量Fig.7 Synthetic texture image and its components
表3 實驗所用圖像Table 3 Test images
圖8 Barbara圖像分解結(jié)果比較Fig.8 Decomposition results by different methods for Barbara image
圖9 Harbour圖像分解結(jié)果比較Fig.9 Decomposition results by different methods for Harbour image
圖10 D101紋理圖像分解結(jié)果比較Fig.10 Decomposition results by different methods for D101 texture
圖11 合成紋理圖像分解結(jié)果比較Fig.11 Decomposition results by different methods for synthetic texture image
表4 不同方法分解速度比較Table 4 Comparison of decomposition speeds by different methods s
從圖11與圖7的對比可看出，F(xiàn)ABEMD方法分解出的BIMF2是實際分量中不存在的一個頻率分量，在IFABEMD方法中沒有這個尺度的假分量。由表4可看出IFABEMD方法分解速度較FABEMD方法有明顯提高，并且由表5可以看出IFABEMD方法分解出的內(nèi)蘊模式分量數(shù)比FABEMD方法有明顯減少。由表6可以看出當(dāng)IFABEMD方法和FABEMD方法分解出的對應(yīng)分量效果相同或相近時，有著相近的濾波窗口特征尺度，并且IFABEMD方法的濾波窗口特征尺度與分量效果的直觀尺度更符合。
表5 不同圖像中分解的最高層數(shù)Table 5 The highest levels of decomposition of different images
表6 濾波窗口特征尺度（像素寬度）Table 6 Feature sizes of filter windows（pixel width）
4 結(jié)束語
為了進一步提高現(xiàn)有FABEMD方法的信號自適應(yīng)性與分解效率，本文提出了一種基于多尺度極值的改進FABEMD方法——IFABEMD方法。IFABEMD方法一方面提高了FABEMD方法在濾波窗口尺寸選擇上的自適應(yīng)性和該參數(shù)與分量特征尺度趨勢的一致性，另一方面使分解速度更快、分解出的分量構(gòu)成在視覺上更加合理。最后通過實驗結(jié)果驗證了本文方法的有效性和正確性。本文提出的基于尺度極值點集的IFABEMD方法為傳統(tǒng)經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǖ难芯刻峁┝艘粋€新的思路。該方法也為圖像分析、圖像融合和圖像增強等應(yīng)用提供了新的手段。然而對多尺度極值點集的構(gòu)建方法和特性及其在BEMD方法中的應(yīng)用還有待進一步深入研究。
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信號的多尺度極值點蘊含了存在于不同尺度上的豐富信息，成為近年來提高信號處理技術(shù)的一個研究方向。2013年，筆者提出了一維信號多尺度極值二叉樹結(jié)構(gòu)的概念，研究了其特性，并將其用于一維信號趨勢項的快速提取[18-19]，為一維非線性非平穩(wěn)信號的快速分析提供了一個新的思路。本文通過將一維多尺度極值二叉樹概念推廣到二維信號中，提出了一種高效的二維多尺度極值二叉樹建立方法，并在此基礎(chǔ)之上提出一個新的分解層數(shù)和濾波窗口大小的自適應(yīng)確定原則，結(jié)合基于統(tǒng)計排序的平滑濾波方法實現(xiàn)了基于多尺度極值的二維信號經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒?Improved fast and adaptive BEMD，IFABEMD)，從而顯著提高了二維信號多尺度分解的自適應(yīng)性及分解效率。
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1.1 一維信號多尺度極值的二叉樹結(jié)構(gòu)
文獻[18]提出了如圖1所示的一維信號極值點的二叉樹結(jié)構(gòu)及其生成方法，具體過程總結(jié)如下：
（1）對于一個給定的一維多分量信號f(t)，其支撐為[0,T]，找出該信號所有的局部極大值點和極小值點，得到集合S〈1,1〉,S〈1,2〉，形成代表最小時間尺度的一級極值點集合S1={S〈1,1〉,S〈1,2〉}。
圖1 信號極值點的二叉樹結(jié)構(gòu)Fig.1 Binary tree of multi-level signal extrema
（2）再分別將S〈1,1〉,S〈1,2〉作為新的序列分別找出它們的局部極大值點和極小值點，得到集合S〈2,1〉,S〈2,2〉，S〈2,3〉和S〈2,4〉，從而得到第二級極值點集S2={S〈2,1〉,S〈2,2〉，S〈2,3〉,S〈2,4〉}。
（3）依此類推，迭代上述操作，直到某一級極值點子集S〈i,j〉的元素數(shù)小于3停止迭代，此時的i等于n，被稱為多尺度極值的最高級數(shù)，而上述迭代過程得到的各級極值點集合和子集就形成了如圖1所示的一維信號極值點的二叉樹結(jié)構(gòu)。該二叉樹結(jié)構(gòu)的多尺度極值點集的獲得，有助于對信號進行進一步的多尺度分析。
1.2 二維信號多尺度極值的二叉樹結(jié)構(gòu)
將一維多尺度極值二叉樹概念推廣到二維信號中可以得到：
（1）設(shè)I為一個多分量構(gòu)成的二維信號，F(xiàn)為某種二維局部極值點查找操作，S為其多尺度極值點集合，Si為S的第i級子集。對I進行一次F操作，可以得到I的局部極大值點集S〈1,1〉和局部極小值點集S〈1,2〉，即：F(I)→(S〈1,1〉,S〈1,2〉)，由極值點集S〈1,1〉,S〈1,2〉形成第一級極值點子集S1，即S1={S〈1,1〉,S〈1,2〉}。
（2）再分別對S〈1,1〉,S〈1,2〉進行F操作，可以得到第二級極值點子集S2={S〈2,1〉,S〈2,2〉,S〈2,3〉,S〈2,4〉}，其中F(S〈1,1〉)→(S〈2,1〉,S〈2,2〉)，F(xiàn)(S〈1,2〉)→(S〈2,3〉,S〈2,4〉)。
（3）依此類推，每一個極值點集合又可進一步劃分為下一級的兩個極值點子集，即第i級（i=1，2，…，n，其中n為最高級極值點的級數(shù)）極值點集Si可劃分為2i個極值點子集，因此，信號I的多級極值點集可表示為S[m]={Si}={S〈i,j〉},i=1,2,…,n;j=1,2,…,2i。其中，S〈i,j〉表示第i級極值點集中的第j個極值點子集。由此可建立二維信號極值點的二叉樹結(jié)構(gòu)，也可用圖1表示。
1.3 基于一維多尺度極值點集的二維多尺度點集的生成方法
利用基于窗口的p-鄰域比較法和基于Voronoi多邊形的鄰域比較法可以將二維信號局部極值點的查找直接推廣到二維多級極值點。但前者窗口尺寸p的選擇缺乏自適應(yīng)性，無法反映出信號內(nèi)在頻率模式的信息，而后者是以8-鄰域比較方法得到一級極值點；二級和二級以上的極值點由Voronoi多邊形內(nèi)節(jié)點與相鄰多邊形內(nèi)節(jié)點比較得到，雖具有對信號自適應(yīng)的特點，但隨著極值點級數(shù)的增加，極值點數(shù)快速減少，很快出現(xiàn)極值點稀疏情況，不利于挖掘信號內(nèi)部包含的眾多頻率模式分量。因此本文給出基于一維多尺度極值點集的二維多尺度點集的生成方法。二維多尺度極值點集的建立方法具體步驟如下：
（1）如圖2所示將圖像I分別沿水平方向和垂直方向蛇形展開，生成兩個一維信號f1和f2。圖中實心圓點代表一維/二維局部極小值點；空心圓圈代表一維/二維局部極大值點。
（2）對f1和f2分別使用文獻[11]中的方法建立多尺度極值點集S′和S″，設(shè)S′和S″的最高級數(shù)表示為n′和n″。
（3）將一維多尺度極值點集S′和S″中的各極值點子集按照各像素在原圖像I中的位置生成對應(yīng)的方向分離的2維極值點子集圖，其中i=1,2,… ,n;j=1,2,… ,2i；n=min(n′,n″)為二維極值點最高級數(shù)。
圖2 由方向分離的極值點圖合成的最終二維極值點圖Fig.2 2-D MSE-scale extrema based on 1-D MSE-scale extrema
采用此方法生成的二維多尺度極值點在效果上相當(dāng)于各級極值點在不同尺度的4鄰域上查找獲得。該方法生成二維多尺度極值點集的優(yōu)點是速度快、可減弱大尺度級別上極值點稀疏的情況、自適應(yīng)性強以及物理意義直觀。
2 改進的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h2>2.1 快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h3>
文獻[11]提出的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǎ碏ABEMD方法在獲得較好的分解效果的同時具有較快的分解速度，主要原因在于采用了一種新的求解局部均值的方法，基本思想是：用鄰域窗口（通常是3×3鄰域）比較方法找到圖像I的局部極大值點集和極小值點集，由2個極值點間最小距離矩陣依據(jù)某種原則確定出濾波窗口尺寸wen作為圖像I分解濾波的尺度。圖像I上下包絡(luò)的估計方法是FABEMD方法的核心：由極大值和極小值統(tǒng)計排序濾波器分別作用于I，生成圖像I的上下2個包絡(luò)曲面；但曲面并不光滑，因此再用算數(shù)平均濾波器對2個包絡(luò)曲面進行平滑，得到最終的圖像I的上下包絡(luò)估計。
圖3 FABEMD算法流程圖Fig.3 Flow diagram of FABEMD
FABEMD方法的具體步驟如圖3所示。其中BIMFi為第i級二維內(nèi)蘊模式分量，Ires為余量，Ri為分解過程中間變量。wen的確定方法是：計算極值點最近距離矩陣dadj-max和dadj-min，兩者都以降序排列，可以選用不同的準(zhǔn)則從dadj-max和dadj-min中選擇出濾波器窗口的尺寸wen。
然而，F(xiàn)ABEMD方法中各級濾波窗口尺寸的計算效率不高，需要反復(fù)查找圖像極值點、計算極值點間距離矩陣，不能自適應(yīng)確定分解級數(shù)。文獻[11]中提供的4種計算窗口尺寸的準(zhǔn)則無法在得到分解結(jié)果前確定哪種是最佳的，即濾波窗口尺寸的確定具有很大的靈活性，也缺乏對信號的自適應(yīng)性。
2.2 基于多尺度極值的改進FABEMD方法
針對FABEMD方法存在的不足，本文利用二維多尺度極值的各級極值點密度作為新的指標(biāo)確定濾波窗口尺寸，提出一種改進的快速自適應(yīng)BEMD算法，即IFABEMD方法，流程如圖4所示，其具體步驟如下：
圖4 改進的FABEMD算法流程圖Fig.4 Flow diagram of IFABEMD
（1）由1.3節(jié)方法求出圖像I的二叉樹結(jié)構(gòu)的多尺度極值點集S={Si}={S〈i,j〉},i=1,2,…,n;j=1,2,…,2i，其中n為多尺度極值點集最高級數(shù)。
（2）計算各極值點子集S〈i,j〉的極值點數(shù)目NSij，由此得到各級極值點的數(shù)目NSi為
（3）計算各級極值點的平均密度為
式中Np為圖像I的像素總數(shù)。
（4）確定各級濾波窗口尺寸為
（5）設(shè)Ires=I，k=1。
（6）利用與FABEMD方法中相同的最大值/最小值統(tǒng)計排序濾波和平滑濾波方法，估計Ires的局部均值信號Imean。
（7）BIMFk=Ires-Imean，Ires=Ires-BIMFk。
（8）如果k＜n-1，則k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟（6），否則轉(zhuǎn)到步驟（9）。
（9）分解結(jié)束。
由圖3和圖4的比較可以看出，IFABEMD算法的極值點查找和各級窗口尺寸計算不需要迭代，且各級濾波窗口尺寸隨各級特征尺度的增加而自適應(yīng)增大，與FABEMD分解結(jié)果相比減少了特征尺度不顯著的多余分量，提高了分解的自適應(yīng)性和效率。
3 仿真結(jié)果與性能分析
本文通過對典型的自然圖像與合成紋理圖像的實驗仿真來驗證上文介紹的二維多尺度極值查找方法和改進FABEMD方法的有效性。實驗所用硬件配置為：Intel Core i5-7200U CPU，主頻2.5 GHz和2.7 GHz，內(nèi)存8 GB。所用代碼均用Matlab語言實現(xiàn)。
3.1 3種二維多尺度極值點集建立方法的比較
不失一般性，以圖5(a)Lena圖像的多尺度極值點集為例，通過與基于p-鄰域比較法和基于Voronoi多邊形的鄰域比較法進行對比，證明基于一維多尺度極值點集的二維多尺度點集生成方法的優(yōu)點。3種方法所得Lena圖像的1～4級極大值點集圖如圖5（b）―（d）所示，得到的各級極值點數(shù)及算法計算性能比較如表1，2所示。
圖5 3種方法查找Lena圖像的1～4級極大值點比較（白色點為極大值像素位置）Fig.5 Comparison of three methods for finding the maximum points of Lena image at levels 1―4(white points are the location of maximum pixels)
表1 3種多級極值點查找方法各級極值點數(shù)目比較Table 1 Comparison of the number of extrema at each level by three methods
表2 3種多級極值點查找方法計算性能比較Table 2 Comparison of computational performance of three methods
由圖5及表1，2可以直觀看出，基于一維多尺度極值點集的二維多尺度點集生成方法既能自適應(yīng)反映出信號的內(nèi)蘊模式特征尺度，又能減弱極值點數(shù)目隨極值點級數(shù)增加而過快稀疏，并且速度更快。
3.2 改進FABEMD方法分解實驗結(jié)果
為了驗證和分析改進FABEMD方法，即IFABEMD方法的有效性，下面分別給出原FABEMD方法和IFABEMD方法對典型的自然圖像與合成紋理圖像的分解對比結(jié)果。其中，F(xiàn)ABEMD方法選用極值點最近距離矩陣dadj-max和dadj-min最小值中的最小值作為濾波窗口尺寸，并且篩選次數(shù)為1，迭代次數(shù)以分解效果與本文分解的最高級分量相當(dāng)時為標(biāo)準(zhǔn)；IFABEMD方法不需要篩選過程，迭代次數(shù)為多尺度極值點集最高級數(shù)n-1（避免濾波窗口尺寸過大使分解速度快速下降）。實驗圖像如圖6,7所示，圖像參數(shù)如表3所示。FABEMD方法和IFABEMD方法的分解結(jié)果如圖8—11所示。分解速度如表4所示。
由圖8—11可以看出，不論對于自然圖像還是合成紋理圖像，F(xiàn)ABEMD方法和IFABEMD方法分解結(jié)果均看不到偽像，并且各分量的物理意義更明顯（FABEMD方法分解出的相互之間只有細(xì)微差別的多余分量在圖中沒有列出）。
圖6 自然圖像Fig.6 Natural images
圖7 合成紋理圖像及其組成分量Fig.7 Synthetic texture image and its components
表3 實驗所用圖像Table 3 Test images
圖8 Barbara圖像分解結(jié)果比較Fig.8 Decomposition results by different methods for Barbara image
圖9 Harbour圖像分解結(jié)果比較Fig.9 Decomposition results by different methods for Harbour image
圖10 D101紋理圖像分解結(jié)果比較Fig.10 Decomposition results by different methods for D101 texture
圖11 合成紋理圖像分解結(jié)果比較Fig.11 Decomposition results by different methods for synthetic texture image
表4 不同方法分解速度比較Table 4 Comparison of decomposition speeds by different methods s
從圖11與圖7的對比可看出，F(xiàn)ABEMD方法分解出的BIMF2是實際分量中不存在的一個頻率分量，在IFABEMD方法中沒有這個尺度的假分量。由表4可看出IFABEMD方法分解速度較FABEMD方法有明顯提高，并且由表5可以看出IFABEMD方法分解出的內(nèi)蘊模式分量數(shù)比FABEMD方法有明顯減少。由表6可以看出當(dāng)IFABEMD方法和FABEMD方法分解出的對應(yīng)分量效果相同或相近時，有著相近的濾波窗口特征尺度，并且IFABEMD方法的濾波窗口特征尺度與分量效果的直觀尺度更符合。
表5 不同圖像中分解的最高層數(shù)Table 5 The highest levels of decomposition of different images
表6 濾波窗口特征尺度（像素寬度）Table 6 Feature sizes of filter windows（pixel width）
4 結(jié)束語
為了進一步提高現(xiàn)有FABEMD方法的信號自適應(yīng)性與分解效率，本文提出了一種基于多尺度極值的改進FABEMD方法——IFABEMD方法。IFABEMD方法一方面提高了FABEMD方法在濾波窗口尺寸選擇上的自適應(yīng)性和該參數(shù)與分量特征尺度趨勢的一致性，另一方面使分解速度更快、分解出的分量構(gòu)成在視覺上更加合理。最后通過實驗結(jié)果驗證了本文方法的有效性和正確性。本文提出的基于尺度極值點集的IFABEMD方法為傳統(tǒng)經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǖ难芯刻峁┝艘粋€新的思路。該方法也為圖像分析、圖像融合和圖像增強等應(yīng)用提供了新的手段。然而對多尺度極值點集的構(gòu)建方法和特性及其在BEMD方法中的應(yīng)用還有待進一步深入研究。
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