王巖巖，張騫騫，閔杰

(安徽建筑大學 數理學院，安徽 合肥 230601)

0 引言

報童模型(Newsvendor Model)作為一個考慮隨機需求問題的庫存模型，具有季節(jié)性，單周期等特點。自1956年報童模型被首次提出之后，大量學者對其進行研究和拓展，并將其廣泛應用于票務、報刊、生鮮的采購決策等生活實際問題。秦軍昌[1]基于隨機的替代數量關系，研究了單周期可替代品的庫存模型。王圣東等[2]基于兩階段需求獨立和兩階段需求相關兩種不同情形，建立了一般隨機需求下兩次訂購的決策模型，給出了零售商的最優(yōu)期望利潤和最優(yōu)訂購量。汪小京[3]針對多種類顧客需求，分析了報童模型中的庫存分配問題。Gerard[4]研究了市場出清價格對最優(yōu)訂貨策略的影響。吳鵬[5]在經典報童模型的基礎上，研究回收再制造環(huán)境下最優(yōu)生產量的決策問題。Chen和Ho[6]通過研究具有模糊需求和增量數量折扣的單期報童問題，給出最優(yōu)的訂貨策略。陳志剛等[7]基于零售商具有需求信息的預測更新能力，建立了報童模型并給出最優(yōu)訂貨策略的求解算法，分析了雙渠道訂貨環(huán)境下零售商在正常渠道和緊急渠道的訂購決策。劉航[8]針對季節(jié)性商品，分別考慮了供應商提供或不提供價格折扣下零售商的最優(yōu)定價訂購策略。李園和侯玉梅[9]通過定義帶有消費者參考價格效應的平均銷售庫存因子彈性，研究了隨機需求性和參考價格對具有乘項需求報童模型結果的影響，得出最優(yōu)訂貨量及最優(yōu)銷售價格的閉形式解。

而在實際生活中，消費者不僅僅面對單一產品。當消費者傾向購買的產品存在缺貨時，消費者可選擇相似顏色、功能、樣式、尺寸的產品作為替代而非放棄購買，這種消費者需求轉移的現象也稱為客戶需求驅動替代[10-11]。例如，百事可樂與可口可樂、佳能相機與索尼相機、雀巢咖啡與麥斯威爾、格力空調與美的空調等都是生活中常見的可相互替代的產品。李宇雨等[12]基于消費者需求替代和偏好異質性，研究了按訂單裝配模式下的制造商最優(yōu)生產組合與零件補貨策略。周健等[13]研究產品替代程度對于雙渠道零售商和純網絡零售商定價順序的影響，發(fā)現零售商利潤會隨著產品替代率的增大而增大。

對于多產品報童模型，自Hadley和Whitin[14]1963年將經典報童模型拓展到不同約束下的多產品報童模型后，國內外學者對其進行了深入的研究與推廣。陳杰[15]通過考慮單向交叉的影響，研究了兩產品交叉銷售下報童模型的最優(yōu)訂貨及促銷價格決策。Moon和Silver[16]在補貨具有固定成本的情況下，研究對補貨數量總價值有預算約束的多產品報童模型。周佳琪[17]考慮交叉銷售，建立帶缺貨懲罰的單周期多產品集中決策報童模型。周艷菊[18]探討了損失約束條件下多產品報童問題的求解方法。上述文獻對多產品的競爭決策交叉影響等問題做出研究，卻沒有考慮消費者群體對于可替代產品的需求轉移問題。當多種產品的功能屬性存在可替代性時，面對一種產品缺貨，消費者往往選擇購買其他類似產品作為替代，也即消費者的市場需求發(fā)生轉移。Huang和Zhou[19]通過完全信息靜態(tài)博弈，研究了具有缺貨成本和部分產品替代情形下的多產品競爭報童模型。Zhao和Atkins[20]通過考慮具有價格競爭和部分產品替代的競爭報童模型，得到了模型的唯一納什均衡，并將均衡解與經典報童問題的最優(yōu)解進行了比較。上述文獻著重研究了多產品替代之間的競爭問題，給出競爭的均衡結果，并設計迭代算法計算每種產品的最優(yōu)訂購量。區(qū)別于前人的研究，本文基于替代產品間盈虧比的不同，以經典報童模型為基礎，考慮了缺貨條件下的消費者需求轉移，分別給出當市場中消費者需求轉移概率為零和需求轉移概率為正兩種情形下的零售商最優(yōu)訂購量，并從中得到相應的管理啟示。

1 模型建立與假設

在基礎報童模型中，零售商以單價w采購商品，以價格p售出，以s表示未及時售出的產品殘值，其中p＞w＞s。Q表示零售商的采購量，X表示市場需求變量，f()x和F(x)分別表示市場需求的概率密度與分布函數，πr表示零售商的總利潤，表示零售商利潤的期望。其中，由基礎報童模型可知最優(yōu)訂購量Q*滿足

本文考慮某類產品的市場總需求量為X，其分布函數為F。這類產品包括兩種功能上存在替代性的異質產品，用X1和X2分別表示兩種產品的市場需求。假設產品1的需求量占總需求量的比例為α，產品2的需求量占比為1-α。用w1和w2分別表示兩種產品的批發(fā)價格，用p1和p2分別表示兩種產品的零售價格，s1和s2分別表示產品1和產品2的殘值，Q1和Q2分別表示零售商對兩種產品的訂貨量。表示產品的盈虧比，我們用符號ρ表示。不失一般性，我們假設產品1的盈虧比高于產品2，即ρ1＞ρ2。為了研究存在需求轉移的最優(yōu)訂購問題，我們首先分析消費者需求轉移概率為0的基準模型。

2 需求轉移概率為零的基準模型

對零售商來說，總利潤的期望等于兩個產品各自期望利潤之和，即E(πr)=E(π1)+E(π2)。由于轉移概率為0，由經典報童模型可分別求出兩種產品的最優(yōu)訂貨量。已知產品1的市場需求占總需求的比例為α，可得產品1的市場需求X1服從分布同理，產品2的市場需求X2服從分布由基礎報童模型可得兩種產品的最優(yōu)訂貨量

基于兩種產品訂購量之間的關系，我們定義A、B兩個區(qū)域如圖1所示：在區(qū)域A內

圖1 兩產品訂購量關系圖

定理1 當消費者的需求轉移概率為0時，零售商的最優(yōu)訂貨量滿足：

(1)兩產品盈虧比相等時，零售商對兩種產品的最優(yōu)訂貨量比例與需求比例一致；

(2)產品1的盈虧比高于產品2的盈虧比時，最優(yōu)訂貨量在B區(qū)域內，滿足即零售商訂購產品1的比例超過需求比例；

(3)產品1的盈虧比低于產品2的盈虧比時，最優(yōu)訂貨量在A區(qū)域內，滿足即零售商訂購產品2的比例超過需求比例。

證明：當產品1的盈虧比高于產品2的盈虧比，即ρ1＞ρ2時由于分布函數F單調遞增，則

3 需求轉移概率大于零的一般情形

當零售商對產品1的訂貨量比例超過需求比例時，如果產品2的訂貨量不足以滿足市場需求，消費者對于產品2的需求可能向產品1轉移；當零售商對產品2的訂貨比例超過需求比例時，消費者對產品1的未滿足需求可能向產品2轉移。我們用β表示消費者需求從產品2向產品1的轉移概率，用β′表示消費者需求從產品1向產品2的轉移概率。不失一般性，假設產品1的盈虧比大于產品2。為了求解出存在消費者需求轉移概率的最優(yōu)訂貨量，我們將分別對兩個區(qū)域進行分析。

3.1 對產品1的訂貨量超過需求比例

基于上述分析，當對產品1的訂貨比例超過需求比例時，兩種產品的銷售情況如圖2所示：

圖2 產品1的訂貨超過需求比例時的銷售情況示意圖

綜上所述，可得出零售商的利潤函數表達式如式(1)：

零售商利潤函數的期望為：

分別求出期望利潤對兩種產品訂貨量的一階偏導：

由一階導函數條件，可得兩種產品的最優(yōu)訂貨量如下：

為分析消費者轉移概率對最優(yōu)訂購量的影響，求β的一階導如式(2)：

由轉移概率為0的基準模型可知，當產品1的盈虧比大于產品2時，模型的最優(yōu)解區(qū)域B內。根據可知產品1的最優(yōu)訂貨量關于轉移概率β單調增，產品2的最優(yōu)訂貨量關于β單調減。所以當β＞0時，即最優(yōu)解的右下方，所以訂貨量的最優(yōu)解在B區(qū)域內，滿足

3.2 對產品2的訂貨量超過需求比例

基于上述分析，當對產品2的訂貨比例超過需求比例時，兩種產品的銷售情況如下圖3所示：

圖3 產品2的訂貨超過需求比例時的銷售情況示意圖

綜上所述，可得出零售商的利潤函數表達式如式(3)：

零售商利潤函數的期望為：

分別求出期望利潤對兩種產品訂貨量的一階偏導：

由一階導函數條件，可得兩種產品的最優(yōu)訂貨量如下：

為分析消費者轉移概率大于0時的最優(yōu)訂貨量，求β′的一階導如下：

定理2 存在需求轉移的情況下，零售商的最優(yōu)訂貨策略是對盈虧比高的產品采取超過需求比例訂貨。

4 數值例子

為了進一步研究轉移概率對兩種產品訂貨量的影響，我們采用數值方法驗證理論結果。與參考文獻[15]等多數文獻類似，假設產品的市場需求服從指數分布，并取參數λ=0.02。令p1=300，w1=260，s1=240，p2=200，w2=150，s2=100，α=0.6。在轉移概率β的不同取值下，兩種產品的訂貨量、總訂貨量及零售商利潤的數值解如表1所示：

表1 轉移概率β不同取值下的數值解

根據表1的數值解，畫出兩種產品的訂貨量、總訂貨量及零售商利潤隨轉移概率的變化趨勢。

由圖4和圖5可知，當產品1的盈虧比大于產品2時，隨著消費者的市場需求由產品2向產品1的轉移概率的增大，零售商對產品1的訂貨量增加，對產品2的訂貨量減少。這一結論與現實生活中的觀察相吻合，對于零售商來說，當消費者對兩種產品的需求存在替代性轉移時，產品可替代率越高，對盈虧比較大產品的訂購量也應該相應增加。由圖6和圖7可知，當消費者需求轉移概率增大時，總訂貨量增大，零售商的利潤也相應增大。這是因為隨著需求轉移概率的增加，零售商面臨的產品庫存積壓風險降低，增大訂貨量可顯著增加零售商收益。

5 結論

本文基于消費者在可替代產品間的需求轉移問題，建立了報童模型，分析零售商的最優(yōu)訂貨決策。模型結論指出：

圖4 轉移概率對產品1訂貨量的影響

圖5 轉移概率對產品2訂貨量的影響

圖6 轉移概率對總訂貨量的影響

圖7 轉移概率對零售商利潤的影響

(1)對于需求完全正相關的兩個產品，當它們的盈虧比不同時，兩個產品的最優(yōu)訂貨量的比例與需求比例不一致；

(2)對于需求完全正相關的兩個產品，如果消費者需求存在概率性轉移，對于盈虧比較高的產品，零售商始終應當超過需求比例進行采購，且轉移概率越大，零售商利潤越高。

對盈虧比較高的產品設置較高采購量的結論與我們的日常經驗相一致。本文從建模的角度分析了轉移概率對訂貨量的影響，后續(xù)的研究還可以從需求比例具有隨機性等情況展開。