張園園， 亢 婷

（寧夏大學 新華學院，寧夏 銀川750021）

當流行病在一個地區(qū)開始蔓延時，相關部門通常會通過宣傳報道來使人們意識到流行病的存在，人們獲知流行病爆發(fā)的消息之后會改變自己的行為來降低感染疾病的可能性. 2013 年，Manfredi等［1］研究了人們的行為改變對流行病傳播過程的影響.2017 年，Kumar 等［2］將“易感人群行為反應項”引入到艙室模型中，于是得到了如下的具有信息干預的SIRS流行病模型：

其中，S、I、R 和Z 分別表示易感人群、感染人群、康復人群和人群中信息的密度.模型中的參數(shù)均為非負常數(shù)，Λ表示易感者的常數(shù)補充率，β 表示接觸率，μ表示自然死亡率，μ1表示人們對信息的反應強度，m 表示由于信息干預使得人們行為的改變率，γ表示感染人群的康復率，ε 表示病死率，δ 表示恢復者免疫喪失率，a表示信息的增長率，b 表示飽和常數(shù)，a0表示信息的自然消失率［2］.由于資源、經(jīng)濟水平和不可避免的自然因素的存在，人們對信息干預的反應不會達到100%，所以信息干預項取為μ1mZ（t）S（t）.

在許多傳染病模型中，傳染病發(fā)生率都取為雙線性的，即βSI，表示每一次接觸中被感染的概率相同.然而有研究表明，非線性的發(fā)生率比雙線性的更加合理［3-4］.在實際情況中，當感染者人數(shù)較多時，發(fā)生率會由于對易感者采取保護措施或?qū)Ω腥菊哌M行隔離而降低，而雙線性的感染率不能刻畫出這種變化，所以應當在模型中引入非線性的發(fā)生率.受文獻［3］啟發(fā)，在本文中使用飽和發(fā)生率βSI／（1+αI）.

圖2 左列表示隨機模型（2）中S（t）、I（t）和R（t）在不同噪聲強度下的路徑，右列表示當σ取不同值時I（150）的概率密度函數(shù)的直方圖Fig. 2 The left column shows the path of S（t），I（t）and R（t）for SDE model（2）under different noise intensities，the right column displays the histogram of the probability density function of I（150）with different values of σ

5 結(jié)論

流行病的爆發(fā)給人類的健康和國家的經(jīng)濟產(chǎn)生了嚴重的影響.本文提出了一個具有信息干預和飽和發(fā)生率的隨機SIRS 模型，研究了疾病的持久性和隨機模型解平穩(wěn)分布的存在性.最后通過數(shù)值例子驗證了理論結(jié)果.

（定理1 中定義的一個常數(shù)）的表達式中可以看出I（t）的下界會隨著μ1的增大而減小，所以信息干預可能會抑制流行病的爆發(fā).

致謝 寧夏大學自然科學基金（ZR16013）給予了本文資助，謹致謝意.