張修引，曾齊紅，邵燕林，梁梓君

(1.長(zhǎng)江大學(xué) 地球科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430100；2.中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京 100083；3.中國(guó)石油新疆油田公司數(shù)據(jù)公司，新疆 克拉瑪依 834000)

0 引 言

隨著計(jì)算技術(shù)的迅速發(fā)展，多媒體通信已經(jīng)成為人們信息交流的主要方式之一。數(shù)字圖像具有數(shù)據(jù)量大、相關(guān)度高等特點(diǎn)，但是，數(shù)字圖像的傳輸存在著很多安全隱患，信息安全已成為日益嚴(yán)峻的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。因此，研究圖像加密具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)混沌圖像加密的研究成果頗多。比如，周小勇[1]提出了一種新的具有恒Lyapunov指數(shù)譜的三維混沌系統(tǒng)，驗(yàn)證了系統(tǒng)豐富的混沌特性；富立、張鵬、張海龍等利用Lyapunov指數(shù)[2-5]的數(shù)值計(jì)算方法來(lái)提高算法的可行性與有效性。此外，用于圖像加密的混沌系統(tǒng)中有二維廣義的Logistic映射[6-8]，還有基于廣義維的Arnold變換加密方法[9]和新型圖像加密[10]、明文改進(jìn)加密[11]以及超混沌系統(tǒng)加密[12-14]和開(kāi)關(guān)分?jǐn)?shù)階混沌加密[15]。黃蕾等人[16-17]設(shè)計(jì)了基于混沌映射與連續(xù)更新對(duì)稱擴(kuò)散的圖像加密算法。離散混沌在圖像加密、計(jì)算智能、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中應(yīng)用也比較廣泛[18]。在這些常用的混沌加密算法中，低維混沌系統(tǒng)存在密鑰空間小、安全性不高的缺點(diǎn)[19]。因此，把二維超混沌用于圖像加密，不僅具有低維混沌系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)兼具超混沌系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，因此二維超混沌的圖像加密算法更具有重要的研究意義。

1 混沌的起源

1.1 混沌的定義

美國(guó)著名的氣象學(xué)家洛倫茲(Lorenz E N)在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中研究氣候的變化，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)一種隨機(jī)行為，他稱作“決定論非周期流”，并且在《大氣科學(xué)》上發(fā)表了“決定論非周期流”一文，描述了“對(duì)初始條件的敏感性”基本特性，這就是著名的“蝴蝶效應(yīng)”，并且此后他也繼續(xù)致力于該研究，被譽(yù)為“混沌學(xué)之父”。

眾所周知，混沌(chaos)是指對(duì)初值敏感表現(xiàn)出的不可預(yù)測(cè)、隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)，是一種無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)理論，不需加入任何隨機(jī)因素也可出現(xiàn)類似隨機(jī)的行為(內(nèi)在隨機(jī)性)，又稱渾沌。

1.2 混沌系統(tǒng)的特征

混沌系統(tǒng)有以下特點(diǎn)：

(1)內(nèi)在隨機(jī)性：存在的區(qū)域表現(xiàn)出隨機(jī)不確定性；

(2)非規(guī)則的有序：混沌系統(tǒng)本身是無(wú)序的，但在研究的過(guò)程中是有序的；

(3)敏感性：對(duì)密鑰做出微小改變，密圖會(huì)產(chǎn)生巨大改變，和原來(lái)使用的密鑰加密效果截然不同；

(4)正的李雅普諾夫指數(shù)：李雅普諾夫指數(shù)是指數(shù)規(guī)律的發(fā)散表明初始條件非常微小的差別也能被發(fā)現(xiàn)，從而使系統(tǒng)狀態(tài)被成功預(yù)測(cè)到是根本不可能的。

2 二維超混沌系統(tǒng)的研究

2.1 一類二維超混純系統(tǒng)的分析

二維超混沌系統(tǒng)，是低維混沌系統(tǒng)和高維混沌系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)的一種混沌系統(tǒng)；在使用二維超混沌加密時(shí)，可以促使混沌系統(tǒng)的安全性能提高，敏感性加強(qiáng)，有利于圖像加密的保護(hù)，是當(dāng)前以及未來(lái)混沌加密研究的重要方向與課題。

使用超混沌離散系統(tǒng)在圖像加密中有以下幾個(gè)特性：一是二維超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的密鑰數(shù)量多，參數(shù)多等；二是由于二維超混沌系統(tǒng)需要使用Lyapunov指數(shù)，效果更加具有說(shuō)服力，更加復(fù)雜，可以很好地體現(xiàn)出來(lái)。使用Henon映射的理論基礎(chǔ)，二維系統(tǒng)方程如下：

(1)

Henon映射公式如下：

(2)

其中參數(shù)a=1.4，b=0.3。

2.2 一種二維超混沌系統(tǒng)

由于使用二維超混沌系統(tǒng)加密的效果更好，二維超混沌系統(tǒng)所具有的形式更加簡(jiǎn)單，并且正的Lyapunor指數(shù)也與混沌程度有關(guān)，因此多采用Lyapunor指數(shù)來(lái)衡量所研究的方程是否存在混沌運(yùn)動(dòng)，具體的形式如下：

(3)

其中，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù)a=1.68,b=-1.3,c=-1.1,d=0.1。

3 加密與解密

3.1 加 密

Step1：讀入一幅256*256的圖像，取紅色分量AR并將256*256的數(shù)組轉(zhuǎn)成1*65 536的數(shù)組，并輸出；取綠色分量AG并將256*256的數(shù)組轉(zhuǎn)成1*65 536的數(shù)組，并輸出；取藍(lán)色分量AB并將256*256的數(shù)組轉(zhuǎn)成1*65 536的數(shù)組，并輸出；

Step2：將其轉(zhuǎn)化成灰度圖B，并輸出；

Step3：利用二維超混沌方程(式(3))，二維超混沌方程使用的系數(shù)如下所示：a=1.68,b=-1.3,c=-1.1,d=0.1；生成混沌序列X，Y；

Step4：取出X的第五位，第六位和第七位，重新組成一個(gè)新的三位數(shù)，接著X1對(duì)256取余，存放在數(shù)組X1中；

Step5：取出Y的第五位，第六位和第七位，重新組成一個(gè)新的三位數(shù)，接著Y1對(duì)256取余，存放在數(shù)組Y1中；

Step6：對(duì)(X1+Y1)對(duì)256取余存放數(shù)組Z1中；

Step7：將KA中的所有元素放入M的第一行；將AR中的所有元素放入M的第二行；將C中的所有元素放入M的第三行；

Step8：將M中的元素按照第一行排序，第二行與第三行也相應(yīng)發(fā)生變化，將排序后的M數(shù)組第二行取出，放入一維數(shù)組F中，將F數(shù)組中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成二維數(shù)組AR1，即為紅色加密圖AR1；

Step9：AG重排成256*256的二維數(shù)組，將其與加密的灰度圖進(jìn)行異或加密，得到綠色加密圖AG1；

Step10：將M1中的元素按第一行排序，第二行與第三行也相應(yīng)發(fā)生變化，將排序后的M1數(shù)組第二行取出，放入一維數(shù)組F1中，將F1數(shù)組中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成二維數(shù)組AB1，AB1重排成256*256的二維數(shù)組，與Z1進(jìn)行異或加密，得到藍(lán)色密圖AB2。

3.2 解 密

Step1：分別讀入紅(AR1)、綠(AG1)、藍(lán)(AB2)分量密圖；解密紅色分量密圖AR1(256*256)，取第三行，對(duì)其進(jìn)行排序，第三行改變相應(yīng)的第一二行也發(fā)生改變，從而進(jìn)行解密；

Step2：解密綠色分量密圖AG1(256*256)，綠色分量圖是采用異或加密，所以解密將AG1與序列Y1進(jìn)行異或，從而可以得到解密圖AG；

Step3：解密藍(lán)色分量密圖AB2(256*256)，首先進(jìn)行異或解密，異或解密完成，將解密之后的數(shù)組進(jìn)行第三行排序，相應(yīng)的兩行隨之發(fā)生改變，從而藍(lán)色解密完成。

4 仿真結(jié)果

使用256*256的灰度圖像在matlab 2010b下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),二維超混沌方程使用的系數(shù)如下：a=1.68,b=-1.3,c=-1.1,d=0.1；生成混沌序列X，Y。

圖1是256*256像素的BMP格式的彩色圖像，圖2為彩色圖像分離出來(lái)的三色圖像。

圖1 原圖

圖2 分離后的圖像

分離三色圖像后，分別對(duì)紅綠藍(lán)三色分量圖進(jìn)行不同方式的加密，圖3即為加密以后的圖像。

圖3 加密后的圖像

加密以后得到三張分量加密圖，將三張分量加密圖合成為一張新的圖片，即為合成后的最終加密圖，見(jiàn)圖4。

圖4 最終加密圖

得到最終加密圖以后，對(duì)其進(jìn)行解密。首先需要對(duì)最終加密圖進(jìn)行三色分量輸出，按照加密的方式對(duì)它進(jìn)行解密，將最終加密圖還原成三色圖以后，就可以對(duì)它進(jìn)行合成，得到最終解密圖，即原圖(見(jiàn)圖1)。

5 算法分析

5.1 相鄰像素相關(guān)性分析

圖片像素的相關(guān)性是指圖像中兩個(gè)像素點(diǎn)(水平相關(guān)，垂直相關(guān)，對(duì)角相關(guān))之間的關(guān)系，用協(xié)方差表示，范圍在0到1之間。相關(guān)性系數(shù)的值越大(接近1)說(shuō)明圖像的相關(guān)性越強(qiáng)，反之值越小(接近0)，說(shuō)明圖像相關(guān)性越弱。因此，在沒(méi)有進(jìn)行加密的圖像中，相鄰的兩個(gè)像素點(diǎn)之間的相關(guān)性很強(qiáng)，經(jīng)過(guò)加密處理后的圖像，相鄰像素的相關(guān)性就很弱。

相關(guān)性系數(shù)的計(jì)算公式如下所示：

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，x,y分別表示圖像中兩個(gè)相鄰的像素灰度值，計(jì)算時(shí)采用均值E(x)，方差D(x)和協(xié)方差COV(x,y)的離散形式。對(duì)圖像進(jìn)行加密前后的相鄰像素的相關(guān)性分析，即選取5 000對(duì)像素點(diǎn)，進(jìn)行分析。加密前后5 000對(duì)圖片像素的水平相鄰、垂直相鄰、對(duì)角相鄰的像素相關(guān)系數(shù)分析如表1所示。

表1 加密前后紅綠藍(lán)三色分量相鄰點(diǎn)相關(guān)系數(shù)

5.2 MSE與PSNR

MSE(mean squared error)表示均方誤差，是衡量“平均誤差”的一種方法，計(jì)算出的MSE的值越小，說(shuō)明預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的精確度越好；計(jì)算出的MSE的值越大，反之越不好。均方誤差的表達(dá)式為：

(8)

其中,I(i,j)為加密圖像,I(i,j)為原始圖像，M,N表示圖像的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)在圖像中像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)。均方誤差從整體上反映了原始圖像和加密圖像的差別,MSE值越大，算法越好，加密效果就越好。

PSNR(peak signal to noise ratio，峰值信噪比)，peak的意思是頂點(diǎn)，ratio的意思是比率，即到達(dá)噪音比率的頂點(diǎn)信號(hào)。PSNR的單位為dB。當(dāng)圖像PSNR值越大，就代表圖像的失真程度越少。峰值信噪比的表達(dá)式為：

(9)

其中L為圖像中灰度取值的范圍，對(duì)8比特的灰度圖像而言L=255。圖像的峰值信噪比越大，圖像的失真程度就越低，反之，圖像的峰值信噪比越小，其失真程度就越大。然而對(duì)于加密圖而言，加密效果越好，其峰值信噪比越小，如表2所示。

表2 測(cè)試圖像的結(jié)果對(duì)照

5.3 敏感性分析

密鑰的敏感性是指在密鑰發(fā)生細(xì)小變化時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生的加密效果也會(huì)發(fā)生明顯變化。采用正確密鑰以及與之差異微小的另幾組密鑰分別對(duì)密文圖像進(jìn)行解密實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)選取大小為256*256的灰度圖像，正確密鑰為Key=(x=0.1，y=0.2，a=1.68，b=-1.3，c=-1.1，d=0.1)，如表3所示。圖5中，(a)為紅色分量解密圖，(b)綠色分量解密圖，(c)藍(lán)色分量解密圖。

表3 選取的密鑰進(jìn)行敏感性分析的結(jié)果對(duì)照

(1)正確密鑰解密圖

(2)Key1密鑰解密圖

(3)Key2密鑰解密圖

(4)Key3密鑰解密圖

(5)Key4密鑰解密圖

(6)Key5密鑰解密圖

(7)Key6密鑰解密圖

由上可得，當(dāng)改變選取的密鑰后，即使只有10-10的改變，解密的圖像都不能被解出來(lái)，這就說(shuō)明使用到的加密方法具有良好的密鑰敏感性。

5.4 信息熵

信息熵是19世紀(jì)中葉由德國(guó)物理學(xué)家克勞修斯提出的,信息論創(chuàng)始人美國(guó)著名數(shù)學(xué)家香農(nóng)于1948年發(fā)表的《通訊的數(shù)學(xué)理論》一文中將熵的概念正式引入到信息論中，稱之為“信息熵”，即平均信息量，公式如下：

(10)

其中，P(Si)是Si出現(xiàn)的概率，2n是信息源，S是總狀態(tài)數(shù)。從理論上來(lái)說(shuō)，一個(gè)256級(jí)灰度值的圖像，灰度值有28種可能，由此可以根據(jù)理論算出信息熵的理論值。

利用文中所選用的二維超混沌系統(tǒng)加密，對(duì)加密后的圖像進(jìn)行計(jì)算，所得的信息熵如表4所示，可以得出非常接近理想值8。

表4 信息熵

由上可知，信息熵分布越均勻，圖像的信息熵越大，信息熵灰度分布越無(wú)序，圖像的信息熵越小。當(dāng)圖像的灰度分布是不均勻的，信息熵較小，這樣的圖像數(shù)據(jù)很容易被竊取，當(dāng)信息熵越大時(shí)，圖像加密效果越好，越不容易被竊取。

5.5 密鑰空間分析

文中算法對(duì)加密的密鑰是非常敏感的，密鑰空間的取值范圍要足夠大,只要密鑰空間足夠大，就可以有效地抵抗破譯者的攻擊。對(duì)于文章提出的加密算法，密鑰空間分析如下；一般計(jì)算機(jī)的精度設(shè)置為10-16，混沌系統(tǒng)共4個(gè)參數(shù)，2個(gè)變量，密鑰為K=(a,b,c,d,x,y)，所以就能得到密鑰空間大小為1096=2319，相當(dāng)于319 bit的密鑰長(zhǎng)度。由此可知，該算法的密鑰空間取值范圍足夠大，因此能夠有效地抵抗攻擊者的窮舉攻擊方法。

6 結(jié)束語(yǔ)

二維超混沌系統(tǒng)是將低維混沌系統(tǒng)和高維混沌系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)的一種全新的混沌系統(tǒng)，二維超混沌加密可以促使混沌系統(tǒng)的安全性能提高，敏感性加強(qiáng)，有利于圖像加密的保護(hù)。二維超混沌系統(tǒng)具有多個(gè)參數(shù)和變量，不易破解。在圖像的加密方面，對(duì)分離的紅綠藍(lán)分量分別進(jìn)行排序加密、異或、先排序后異或加密，該加密方法的復(fù)雜性較高。整個(gè)加密算法的安全性高，相關(guān)性低，抗干擾性強(qiáng)，密鑰敏感性高，密鑰空間大，能有效抵抗窮舉搜索的攻擊。