(中國礦業(yè)大學(北京)力學與建筑工程學院，北京，100083)

隨著城市建設的快速發(fā)展，地下空間開發(fā)已成為必然趨勢，故地鐵隧道開挖過程中越來越多地遇到橫通道連接、不同工法之間的區(qū)間隧道、區(qū)間與車站的連接等變截面問題。連接時不僅工序復雜，而且其支護難度較大，該隧道區(qū)域也更加危險，故有必要對變截面隧道開挖造成的地表變形進行預測，控制地表沉降和水平位移。預測地鐵隧道施工引起沉降的方法有經(jīng)驗公式法(以Peck 公式[1-3]為主)、隨機介質(zhì)理論法、彈塑黏性理論解析法[4]、數(shù)值方法(源匯法[5]、有限元法、邊界元法、有限差分法、數(shù)值半解析法)等。其中，隨機介質(zhì)理論于20世紀90年代后用于地鐵工程，由于隨機介質(zhì)理論能夠預測出除地表垂直和水平位移外的其他變形，如傾斜、曲率、水平應變等，而且其土體變形的計算不局限于隧道橫截面的形狀以及開挖工法，因此，非常適合應用于不同截面隧道開挖引起的地表變形分析。LITWNISYN[6]于1957年創(chuàng)立隨機介質(zhì)理論方法；SELIM 等[7]提出了一類具有線性各向異性散射的有限隨機介質(zhì)中單速傳輸方程的穩(wěn)態(tài)解，介質(zhì)的總橫截面被認為是一個連續(xù)隨機的位置函數(shù)，其均值隨高斯分布的波動而變化；MENG等[8]為了計算由位移樁驅(qū)動到水平分層地層的地面運動，建立了1個軸對稱模型，利用隨機介質(zhì)理論推導了地表垂直和水平運動函數(shù)，為計算預測各種截面的地表變形提供了依據(jù)。LIU 等[9-15]基于隨機介質(zhì)理論方法對礦山地表沉陷進行了預測分析，并系統(tǒng)研究了該方法在計算隧道開挖引起地表移動和變形時的適用性，進而針對幾種隧道施工方法(降水法、凍結法、擠壓盾構法、壓氣法)所引起的地表變形預測進行了分析與討論；朱忠隆等[16]在上述工作的基礎上，分別推導了隧道縱向地層移動和變形的計算公式，并應用于實際工程；劉波等[17]研發(fā)了地鐵隧道沉降預測(STSP)系統(tǒng)，推導了隨機介質(zhì)理論預測隧道施工誘發(fā)地表橫向和縱向變形的計算公式；施成華等[18]基于隨機介質(zhì)理論，提出了一種新的頂管施工擾動區(qū)土體變形計算方法；蔡海兵等[19]提出了基于隨機介質(zhì)理論的隧道凍結期地表凍脹預測方法；查劍鋒等[20]以MATLAB 作為開發(fā)平臺，設計了煤礦開采沉陷預計實驗教學系統(tǒng)，實現(xiàn)了隨機介質(zhì)理論原理演示；傅鶴林[21]等在這些研究的基礎上計算了偏壓地形中的不均勻沉降分布特點?？傮w而言，國內(nèi)外學者應用隨機介質(zhì)理論對隧道開挖引起的地表變形的研究較多，但對變截面的隧道開挖引起地表變形規(guī)律尚缺乏深入研究。為此，本文作者提出一種以隨機介質(zhì)理論為基礎，預測分析變截面隧道開挖引起的地表沉降和水平位移的方法，以期為后續(xù)變截面隧道開挖及支護研究提供參考。

1 土體損失引起的地表變形計算

隨機介質(zhì)理論將隧道附近開挖巖土體視為一種“隨機介質(zhì)”，將開挖巖土體過程引起的地表下沉和水平位移視作隨機過程。根據(jù)統(tǒng)計學理論，可以將整個隧道開挖分解為無限多個無限小的開挖。整個開挖對地層的影響應等于許多無限小的開挖對上部地層影響的總和。

1.1 單元土體開挖引起的地表變形

土體損失示意圖如圖1所示。在不排水固結和密度不變化的條件下，當隧道的開挖單元完全落下時，最終的沉降槽的體積應等于地層損失的體積。以開挖單元中心對應的地表位置為坐標原點，由此得到開挖單元完全塌落引起的上部土層坐標點(X，Y，Z)的沉降量為[12]

式中：We為單位土體開挖引起的沉降量，mm；X，Y和Z為單位土體位于三維坐標系的坐標值，m；dξ，d?和dη分別為土體沿X，Y和Z方向的微分單元；r(Z)為單元開挖在Z水平上的主要影響半徑，mm，通常可認為與Z呈線性關系，即r(Z)=Z/tanβ；β為隧道上部圍巖的主要影響角，其值取決于開挖地層的相關條件，可根據(jù)地質(zhì)勘查資料選取。

圖1 土體損失示意圖Fig.1 Diagram of soil loss

單元土體開挖引起的地表水平位移[14]為

式中：U(X，Y)為單位土體開挖引起的地表水平位移，mm。

1.2 隧道土體開挖引起的豎向沉降與橫向水平位移

為求得隧道整體開挖引起的沉降量，需對隧道開挖過程中存在的上述單元體進行積分。將隧道開挖視作沿Y軸無限延長，并認為隧道在當前截面開挖后將會立即支護，忽略每個橫截面因為開挖時間不同產(chǎn)生的差異，考慮橫向沉降槽。先根據(jù)均勻收斂模型確定開挖橫截面的土體損失，據(jù)此對橫截平面進行二重積分，再沿Y軸進行積分，由此得到地表的三維變形，如圖2所示。假定開挖橫斷面區(qū)域由Ω坍縮至ω，可求得地表沉降[12]：

式中：H為隧道的中心線埋深，m；Ω為隧道坍縮前的幾何邊界，與隧道本身的尺寸和形狀有關；ω為隧道坍縮后的幾何邊界；Ω－ω為土體損失；收縮半徑ΔR為Ω與ω徑向的差值；WΩ(X，Y)和Wω(X，Y)分別為用Ω和ω作積分邊界求得的沉降量，兩者的差即為最終隧道的地表沉降量W(X，Y)。

同時得到水平位移U(X，Y)：

圖2 任意斷面開挖示意圖Fig.2 Diagram of arbitrary excavated section

2 變截面土體損失引起的地表變形分析

變截面線性變化模型如圖3所示。如圖3(a)所示，2個斷面形狀相仿但大小不同的隧道在Y=0處連接，按照直接積分法，由左右側隧道土體損失利用式(3)直接積分求得地表沉降W1和W2，二者相加即可求得變截面處的地表沉降。但這種疊加過于簡單且與現(xiàn)實不符。這是因為變截面處兩側隧道大小發(fā)生突變，但兩側隧道連接處土體損失并不會隨之發(fā)生突變，而是相對緩和且連續(xù)的，即變截面連接處的土體損失是漸變的，不可簡單地認為是兩側隧道的土體損失引起地表沉降的疊加。本文將變截面處的土體損失等效為以Y=0為中點的線性漸變段，其主要影響范圍為(-a，a)，a根據(jù)相關實測數(shù)據(jù)取為隧道埋深0.2H，視其影響范圍內(nèi)的隧道土體損失是線性漸變過程，如圖3(b)所示。

2.1 變截面隧道引起的地表沉降

考慮到變截面連接處的線性過渡段，將整個隧道沿Y軸方向分3 段進行積分，其中Y＜-a處橫截面積分邊界不變，為Ω1和ω1，同理，Y>a時橫截面積分邊界也不變，為Ω2和ω2。則可分別求出這2個積分段的沉降W1(X，Y)和W2(X，Y)：

圖3 變截面線性變化模型示意圖Fig.3 Diagram of variable cross section linear variation model

在變截面過渡段即-a

據(jù)此可求出過渡段隧道開挖引起的地表沉降W'(X，Y)：

將3個積分段的沉降量相加即為變截面隧道開挖引起的沉降量W(X，Y)：

2.2 變截面隧道引起的橫向水平位移

與地表沉降的計算方法類似，將隧道沿Y軸方向分為3個積分段，分別積分即可求得變截面隧道開挖引起的橫向水平位移U(X，Y)：

2.3 模型參數(shù)確定

在本文的地表沉降與水平位移計算公式中，需要確定β和ΔR這2個關鍵參數(shù)，韓煊[22]將國內(nèi)應用比較成熟的Peck 公式與隨機介質(zhì)理論相結合，對β定義如下：

式中：φ為上覆土體的土層內(nèi)摩擦角，(°)。

收縮半徑ΔR是施工隧道條件的綜合反映，一般使用Peck公式中的地層損失率Vl來求ΔR，具體計算方法見表1[22]。

表1中，Vl往往通過工程經(jīng)驗選取。對于開敞式的隧道施工，在硬黏土(例如倫敦黏土)地層中，地層損失率一般為1%～2%；對于密閉式的隧道施工(例如土壓平衡或者泥水盾構)，可以很好地控制地層沉降，因此，地層損失率較小。

表1 斷面收縮半徑ΔR計算公式Table1 Calculation formulas of the section shrinkage radius ΔR

2.4 變截面拱形隧道地表沉降分析

確定直墻圓拱形隧道截面積分邊界較復雜，在求解過程中計算量較大，下面將其進行簡化處理。簡化計算模型如圖4所示。將拱形隧道視為均勻收斂，具體的積分區(qū)間可按不同圓弧段和直線段分段進行積分[11]。由于以上積分較為復雜，在實際計算中也可以將收斂變形面積簡化為隧道頂部的均勻下沉s，由此求得地表下沉；可將沉降視作均勻沉降s，能直接求得線性變化的積分邊界方程進行積分。由于該模型將收斂變形面積集中在隧道頂部，故將H取值為截面拱頂埋深，寬度為B。此時，有：

式中：Ω1，ω1，s1和B1分別表示截面連接處左側隧道坍縮前的幾何邊界、隧道坍縮后的幾何邊界、均勻下沉量和隧道寬度，Ω2，ω2，s2和B2分別為截面連接處右側隧道相對應的物理量。

由拱形截面的近似收斂邊界方程，可求得地表土體的橫向和縱向位移。

通過2個截面隧道的邊界方程可以得到：

將式(8)、式(9)和式(10)代入式(5)可得拱形變截面隧道的地表沉降：

圖4 簡化計算模型示意圖Fig.4 Diagram of simplified calculation model

同理，將式(8)，式(9)和式(10)代入式(6)可得到地表的橫向水平位移UX(X，Y)：

下面對地表沉降進行分析。將tanβ=2，隧道埋深H=18 m，2個截面橫向跨度B1=16 m，B2=24 m，縱向高度D1=16 m，D2=24 m， 地層損失率Vl=0.9%，影響范圍a=0.2H=3.6 m 等參數(shù)代入式(11)。令變截面連接處Y=20 m，隧道橫斷面中軸線X=0 m，運用MATLAB繪出式(11)的沉降曲面，如圖5(a)所示。由圖5(a)可知離變截面較遠的橫截面沉降曲線仍符合恒截面隧道鐘形沉降的分布特點，沉降槽的形狀在距離變截面較近處的水平和豎直方向上近似呈斜直線變化。

圖5 模擬沉降曲面示意圖Fig.5 Diagram of simulated settlement surface

在圖5(a)中截取隧道縱向中軸線的沉降曲線，如圖5(b)所示。由圖5(b)可見地表沉降在距變截面13 m 之外即Y<7 m 與Y>32 m 處沒有改變；在7

以圖5(b)為基礎，在同一截面處去掉3.6 m 的線性過渡段，直接進行隨機介質(zhì)法積分得到沉降曲線，如圖5(c)所示。由圖5(c)可知2 條沉降曲線趨勢相同，都具有曲線段和直線段2 個沉降變化。通過數(shù)據(jù)比對分析得到：

1)在距離變截面較遠處(Y>32 m 或Y<7 m)，2種方法算出的沉降量相等，視作沒有受到截面變化的影響，并且在2 種截面交匯之處(Y=20 m)，2種方法的沉降量也完全一致。

2)在2 條沉降曲線的弧線變化段，雖然Y不同，但弧線變化段的沉降量都為-17～-16 mm，-24～-23 mm；沉降最大差值出現(xiàn)在Y=15 m 與Y=25 m 處，沒有采用隧道過渡段的曲線在這2 處的沉降量分別為-23.17 mm 與-16.11 mm，使用直線過渡段計算方法得到的沉降量分別為-22.06 mm和-17.04 mm。使用直線過渡段的方法所得曲線斜線段的斜率較直接積分法所得曲線的斜線段斜率更小，這表明采用線性過渡段的沉降曲線在變截面附近變化更加緩和，更加符合在實際工程中沉降和沉降槽在地表均勻分布的特點。

3 工程環(huán)境參數(shù)分析

3.1 圍巖主要影響角正切與埋深的比值(tanβ/H)對地表沉降的影響

不同主要影響角下的地表沉降示意圖，如圖6所示。由圖6(a)可見：3 條沉降曲線除了tanβ/H有所差異外，其余工況環(huán)境條件均完全相同。當圍巖或覆土的內(nèi)摩擦角φ減小時，主要影響角的正切tanβ與埋深H的比值增大。在沉降曲面上表現(xiàn)為沿隧道開挖方向沉降量增大且沉降更加向軸線集中。

由圖6(b)可見：在變截面交匯斷面的隧道中心處，當tanβ/H分別取0.5/18 m-1的1，2 和3 倍時，沉降量分別為－10.48，－16.70和－19.06 mm，通過計算得到在中軸線的沉降，即最大沉降Wmax與tanβ/H的關系：

圖6 不同主要影響角下的地表沉降示意圖Fig.6 Schematic diagram of surface sedimentation under different main influence angles

由圖6(c)可見：tanβ/H越大，沿隧道縱向中軸線上的沉降值越大。并且隨著tanβ/H增大，2個截面沉降在過渡段范圍內(nèi)減小，曲線更加陡峭，變化也更劇烈。

由圖6(c)可知：在Y=0 處，曲線1 和曲線2 差異較大，為10 mm左右；Y=20 m處曲線1和曲線2的差距有所減小，在10 mm 以內(nèi)；Y=40 m 時曲線1和曲線2差距最小。而曲線2和曲線3沉降量差值在Y為0，20 和40 m 處均為2.5 mm 左右，這表明tanβ/H的差異在跨度較大的截面處表現(xiàn)更為明顯。

3.2 隧道橫截面的跨度(R)對地表沉降的影響

許多隧道橫截面可視作圓形處理，隧道半徑即隧道跨度決定了隧道本身的面積，也決定了開挖過程中土體損失的體積即沉降槽的體積。同時，有效半徑也影響了橫向的積分區(qū)域。

在沉降曲面中，隨著隧道跨度增大，無論是在中軸線附近還是距離開挖面較遠處，隧道沉降量都在增大，如圖7(a)所示。

由圖7(b)可得：隧道跨度按1.0，1.5 和2.0 倍擴大時，變截面隧道中心的沉降量分別為-7.08，-13.37和-19.06 mm，故有：

在圖7(c)中，隧道截面1在遠離變截面處的沉降量分別為-9.11，-17.33 和-23.70 mm，截面2 在遠離變截面處的沉降量分別為-4.77，-9.47 和-14.48 mm，與式(19)所得的結果基本符合。此外，無論隧道的跨度如何變化，地表沉降曲線的形狀和趨勢基本一致，曲線段和直線段沿隧道的長度全部相等，這表明跨度的變化只影響了沉降槽的大小而沒有影響沉降槽的形狀。

在Y=0處曲線1和曲線2以及曲線2和曲線3的沉降量差值均為7 mm；在Y=20 m處曲線1和曲線2，曲線2 和曲線3 的沉降量差值均減小至6.2 mm左右；Y=40 m時3條曲線差距最小，曲線1和曲線2，曲線2和曲線3的沉降量差值為5 mm左右，結合3.1節(jié)的研究結果可知跨度更大的隧道的沉降量受tanβ/H的影響更大。

通過對本文計算公式中工程環(huán)境參數(shù)分析可得：隧道變截面處tanβ/H較大時，沿隧道開挖方向的地表沉降曲線變化較為劇烈，此時容易出現(xiàn)上覆土體連續(xù)性破壞以及變截面處隧道支護結構的應力集中現(xiàn)象，影響隧道區(qū)域的安全。因此，設計變截面隧道時，控制tanβ/H較小比較安全、合理。

圖7 不同有效半徑下的地表沉降示意圖Fig.7 Schematic diagram of surface sedimentation at different effective radius

4 工程應用分析

廖公莊站為北京地鐵6 號線西延線第4 個車站，位于巨山路下穿田村路下拉槽內(nèi)，沿東西方向設置。車站主體結構建筑面積為11 198.5 m2，總建筑面積為19 802 m2。車站為暗挖雙層三跨、四跨組合結構，中間為長134.2 m、寬22.9 m 的三跨結構，兩側為左側長35.75 m、右側長53.9 m 寬30.8 m 的四跨結構，島式站臺寬14 m，車站總長243.6 m，結構覆土為5.66~12.99 m。車站主體采用PBA法逆筑暗挖施工。車站底板埋深24.9~28.8 m。車站東西兩端均接區(qū)間礦山法施工段，區(qū)間隧道設置有渡線段，其中有明顯的變截面區(qū)域在3號安全口附近。

變截面的數(shù)值模型計算共建立2個隧道即渡線大斷面隧道以及其鄰側的標準斷面隧道，計算模型圖如圖8所示。

圖8 計算模型Fig.8 Calculation model

根據(jù)該工程現(xiàn)場條件，埋深H=24 m，取變截面影響長度a=0.2H=3.6 m。標準斷面隧道距渡線隧道12 m，隧道的跨度即為隧道的高度。將這些工程數(shù)據(jù)代入式(13)。總的沉降分為不變截面隧道引起的沉降和變截面隧道引起的沉降。

4.1 不變截面隧道引起的沉降

式中：s3和s4分別為不同跨度隧道截面的平均沉降。

4.2 變截面隧道引起的沉降

則總的沉降量為

根據(jù)現(xiàn)場實測的土層內(nèi)平均摩擦角30.2°，求得tanβ=0.96，并且由于工程上覆土體以砂土和砂卵石層為主，采用PBA 工法，依據(jù)經(jīng)驗將Vl定為0.60%[22]，計算并使用MATLAB 繪制出沉降曲面圖，見圖9。

圖9 理論計算結果Fig.9 Theoretical calculation results

分析沉降數(shù)據(jù)與圖9，得出沉降規(guī)律如下：

1)沿開挖方向，沉降主要集中于距起始開挖面0~15 m處；

2)沿截面橫向，由于渡線大斷面隧道周邊開挖1個標準斷面隧道，沉降主要集中于距截面對稱軸線0.6 m處；

3)地表沉降的曲率在隧道變截面處有所變化，主要是在過渡段變截面處較為明顯。

為了驗證計算結果的正確性，依據(jù)現(xiàn)場實測地表沉降位置，布設7 個沉降計算斷面，如圖10所示。

變截面大斷面隧道施工引起地表沉降曲線在不同斷面處的變化規(guī)律不同，具有明顯的三維特征。將沉降穩(wěn)定后的實測結果進行統(tǒng)計，結果如圖11所示。

由圖11可以得到：土體的整體移動趨勢是朝向隧道最大斷面位置，是向大斷面隧道平移與豎向沉降的疊加結果；從變截面隧道中線上的地表沉降曲線來看，土體的縱向沉降規(guī)律近似傾斜直線，都與計算結果繪制的沉降曲面分布規(guī)律相一致。

圖10 地表監(jiān)測點布設圖Fig.10 Layout of ground monitoring points

圖11 實測沉降結果Fig.11 Measured settlement results

將實測沉降結果與理論計算結果進行比較，并選擇部分關鍵節(jié)點數(shù)據(jù)進行對比，結果見表2。其中，斷面2，3和4分別對應過渡段隧道的3個變截面。

對比實測沉降量與引入變截面過渡段的計算沉降量可知計算結果與實際結果基本一致?？v向來看，距隧道大斷面中心越近，沉降越大。

沉降量計算結果總體較實測結果偏大，在中軸線上2 種結果基本相等，差值均在1 mm 之內(nèi)。但在距隧道開挖中軸線較遠處二者差距較大，尤其在距離中軸線較遠處。在斷面2距中線12 m處，差值最大為1.32 mm，可能是因為均勻收斂模型與實際情況有所差別，幾何關系中均勻收斂模型與非均勻收斂模型在隧道兩側的差距尤為明顯，后續(xù)將進一步考慮非均勻收斂模型下的變截面問題。

將引入變截面過渡段的積分方法計算結果與直接積分法計算結果進行對比，可知：

1)在絕大多數(shù)區(qū)域，考慮變截面過渡段的沉降量更加接近實測值，引入過渡段計算變截面隧道開挖引起的地表沉降量更加符合工程實際。

2)沿隧道橫向分析，隧道中心處，2種計算方法的沉降量差值較小，均在1 mm以內(nèi)；距隧道中軸線12 m處，2種計算方法所得地表沉降量差值明顯增大至2 mm 左右；而距離更遠時，2 種計算結果所得的差距又有所減小，其中在(X，Y)坐標值為(-15 m，20 m)的地表點，這2 種計算方法所得的沉降量完全相同。

3)沿隧道縱向分析，斷面2處引入變截面過渡段的地表沉降量略小于直接積分方法的結果，在斷面3處這2種計算方法的結果基本相等；在斷面4處，考慮變截面過渡段方法的沉降量大于直接積分法所得沉降量，沉降槽的整體分布與線性過渡段的沉降曲線在變截面附近變化更加緩和的特點相符。

表2 不同方法沉降量計算結果與實測沉降量對比Table2 Comparison between calculation results of settlement from different methods and measured settlement data

5 結論

1)在變截面附近處，地表沉降沿隧道開挖方向呈斜直線變化，隨著距離的增大，地表沉降由直線過渡為曲線且最終呈平直線分布，斜率逐漸減小最終趨近于0。

2)圍巖影響角的正切tanβ與埋深H的比值對隧道開挖引起的沉降影響較大，沿隧道開挖方向，隨著tanβ/H增大，地表沉降量增大，且變截面處地表沉降曲線斜率增大，影響范圍減?。谎厮淼罊M向，隧道橫斷面上方的地表沉降槽曲線隨著tanβ/H增大變得“窄而深”，沉降量變大，影響范圍減小。

3)隧道跨度R對隧道開挖引起的地表沉降影響較大，隨著跨度R增加，地表沉降量增大，變截面處地表沉降影響范圍不變，曲線斜率基本不變，僅豎向位移增大。

4)在設計變截面隧道時，控制其圍巖影響角的正切tanβ與埋深H的比值較小，可以保證隧道上覆土體的連續(xù)性和支護結構的穩(wěn)定，更加安全合理。

5)在變截面處引入直線過渡段求得的地表沉降與實測值更加吻合，尤其在變截面處，其沉降量與現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)有較好的一致性，可為類似工程實踐提供參考。