白依夢 梁中華 翟晨輝 辛 月

（長安大學(xué) 西安 710064）

1 引言

近年來，隨著移動數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)量急劇增長，為滿足移動通信系統(tǒng)對頻譜效率和數(shù)據(jù)速率的需求，第五代（5th Generation，5G）移動通信技術(shù)被提出。其中，大規(guī)模多輸入多輸出（Massive Multiple Input Multiple Output，Massive MIMO）技術(shù)是5G移動通信技術(shù)中的主要技術(shù)之一［1］，它能有效減少多用戶之間的干擾，提高系統(tǒng)信道容量及頻譜效率［2］。

在下行鏈路中，與傳統(tǒng)MIMO技術(shù)配置的幾個發(fā)射天線和接收天線相比，Massive MIMO在基站配置幾十根甚至上百根天線以滿足用戶需求，基站與用戶間的信道矩陣也會隨之變大，從而需要在接收端處理大量數(shù)據(jù)，尤其是矩陣計算。在下行鏈路中，預(yù)編碼技術(shù)是將接收端的數(shù)據(jù)處理轉(zhuǎn)移到發(fā)射端，從而降低接收端信號處理的復(fù)雜度［3］。同時，預(yù)編碼技術(shù)也可以減小系統(tǒng)的硬件成本，提高用戶間的公平性。但該技術(shù)涉及大矩陣求逆問題，因此，在Massive MIMO系統(tǒng)中需要設(shè)計高性能、低復(fù)雜度的算法來降低預(yù)編碼算法的復(fù)雜度。

預(yù)編碼算法矩陣求逆的方法，分為線性預(yù)編碼和非線性預(yù)編碼。與線性預(yù)編碼相比，非線行預(yù)編碼算法在Massive MIMO系統(tǒng)中運算復(fù)雜度高、對硬件設(shè)備要求高，所以本文只考慮線性預(yù)編碼。經(jīng)典的線性預(yù)編碼有：迫零預(yù)（Zero Forcing，ZF）編碼［4］、正則化迫零（Regularized Zero Forcing，RZF）預(yù)編碼［5］和匹配濾波器（Matched Filter，MF）預(yù)編碼［6］。對于這幾種線性預(yù)編碼方法，MF預(yù)編碼在天線數(shù)量與用戶數(shù)量分別為88和77.7時，系統(tǒng)性能達到最佳，但會失去Massive MIMO的特性［7］；ZF預(yù)編碼的缺點是沒有考慮噪聲對系統(tǒng)的影響。因此針對以上兩種算法的缺點，RZF預(yù)編碼中的正則化因子使算法性能達到最佳［8］。上述幾種預(yù)編碼方法都是對信道矩陣直接求逆，為減小矩陣直接求逆的復(fù)雜度，一些學(xué)者提出用不同方法近似矩陣求逆，現(xiàn)有方法有：Neumann級數(shù)法［9］是用級數(shù)求和方法近似矩陣求逆；高斯賽德爾（Gauss-Seidel，GS）迭代法是把矩陣求逆問題轉(zhuǎn)換成求解線性方程式的解［10］；在GS迭代法基礎(chǔ)上提出引入了變量松弛因子來提高收斂速率的新算法，稱之為超松弛（Successive Over Relaxation，SOR）迭代法［11］；牛頓（Newton）迭代法［12］是用牛頓迭代近似矩陣求逆的方法。

為了加快Newton迭代法收斂速度較慢的問題，本文基于SOR迭代法思想得到超松弛矩陣求逆（Successive Over Relaxation-Matrix Inversion，SOR?MI）迭代法，并將其與Newton迭代法相結(jié)合，提出SORMI-Newton聯(lián)合算法。文中分析了SOR?MI-Newton聯(lián)合算法的收斂條件。通過實驗仿真結(jié)果比較SORMI算法、Newton算法和SOR?MI-Newton聯(lián)合算法的收斂速度。

2 系統(tǒng)模型

本文模型是在單小區(qū)多用戶Massive MIMO系統(tǒng)中，在下行鏈路上基站端配置M根天線來滿足接收端K個單天線用戶的需求，其中M?K。接收端的每個用戶接收的信號可以表示為

其中，ρ表示下行鏈路的信噪比；H∈?K×M表示平坦瑞利衰落的信道矩陣，其元素服從均值為0，方差為1的標準正態(tài)分布；n∈?K×1表示加性高斯白噪聲向量，其元素服從均值為0，方差為σ2的標準正態(tài)分布x∈?M×1表示通過預(yù)編碼后的信號向量，計算如下：

其中，W ∈?M×K表示預(yù)編碼矩陣；s∈?K×1表示調(diào)制信號。

3 預(yù)編碼算法

ZF預(yù)編碼算法沒有考慮噪聲影響，在文獻［5］中提出的RZF預(yù)編碼算法為了減小噪聲對系統(tǒng)的影響在ZF算法中加入了正則化系數(shù)，其預(yù)編碼矩陣表示如下：

記

將式（3）、（4）帶入式（5）可得

其中，β表示功率歸一化因子；ε表示正則化系數(shù)［13］。從式（5）看出RZF算法需要計算矩陣求逆。下面介紹如何用聯(lián)合算法近似矩陣求逆。

GS迭代法在于迭代初始值，即在迭代初期能夠獲得較好的性能［3］，SOR迭代法是在GS迭代法的基礎(chǔ)上引入的變量松弛因子提高算法的收斂速率。因此SOR算法和GS迭代法一樣在迭代初期就可以獲得良好性能。Newton迭代法的特點是迭代初始值計算復(fù)雜，它的優(yōu)勢體現(xiàn)在迭代后期，隨著迭代次數(shù)的增加，Newton迭代法的性能逐漸變好［3］。因此本文提出把Newton迭代法與SOR迭代法組合可以集合兩者的優(yōu)勢。在Newton迭代之前首先進行SOR迭代，能夠改善牛頓迭代法的迭代初始值，獲得更有效、快速的搜索方向，從而使得牛頓迭代法快速收斂的特性在迭代初期就體現(xiàn)出來。

3.1 SORMI算法

Newton迭代法是對的G-1的估計，而SOR迭代法是采用求解線性方程組的方法。假設(shè)：

則

在求解方程式（7）時，把矩陣G可以分解為

其中，D、-U和-L分別代表對角陣、嚴格上三角矩陣和嚴格下三角矩陣，其元素與矩陣G中的元素一一對應(yīng)。SOR迭代法表示如下［14］：

其中，i表示迭代次數(shù)；ω表示最優(yōu)松弛因子。一般情況下迭代初始值f（0）取零向量。

從方程（7）可以看出f的解是G-1s，即SOR迭代法求解結(jié)果是預(yù)編碼矩陣的逆與調(diào)制信號的乘積。該方法復(fù)雜度較低，但如果要使用G-1的值就很難從G-1s的結(jié)果中分離出來。如式（10）所示，計算系統(tǒng)總數(shù)據(jù)速率C［15］需要G-1的值。同樣，SOR迭代結(jié)果也無法用作牛頓迭代法的初始值。因此提出SORMI迭代法，該算法從迭代前將s分離出來先求解G-1，具體迭代方法見引理1。

其中，tr（）表示矩陣的跡。

引理1：當(dāng)i→∞時，Z(i)趨近于G-1，其中 Z(i)可通過下面公式迭代獲得

證明：文獻［12］提出當(dāng)?shù)跏贾禐镈-1時，算法收斂速度較快。

當(dāng) i=0時，取Z（0）=D-1，且 f（0）=D-1s。

當(dāng) i=k時，假設(shè)f（k）=Z（k）s成立，則

由引理1，式（11）可得，當(dāng)i=k+1時，

將式（14）帶入式（13）可得

由數(shù)學(xué)歸納法可知，f（i）=Z（i）s成立。

因為當(dāng) i→∞時，f（i）→G-1s，所以 Z（i）→G-1。

從上述引理可知，SORMI迭代法是直接對G-1的估計。該方法便于將G-1用于其他計算，與現(xiàn)有的SOR迭代結(jié)果相比SORMI迭代結(jié)果使用范圍更廣。

3.2 SORMI-Newton聯(lián)合算法

SORMI-Newton聯(lián)合算法（以下簡稱聯(lián)合算法）步驟如下。

第一步：設(shè)定初始值；

第二步：進行一次SORMI迭代；

第三步：進行Newton迭代，直到滿足需要的性能。

4 聯(lián)合算法收斂性分析

由聯(lián)合算法可知，該算法是否收斂主要取決于在該算法的第二階段Newton迭代算法是否收斂。收斂條件為

采用文獻［12］的方法，對算法收斂性分析，在不同天線配置時求α的值，Z（1）表示一次 SORMI迭代的值，結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同M/K時聯(lián)合算法收斂情況

在圖1中，圖中的數(shù)代表從上往下M/K的值。當(dāng)M/K=1，α＞1，所以聯(lián)合算法不收斂；當(dāng)M/K≥2時，滿足收斂條件α＜1，聯(lián)合算法收斂。并且隨著M/K的增大，α的值越小，聯(lián)合算法收斂概率越大。與此形成對比文獻［12］中，當(dāng)M/K≥6時，Newton迭代法才能收斂。所以本文提出的聯(lián)合算法可以在確保接收端用戶通信質(zhì)量的前提下減少發(fā)射端天線數(shù)量的配置，能有效減少系統(tǒng)硬件成本。

5 仿真結(jié)果

為了驗證聯(lián)合算法性能，對SORMI迭代法、Newton迭代法、聯(lián)合算法及RZF算法的誤碼率進行仿真，通過誤碼率評估各個算法的收斂性的差異。因為RZF預(yù)編碼是對G-1的準確計算，所以把RZF預(yù)編碼的BER作為基準線用來衡量其他算法在不同迭代次數(shù)時對G-1估算的準確程度。仿真采用信號調(diào)制方式為16QAM。

由圖2可知，所有算法的誤碼率隨著信噪比的增大而減小。以RZF預(yù)編碼的仿真結(jié)果為基準線，在M×K=256×64的配置下Newton迭代法性能損失非常大。當(dāng)?shù)螖?shù)i=2時，SORMI迭代法與聯(lián)合算法的結(jié)果都不理想；當(dāng)i=3時，在高信噪比下，聯(lián)合算法的誤碼率比SORMI迭代法的誤碼率小，甚至接近i=4時的SORMI迭代法的誤碼率；特別是在迭代次數(shù)i=4時，聯(lián)合算法的性能已達到RZF算法，而其他算法還存在性能損失。通過以上分析可知，在相同信噪比下聯(lián)合算法通過更少的迭代次數(shù)精確估計出了G-1。

圖2 Massive MIMO系統(tǒng)M×K=256×64配置下算法BER性能比較

由圖3可知，在M×K=256×32時，牛頓迭代也能很好的收斂，在相同迭代次數(shù)、相同信噪比時，聯(lián)合算法的誤比特率更小。由圖2、圖3可知，算法收斂速度由快到慢依次為SORMI-Newton聯(lián)合算法、SORMI迭代法、Newton迭代法；同時，在相同信噪比下，當(dāng)基站用相同數(shù)量的天線服務(wù)更少的用戶數(shù)量時系統(tǒng)誤碼率更小。

圖3 Massive MIMO系統(tǒng)M×K=256×32配置下算法BER性能比較

6 結(jié)語

為了加快Massive MIMO系統(tǒng)中Newton迭代預(yù)編碼算法的收斂速度，本文提出SORMI-Newton聯(lián)合算法。該算法是基于SOR迭代法得到SORMI迭代法，并將其與Newton迭代法結(jié)合。通過理論分析及仿真實驗得到以下結(jié)論。

1）SORMI迭代法的迭代結(jié)果具有更廣泛的應(yīng)用。

2）SORMI-Newton聯(lián)合算法的收斂性對不同的基站天線數(shù)量與用戶數(shù)的比值（M/K）情況具有更強的魯棒性。

3）與SORMI迭代法和牛頓迭代法比較，聯(lián)合算法收斂速度更快，可以通過更少的迭代次數(shù)實現(xiàn)與RZF預(yù)編碼相同的BER性能。