■江蘇省南京市江寧高級中學(xué) 唐 杰

本文對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解題中的常見誤區(qū)分類例析,剖析其出錯的原因,并給出警示,希望能引起同學(xué)們的高度重視。

誤區(qū)1——外層函數(shù)奇偶性判斷中忽略整體變量的范圍

剖析：換元求出表達(dá)式時忽略新變量的值域應(yīng)為外層函數(shù)的定義域。

正解：設(shè)u=x2-3,由題設(shè)知x2-6＞0,則u=x2-3=(x2-6)+3＞3,解出x2=u+3,代入有f(u)=lg其定義域為(3,+∞),則f(x)=lg,定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱,故外層函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)。

警示：判斷外層函數(shù)的奇偶性,實(shí)質(zhì)是利用換元法求外層函數(shù)的表達(dá)式,換元過程中一定要注意原變量的值域,這個值域為外層函數(shù)的定義域。

誤區(qū)2——分段函數(shù)在R上的單調(diào)性忽略分界點(diǎn)函數(shù)值的大小

錯解：要使得f(x)在R上是增函數(shù),則兩個函數(shù)y=(2-a)x+1與y=ax均為增函數(shù),所以1＜a＜2。

剖析：只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù),忽視f(x)在分界點(diǎn)附近函數(shù)值的大小關(guān)系。

正解：要使得f(x)在R上是增函數(shù),則兩個函數(shù)g(x)=(2-a)x+1與h(x)=ax均為增函數(shù),并且還要滿足在x=1處,有2,所以a的取值范圍是

警示：分段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)到R上單調(diào),既要保證區(qū)間上單調(diào)又要注意區(qū)間分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系。

誤區(qū)3——分段函數(shù)不等式求解忽略分類或每段的前提條件

警示：分段函數(shù)不等式求解,利用分類討論思想,關(guān)鍵在于“對號入座”,即分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定,代入相應(yīng)的解析式求解不等式,注意取值范圍的大前提,然后把兩個不等式的解集并起來即可。

誤區(qū)4——二次函數(shù)有一個零點(diǎn)誤用判別式

例4函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1的圖像與x軸只有一個交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

錯解：由Δ=0解得m=0或m=-3。

剖析：錯解未考慮m-1=0的情況。

(1)當(dāng)m-1=0,即m=1時,f(x)=4x-1與x軸只有一個交點(diǎn),滿足題意;

(2)當(dāng)m-1≠0時,Δ=4(m+1)2-4×(-10)×(m-1)=0,解得m=0或m=-3。

綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3,0,1｛ ｝。

警示：二次函數(shù)有一個零點(diǎn)時一定要分清是R上還是區(qū)間上,R上可用判別式,區(qū)間上單純地用判別式求解會出錯,此時應(yīng)用根的分布求解。

誤區(qū)5——二次方程根的分布忽略條件

例5 是否存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得關(guān)于x的方程x2+(2k-3)x-(3k-1)=0有兩個實(shí)數(shù)根,且兩根都在0與2之間?如果有,試確定k的取值范圍;如果沒有,試說明理由。

剖析：方程兩根都在0與2之間,根據(jù)圖像特征,可知除滿足上述條件外,還要考慮二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間(0,2)內(nèi)。

正解：令f(x)=x2+(2k-3)x-(3k-

警示：一元二次方程的根的分布,可以作出對應(yīng)二次函數(shù)圖像進(jìn)行判斷,主要從開口方向、判別式、對稱軸、區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的正負(fù)等構(gòu)建不等式組求解。

誤區(qū)6——冪函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用中缺少分類意識

例6 若(m+1)4＜(3-2m)4,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

錯解：由(m+1)4＜(3-2m)4和冪函數(shù)的性質(zhì)知,m+1＜3-2m,解得

剖析：錯解中誤認(rèn)為m+1,3-2m都在區(qū)間[0,+∞)內(nèi),y=x4在[0,+∞)上單調(diào)導(dǎo)致漏解。

正解：若注意y=x4的圖像關(guān)于y軸對稱的特點(diǎn),利用絕對值將問題化歸為在(0,+∞)上的單調(diào)性,來尋求簡捷的思路。由于α=4時,x4=|x|4。于是有(m+1)4＜(3-2m)4,即|m+1|4＜|3-2m|4。又因為冪函數(shù)y=x4在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以|m+1|＜|3-2m|,解得m＜,或m＞4。

警示：本題巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題,從而避免了分類討論,使同學(xué)們的思維又一次得到深化與發(fā)展。解題過程中利用圖像關(guān)于y軸對稱的特點(diǎn),將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為含絕對值不等式的解法,蘊(yùn)含的這種“轉(zhuǎn)化”思想,既拓寬了我們的解題思路,同時也體現(xiàn)了對知識的靈活應(yīng)用能力,當(dāng)然此題還可用分類討論的方法解決,同學(xué)們不妨一試。

誤區(qū)7——混淆過曲線某點(diǎn)的切線與在某點(diǎn)處的切線

例7 求過點(diǎn)A(2,8),且與曲線f(x)=x3相切的直線方程。

錯解：因為f′(x)=3x2,所以f′(2)=12,則切線方程為y-8=12(x-2),所以y=12x-16。

剖析：錯解混淆了“過某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)”處的切線的概念,因此應(yīng)考慮A(2,8)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況。

(1)當(dāng)A(2,8)是切點(diǎn)時,由錯解可得到切線方程為y=12x-16。

(2)當(dāng)A(2,8)不是切點(diǎn)時,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0)(x0≠2),切線斜率為k。

綜上所述,所求切線方程為y=12x-16或y=3x+2。

警示：(1)曲線的切線不一定和曲線只有一個交點(diǎn)。(2)“在”某一點(diǎn)的切線和“過”某一點(diǎn)的切線是兩個不同的概念。(3)在某一點(diǎn)的切線若有則只有一條,而過某一點(diǎn)的切線往往不只是一條。(4)用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率時,必須要設(shè)出切點(diǎn),采取“待定切點(diǎn)法”求解。如本題,當(dāng)A不是切點(diǎn)時,設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),切線斜率為k,三個未知量需用三個條件求解：①y0=f(x0),②k=f′(x0),③k=,解得切點(diǎn)坐標(biāo)得到其切線方程。

誤區(qū)8——混淆“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系

例8 函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,求a,b的值。

錯解：由f(1)=10,f′(1)=0,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3。

所以a=4,b=-11。

警示：對于可導(dǎo)函數(shù)而言,取到極值的充要條件是兩側(cè)異號?！皩?dǎo)數(shù)為零”是“有極值”的必要條件。

誤區(qū)9——誤認(rèn)為分段函數(shù)的極值只能在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)處取得

例9 求函數(shù)f(x)=|x2-x-6|的極值。

剖析：在確定極值時,只討論滿足f′(x)=0的點(diǎn)x0附近導(dǎo)數(shù)的符號變化情況是不全面的,在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能存在極值。在錯解中,補(bǔ)充在x=-2和x=3處函數(shù)取到極小值0。

警示：分段函數(shù)的極值可能存在于導(dǎo)數(shù)為零處,也可能存在于函數(shù)的分段點(diǎn)處。作出其圖像,數(shù)形結(jié)合是最保險的方法。