程 珍，章益銘，涂宇淳

(浙江工業(yè)大學 計算機科學與技術(shù)學院， 杭州 310023)

E-mail ：chengzhen@zjut.edu.cn

1 引 言

目前，分子通信(Molecular communication，MC)的研究主要集中在靜態(tài)MC系統(tǒng)[1,2].在靜態(tài)MC中，發(fā)送方納米機器(Transmitter Nanomachine，TN)和接收方納米機器(Receiver Nanomachine，RN)是固定的.而在移動的MC中，納米機器均處于移動的狀態(tài)，這在很多實際應用，例如在人體內(nèi)藥物投送、健康監(jiān)測、目標檢測等應用中更為常見[3,4].因此，移動的MC是納米網(wǎng)絡中最為實用的分子通信方式.

移動的MC技術(shù)的研究還在起步階段.最早期移動MC的工作來自于2012年Guney等人的工作[5]，他們設(shè)計了可移動的ad hoc分子納米網(wǎng)絡，研究了影響該納米網(wǎng)絡平均發(fā)送時延和吞吐量性能的因素.2014年，Kuscu等人[6]采用具有連續(xù)時間的馬爾可夫鏈生滅過程對單比特信息傳播進行建模，并分析了移動ad hoc分子納米網(wǎng)絡的信道容量和通信速率.2016年，Luo等人[7]提出了移動MC的時鐘同步策略，并通過基于最大似然估計的時鐘偏移估計方法推導了時鐘偏移估計量.同年，Qiu等人[8]為了減少移動納米機器人間的符號換位錯誤，提出了位置距離碼，該編碼方式較漢明距離碼大大降低了系統(tǒng)的比特錯誤率.

納米機器的移動方式和移動軌跡是研究移動MC系統(tǒng)的重點.2017年，Iwasaki等人[9]為非擴散的移動MC網(wǎng)絡的建立了數(shù)學模型，數(shù)學分析表明了處于穩(wěn)態(tài)的納米機器將根據(jù)給定的目標分布進行分布.Nakano等人[10]建立了基于領(lǐng)導者-追隨者模式的移動MC模型，該模型可用于移動MC納米網(wǎng)絡的目標檢測.Haselmayr等人[11]在一維無界的流體環(huán)境中建立基于高斯分布的隨機信道模型，推導出納米機器第一次碰撞時間的概率密度函數(shù).同年，文獻[12]采用布朗運動來模擬納米機器的移動性，通過適當修改信息分子的擴散系數(shù)來準確捕獲信道的時變行為，并推導出了適用于該系統(tǒng)的簡單檢測器的預期錯誤率.

2018年，Ahmadzadeh等人[13]建立了三維的點對點移動MC的隨機信道模型，得到了信道脈沖響應的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)的表達式.Chang等人[14]考慮到移動MC中納米機器之間距離的動態(tài)變化將引起信道脈沖響應和ISI的改變，提出了相應的信號檢測方案以及減少ISI的方案.Lin等人[15]考慮了碼間干擾ISI以及與信道脈沖響應相關(guān)的噪聲，推導出了該信道條件下單跳移動MC系統(tǒng)的互信息和最大可達速率的計算公式.

與已有的工作相比較，論文[13]建立了移動的MC系統(tǒng)的隨機信道模型，并用布朗運動模擬發(fā)送方和接收方納米機器的移動性，但沒有分析該移動分子通信系統(tǒng)的信道容量性能.論文[15]利用正態(tài)分布對接收方納米機器的接收概率密度分布進行逼近，本文則采用泊松分布逼近二項分布，豐富了系統(tǒng)的建模.本文分析了該單跳移動MC系統(tǒng)的信道特征，推導出在多時隙碼間干擾(Inter-symbol interference，ISI)下該系統(tǒng)的信道容量和比特錯誤率.此外，采用加權(quán)和檢測器對RN進行建模，得到了最佳的判決值，可通過控制系統(tǒng)參數(shù)的值，從而達到提高信道容量和降低比特錯誤率的目的.

2 系統(tǒng)模型

考慮由一個TN，一個RN以及流體介質(zhì)構(gòu)成的一維移動的MC系統(tǒng)，并假定環(huán)境足夠大而使邊界不會限制傳播.TN和RN相隔一定距離且位于同一直線上，且假設(shè)TN和RN滿足時間上的同步.

考慮分時隙的移動MC系統(tǒng)，即t=nTs，其中t為信息傳輸?shù)臅r間，n為時隙的個數(shù)，Ts為每個時隙持續(xù)的時間.在每個時隙開始時，TN發(fā)送QA個A類型的信息分子表示發(fā)送信息比特1，不發(fā)送任何分子表示發(fā)送信息比特0.被TN釋放的信息分子在流體介質(zhì)中遵循布朗運動規(guī)則，可擴散至RN的檢測范圍，被RN接收.被RN接收到的分子不再存在于流體介質(zhì)中.

先考慮一維靜態(tài)的MC系統(tǒng)，即TN和RN的距離保持不變.則一個TN釋放的分子被RN收到的關(guān)于時間t的概率密度函數(shù)f(t)可表示為[2]：

(1)

其中，d0表示兩個納米機器TN和RN之間的距離，DA表示A類型的信息分子在介質(zhì)中的擴散系數(shù).

圖1 單跳移動的MC系統(tǒng)

(2)

(3)

假設(shè)TN和RN的運動相互獨立，并且它們無法穿過彼此，那么根據(jù)[11]中的結(jié)論，k個時隙后，信息分子首次進入RN檢測范圍的時間滿足的概率密度分布函數(shù)如下：

(4)

其中，Dtot=DTN+DRN，Dp,eff=DRN+DA，f(t)為公式(1)所定義的概率密度分布函數(shù)，d0為TN和RN的初始距離，erf(x)是標準的誤差函數(shù).不難看出，當DTN=DRN=0 m2/s時，即在TN和RN都固定的情況下，公式(4)即為公式(1).由公式(4)可知，f(t;k)的累積分布函數(shù)的累積分布函數(shù)用F(t;k)表示，即為在t時刻內(nèi)一個分子從發(fā)送方納米機器TN到達接收方納米機器RN的概率，即：

(5)

3 系統(tǒng)信道容量分析

對于RN接收分子和解碼過程，我們參考論文[16]中所述的方法，通過采用加權(quán)和檢測器對RN接收到的分子進行解碼，即將一個時隙周期劃分成多個獨立的更小的時間間隔，并將這些時間間隔內(nèi)RN收到的總分子數(shù)與檢測閾值比較，如果總分子數(shù)大于檢測閾值，則判定RN收到的比特為1；否則，判定RN收到的為比特0.假設(shè)第n個時隙檢測到的比特為Y[n]，則有:

(6)

其中，y[n]表示RN在第n個時隙結(jié)束時收到的分子數(shù)，ξ表示在RN處設(shè)定的用來判定RN收到的比特對應的檢測閾值.更具體地，我們將時隙周期Ts劃分成M等份，將劃分后的時間間隔t0稱為樣本時間，則有：

t0=Ts/M

(7)

用tm表示第一個比特間隙中的第m個樣本時間，即有：

tm=mt0

(8)

用t(n,m)表示第n個比特間隙的第m個樣本時間，由(8)可知，t(n,m)表示如下：

t(n,m)=(n-1)Ts+tm

(9)

(10)

假設(shè)S[n]表示TN在第n個時隙發(fā)送的比特，即S[n]∈{0,1}.因此，在S[n]已知的前提下，N[n]所服從的累積分布函數(shù)可表示如下：

(11)

其中，ξ表示RN的檢測閾值.

3.1 干擾分析

RN在當前時隙n收到的分子總數(shù)y[n]由兩部分構(gòu)成，1) RN接收來自TN當前時隙n釋放的分子數(shù)，用NC[n]表示；2) 由ISI產(chǎn)生干擾的分子數(shù)，用NISI[n].則y[n]表示如下：

y[n]=NC[n]+NISI[n]

(12)

(13)

其中，QA表示TN發(fā)送比特1時釋放的分子數(shù)，F(xiàn)(t(n-i+1,m))以及F(t(n-i+1,m-1))可結(jié)合公式(6)和公式(10)進行計算.

RN在當前第n時隙結(jié)束時收到來自TN在當前時隙釋放的分子個數(shù)用NC[n]表示，則NC[n]是一個泊松隨機變量，即NC[n]～Poisson(λC)，λC表示該泊松分布的均值.若用p1表示TN發(fā)送比特1的概率，發(fā)送比特0的概率則為(1-p1)，那么根據(jù)公式(14)，均值λC滿足如下等式：

(14)

同理，由于多個泊松隨機變量之和仍服從泊松分布，則NISI[n]滿足NISI[n]～ Poisson(λISI)，其均值λISI為：

(15)

3.2 信道容量分析

用Xn和Yn分別表示TN和RN在第n個時隙開始和結(jié)束時對應的輸入和輸出比特信息.假設(shè)TN在第n個時隙開始輸入比特信息為0，RN在第n個時隙結(jié)束時輸出比特信息為1的概率(誤報率)用PF表示；TN輸入為1，RN輸出為1的概率(檢測率)PD表示.則根據(jù)PF和PD的定義，我們有：

(16)

根據(jù)互信息定義，Xn和Yn的互信息I(Yn|Xn)可表示為：

(17)

而信道容量表示為互信息的最大值，由(17)式可得：

C=max(I(Xn;Yn))

(18)

H0表示TN在第n個時隙發(fā)送比特為0的假設(shè)情況，H1表示TN在第n個時隙發(fā)送比特為1的假設(shè)情況.在H0和H1假設(shè)情況下，RN在第n個時隙結(jié)束時收到的分子數(shù)用Zn表示，即有：

(19)

其中，NISI[n]和NC[n]可由公式(14)和公式(15)求得.用z表示隨機變量Zn的值，則由上節(jié)的分析可知，Zn在H0和H1兩種情況下均服從泊松分布，即滿足：

(20)

其中，λ0和λ1分別表示(20)式中兩個泊松分布的參數(shù).由(19)式可知，λ0和λ1的計算公式如下：

(21)

利用最小誤差準則[18]建立得到RN處閾值檢測的檢測方案，表示如下：

(22)

其中，P(H1)=p1，P(H0)=1-p1.P(H1)和P(H0)分別表示TN發(fā)送比特1和0的概率.P(z|H1)和P(z|H0)分別表示H0和H1假設(shè)情況下RN收到z個分子的概率，Λ(z)為似然比，表示為：

(23)

(24)

因此，根據(jù)公式(23)和公式(24)，我們可以得到似然比為：

(25)

由公式(23)和公式(25)，可得：

(26)

用ξopt表示最佳的判決閾值，則對公式(26)進一步求解得：

(27)

在最優(yōu)檢測閾值ξopt的計算公式基礎(chǔ)上，公式(16)中定義的PD和PF的計算結(jié)果如下：

(28)

因此，由公式(28)可知，RN接收來自TN信息的比特錯誤率Pe可表示為：

Pe=p1(1-PD)+(1-p1)PF

(29)

4 仿真結(jié)果

本節(jié)將通過Matlab數(shù)值仿真來展示單跳移動的MC系統(tǒng)在不同參數(shù)下的信道容量以及比特錯誤率，參數(shù)包括：TN和RN之間的初始距離，A類型信息分子、TN和RN在流體環(huán)境中的擴散系數(shù)、時隙個數(shù)、樣本個數(shù)、時隙長度以及TN的先驗概率.參數(shù)的取值范圍可參考表1.

表1 仿真參數(shù)

Table 1 Simulation parameters

參數(shù)定義取值范圍TN和RN間的初始距離d0{1,3,5}μmA分子的擴散系數(shù)DA5×10-10 m2/sTN的擴散系數(shù)DTN{0.01,1,100}×10-10 m2/sRN的擴散系數(shù)DRN{0.01,1,100}×10-10 m2/s時隙長度Ts{0.01,0.1,1} ms樣本數(shù)量M20時隙個數(shù)k{10,20,50}每個時隙發(fā)送的分子數(shù)QA0-3000TN先驗概率p10-1

4.1 信道容量

如圖2所示，周期長度Ts分別取0.01 ms，0.1 ms，1 ms三種情況下，TN與RN的互信息I(X,Y)隨QA增大的變化趨勢.固定先驗概率p1的值為0.5，由圖2可知，一方面，TN與RN的互信息隨QA的增大而變大，并在一定值后達到最大值；另一方面，周期長度的變大也將導致I(X,Y)的增大.另外，周期越長，信息分子在發(fā)出周期內(nèi)就被RN接收的概率越大，相應的ISI就越小.

圖3中，當TN與RN的初始距離d0不同時，TN與RN的互信息I(X,Y)隨TN的先驗概率p1增大的變化關(guān)系圖.設(shè)置參數(shù)Ts=0.3 ms，k=20，QA=500.從圖3中的仿真結(jié)果可以看出，I(X,Y)均隨p1先增大，到達峰值后減小，但初始距離越大，I(X,Y)到達峰值時的先驗概率越小.此外，TN與RN的距離越近，它們的互信息越大.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是：縮短TN和RN之間的距離將導致RN接收TN當前時隙發(fā)出的分子的概率變大的同時減小了ISI，從而使互信息變大.

圖4展示了TN與RN的互信息I(X,Y)在時隙個數(shù)k取3，20，50三個不同值時，隨TN的先驗概率p1增大的變化關(guān)系.設(shè)置QA=500，Ts=0.3 ms.不難發(fā)現(xiàn)，與圖3類似，I(X,Y)隨p1的增大同樣呈現(xiàn)先逐漸增大至峰值后減小的趨勢，同時，當時隙個數(shù)越多，互信息I(X,Y)越小.這是因為在k值較小時，TN與RN之間的距離變化并不明顯，因此曲線所呈現(xiàn)的變化關(guān)系與TN和RN都固定的情況相似.而隨k值的增大，TN與RN之間距離增大的可能性變大，導致RN接收到TN當前時隙發(fā)來分子的概率減小，從而使互信息變小.

圖2 互信息I(X,Y)與TN每個時隙發(fā)送的分子數(shù)的關(guān)系

圖3 不同d0取值情況下，互信息I(X,Y)與p1的關(guān)系

圖4 不同k取值情況下，互信息I(X,Y)與p1的關(guān)系

圖5展示了RN的擴散系數(shù)取不同值時，互信息I(X,Y)隨TN的先驗概率p1增大的變化關(guān)系.固定DTN為10-10m2/s，DRN分別取10-12m2/s，10-10m2/s，10-8m2/s.從圖5中可以看出，I(X,Y)隨p1增大呈現(xiàn)先逐漸增大，在到達某一個特定的最大值之后逐漸減?。煌瑫r，RN的擴散系數(shù)越大，I(X,Y)越小.這是因為RN的擴散系數(shù)越大意味著RN在流體環(huán)境中的運動越劇烈，而導致它位置變化的隨機性越高，RN接收分子的不確定性也就越大，從而導致更大的錯誤率.

4.2 比特錯誤率

下面介紹了比特錯誤率Pe與QA在系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)M和DTN取不同值時的變化情況.

圖6描繪樣本數(shù)量M分別取5，20，50三個值時，比特錯誤率Pe隨TN每個時隙發(fā)送的分子數(shù)QA增大的變化情況.圖中的參數(shù)為：t0=0.01 ms，DTN=DRN=10-9m2/s.由圖6可知，當TN發(fā)送比特1釋放的分子數(shù)越多，比特錯誤率越?。煌瑫r，樣本數(shù)量越大，比特錯誤率同樣也越小.出現(xiàn)這種情況的原因是：一方面，QA越大代表比特1的分子數(shù)越多，即發(fā)送比特1和發(fā)送比特0兩者的差別也就越大，區(qū)分度越高，發(fā)生錯誤的概率也就越??；另一方面，在樣本時間t0固定的情況下，由于t0=TS/M，則當樣本數(shù)量M增加的情況下，每個時隙的持續(xù)時間TS也增大，那么在當前時隙釋放的分子被RN接收的概率也增大，從而產(chǎn)生相應的ISI減小，發(fā)生錯誤的概率也隨之減小.

在圖7中，設(shè)置TN的擴散系數(shù)DTN分別取10-12m2/s，10-10m2/s，10-8m2/s，固定DRN=10-9m2/s.觀察圖7不難發(fā)現(xiàn)，一方面，比特錯誤率Pe隨TN每個時隙發(fā)送分子數(shù)的增多而降低，這是因為QA的增大有效地提高了信噪比；另一方面，DTN越大，Pe越小.這是因為TN擴散系數(shù)的增大，意味著TN運動變得更加劇烈，位置變化的不確定性引起信息傳輸?shù)牟淮_定性，導致錯誤率增加.此外，當DTN達到10-8m2/s，系統(tǒng)出現(xiàn)過大的錯誤率，因此，在單跳移動分子通信系統(tǒng)中，需要調(diào)節(jié)流體的溫度，納米機器的大小等因素來控制納米機器的擴散系數(shù)，以避免信息傳輸出現(xiàn)過大的錯誤率.

圖5 不同DRN取值情況下，互信息I(X,Y)與p1的關(guān)系

圖6 不同M取值情況下，比特錯誤率Pe與QA的關(guān)系

圖7 不同DTN取值情況下，比特錯誤率Pe與QA的關(guān)系

5 結(jié)束語

首先針對TN和RN都遵循布朗運動規(guī)律隨機移動的場景，建立了一維的單跳的MC系統(tǒng)模型，并分析了系統(tǒng)的通信特征；接著，采用加權(quán)和檢測器對RN進行建模，并用泊松分布逼近二項分布得到了RN在第n個時隙接收到的分子總數(shù)，得到了該系統(tǒng)信道容量和比特錯誤率的計算公式；最后，仿真結(jié)果表明，兩個納米機器TN和RN的擴散系數(shù)越大，即它們的移動性越強，系統(tǒng)的信道容量就越低，并且隨時間的推移(時隙個數(shù)k的增加)，TN和RN的位置會發(fā)生更多的不確定性，也會導致系統(tǒng)的信道容量降低.此外，縮短TN和RN的初始距離，延長每個時隙持續(xù)的時間，增大TN每個時隙釋放的分子數(shù)可提高該系統(tǒng)的信道容量，降低比特錯誤率.