薛運(yùn)強(qiáng)，郭 俊，安 靜，薛邏維，桑 梓

(1.華東交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，南昌330013；2.東南大學(xué)交通學(xué)院，南京210096；3.江西省高鐵區(qū)域發(fā)展研究中心，南昌330013)

0 引言

公共交通因其安全、高效、便捷、環(huán)保，成為緩解城市交通問題的有效交通方式，優(yōu)先發(fā)展公共交通已成為普遍共識[1-2].常規(guī)公交線路的開辟和車輛配置問題，不僅關(guān)系企業(yè)的成本和收益，還與公交的服務(wù)水平、乘客的乘車滿意度有重要關(guān)系[2].如何確定合理的配車數(shù)量，在保證公交運(yùn)營者基本收益的同時使公交服務(wù)的社會效益最優(yōu)是值得探討的問題.

國內(nèi)外眾多學(xué)者對公交線路配車優(yōu)化問題做了深入研究，考慮公交運(yùn)營者和出行者兩個群體權(quán)益的雙層規(guī)劃模型使用較多.趙淑芝[2]以公交運(yùn)營者的成本和公交服務(wù)水平加權(quán)和為目標(biāo)，建立多車型公交線路配車優(yōu)化模型.邸振[3]以公交企業(yè)收益作為上層目標(biāo)，乘客出行的時間和費(fèi)用加權(quán)總成本最小為下層目標(biāo)，政府行為作為約束條件，建立公交線路車輛配置雙層規(guī)劃模型.Liu Tao[4]構(gòu)建雙目標(biāo)雙層優(yōu)化模型，上層模型的兩個目標(biāo)是從公交運(yùn)營者角度使總運(yùn)營成本最小，乘客出行總時間成本最??；下層模型是基于發(fā)車時刻考慮車輛容量約束的交通分配問題.Filipe Monnerat等[5]考慮車隊管理問題，建立車輛和駕駛員的分配模型，目標(biāo)是總成本最小.然而，公交在運(yùn)行中往往會出現(xiàn)許多不確定因素，不同站點(diǎn)的服務(wù)時間窗口和乘客需求量都是無法準(zhǔn)確估計的.在公交線路開辟和車輛配置過程中，往往根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或者經(jīng)驗對這些變量進(jìn)行估計，對需要解決的問題進(jìn)行預(yù)測，得出一個相對可靠的結(jié)果，這樣會有一個較大誤差.為了盡量降低誤差，劉寶碇[6]提出了不確定理論，不斷完善使其形成規(guī)范的公理化數(shù)學(xué)體系.Liu[6]在考慮規(guī)劃問題時引入了不確定變量，首次提出了不確定規(guī)劃.以不確定規(guī)劃為代表的不確定理論在交通、物流、金融領(lǐng)域得到廣泛和成功的應(yīng)用[7]，交通方面的應(yīng)用主要包括車輛調(diào)度問題、關(guān)鍵路問題等[7].焦登婭[8]在劉寶碇研究的基礎(chǔ)上構(gòu)建不確定規(guī)劃模型解決含有不確定因素的物流車輛調(diào)度問題，不確定因素考慮了送貨點(diǎn)對貨物需求量的不確定性和行程時間的不確定性.張鳳嬌[9]利用劉寶碇提出的不確定時間測度模型，研究車輛路徑問題，用混合智能算法求出最優(yōu)解.柳伍生[10]利用公交IC卡數(shù)據(jù)分析公交站點(diǎn)的客流不確定性，提出概率推導(dǎo)模型及算法，沒有繼續(xù)應(yīng)用到公交配車、運(yùn)營調(diào)度等問題.

綜上可知，利用不確定理論研究公交線路配車問題的成果較少，本文考慮公交站臺乘客數(shù)量的不確定性，同時考慮公交運(yùn)營者的成本收益、公交乘客的時間和費(fèi)用成本，構(gòu)建公交線路配車問題的不確定雙層規(guī)劃模型，以期為公交線路配車問題提供理論支持.

1 不確定理論

一段時間內(nèi)(如一個發(fā)車間隔)每個公交站點(diǎn)到達(dá)的人數(shù)都是不確定的，它是在一個范圍內(nèi)波動的不確定變量.下面給出不確定理論的相關(guān)概念.

1.1 不確定測度和不確定空間

定義1[6]設(shè)L是非空集合Γ上的一個σ-代數(shù)，則集合函數(shù)Μ：L→[0,1]稱為一個不確定測度，如果Μ：L→[0,1]滿足如下3條公理：

公理1(規(guī)范性)對于全集Γ，Μ{Γ}=1.

公理2(自對偶性)對任意事件Λ，Μ{Λ}+Μ{ΛC}=1，ΛC是Λ的補(bǔ)集.

公理 3(次可加性)對可數(shù)個事件Λ1,Λ2,…,

定義2[6]由上述非空集合Γ，Γ上的σ-代數(shù)L，不確定測度Μ組成的三元組(Γ,L,Μ)稱為不確定空間.

1.2 不確定變量和不確定分布

定義3[6]稱ξ是一個不確定變量，如果ξ是從不確定空間(Γ,L,Μ)到實數(shù)集R的可測函數(shù).也就是說對實數(shù)集中任意的Borel集B，集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B} 是一個事件，其中，γ是非空集合Γ中的元素值.

定義4[6]稱不確定變量ξ為線性的，如果它服從下列線性不確定分布Φ(s)，該分布記為L(a,b)，其中，a,b為常數(shù)值，為不確定變量ξ取值范圍的邊界值，且滿足a＜b.

以南昌市210路公交為例進(jìn)行調(diào)查分析，獲得該線路2019年3月25～31日一個星期早高峰(07:00-08:00)的IC卡數(shù)據(jù)和線路全天票款數(shù)據(jù)，如表1和表2所示.各個站點(diǎn)和時間段刷卡乘客數(shù)量和投幣乘客數(shù)量的比例大體一致，根據(jù)早高峰IC卡刷卡量占全天刷卡量的比例，近似得到早高峰投幣的乘客數(shù)量.通過一個星期的調(diào)查數(shù)據(jù)可知，每個站點(diǎn)到達(dá)的人數(shù)是在一個范圍內(nèi)波動的不確定變量.對現(xiàn)狀一個星期的各公交站點(diǎn)到達(dá)人數(shù)進(jìn)行擬合，進(jìn)行卡方檢驗可知(見3.1節(jié)卡方檢驗表3)，站點(diǎn)乘客到達(dá)的不確定變量符合線性不確定分布.

表 1 210路早高峰(07：00-08：00)刷卡量和發(fā)車數(shù)(2019年3月25～31日)Table 1 Cards volume and number of vehicles in 07：00-08：00 AM from Mar.25～31,2019 for bus line 210

表 2 210路早高峰(07：00-08：00)各站點(diǎn)上下車人數(shù)(2019年3月29日)Table 2 Number of passengers of line 210 getting on and off at each station during 07：00-08：00 AM on Mar.29,2019

2 公交線路配車的不確定雙層規(guī)劃模型

2.1 模型建立

從公交企業(yè)利益和乘客利益兩個角度考慮，在相關(guān)約束條件下分別建立上層公交收益和下層乘客收益兩層目標(biāo)函數(shù).

模型構(gòu)建基于如下模型假設(shè)：①公交線路確定后再進(jìn)行線路公交車配置；②公交車輛車速由歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)取均值得到；③上車規(guī)則是先到先上車；④若乘客等到第1趟公交車未能上車，算作留客，影響公交服務(wù)滿意度.乘客的到達(dá)服從線性不確定分布(案例分析中給出驗證該分布的卡方檢驗過程).

(1)目標(biāo)函數(shù).

考慮公交企業(yè)收益的上層目標(biāo)函數(shù)為

式中：Uij為公交車j到達(dá)公交站i時的上車人數(shù)，，其中，Wij為公交車j到達(dá)站點(diǎn)i時站臺候車乘客數(shù)，qij為可乘車人數(shù)，qij=C-Vij+Dij，C為車內(nèi)最大容量，Vij為公交車j從始發(fā)站到站i之間的乘客數(shù)，Dij為公交車j到站i時下車的乘客數(shù)；C1為平均每輛公交車運(yùn)營成本；C2為一輛公交車分?jǐn)偟墓潭ǔ杀?；x為時間段[T1,T2]內(nèi)配置的車輛數(shù)；n為[T1,T2]內(nèi)運(yùn)行的車輛數(shù)；m為站點(diǎn)數(shù)；ρ1為公交票價.

乘客出行時間和費(fèi)用成本加權(quán)和最小的下層目標(biāo)函數(shù)為

式中：α，β為加權(quán)系數(shù)；ρ2為乘客改乘其他交通方式的費(fèi)用；y為發(fā)車時間間隔.

(2)約束條件.

從政府角度考慮，乘客的乘車率應(yīng)不小于某一值δ；高峰時段，應(yīng)有一個最大的發(fā)車間隔限制；公交線路的長度、公交車行駛速度、配置車輛數(shù)、時間間隔應(yīng)該滿足

式中：t1，t2分別為發(fā)車間隔的最小值與最大值；L為公交線路長度；v為公交車在研究時段的歷史車速均值.

2.2 求解思路

首先，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，確定各站點(diǎn)不確定分布參數(shù)a,b的值；然后，通過具體的a,b值擬合現(xiàn)狀的OD出行量，利用MATLAB來對模型進(jìn)行求解；最后，得出各站點(diǎn)乘客需求量不確定情況下的最優(yōu)發(fā)車間隔.

各站點(diǎn)的乘客到達(dá)服從參數(shù)為a,b的線性不確定分布(案例分析中給出驗證該分布的卡方檢驗過程)，利用調(diào)查得到的各站點(diǎn)乘客到達(dá)量的均值和方差，得出各站點(diǎn)到達(dá)人數(shù)符合相應(yīng)線性不確定分布的到達(dá)人數(shù)，再在現(xiàn)狀調(diào)查的基礎(chǔ)上反推出各站點(diǎn)的OD出行量.

對現(xiàn)行不確定分布函數(shù)關(guān)于x求導(dǎo)，得到其概率密度函數(shù)為

式(8)和式(9)為均值、方差的計算公式.利用反推得出的OD出行量，對模型中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行取值，其依據(jù)主要是查閱相關(guān)資料和咨詢公交公司的運(yùn)營管理人員，最后得出的一個相對比較合理的參考值.

由式(4)～式(6)決定的下層目標(biāo)函數(shù)的解是有限的.通過分析可知，模型的下層目標(biāo)函數(shù)是一個關(guān)于發(fā)車間隔y的單調(diào)遞增函數(shù)，且配車數(shù)為整數(shù)，可以快速縮小搜尋范圍，如最優(yōu)解只能出現(xiàn)在圖1中AB,EI,FJ,GL,HK,DC上.

結(jié)合上文所述，最優(yōu)配車數(shù)應(yīng)該在A，E，F(xiàn)，G，H，D點(diǎn)上；帶入式(4)進(jìn)行檢驗，刪除不滿足條件的點(diǎn)，將滿足條件的點(diǎn)帶入上層目標(biāo)函數(shù)，使上層目標(biāo)函數(shù)取值最大的點(diǎn)就是最優(yōu)的配車數(shù).

圖1 配車數(shù)—發(fā)車間隔示意圖Fig.1 Relationship of number of vehicles and departure intervals

3 案例分析

3.1 案例介紹

本文以南昌市210路公交線為例進(jìn)行公交線路配車優(yōu)化.南昌210路公交線，全長20 km，設(shè)站26處，線路雙向配車51輛，駕駛員63人.早高峰(07:00-08:00)刷卡量約為2 000，發(fā)車班次為16班.

圖2 210路公交走向和站點(diǎn)分布圖Fig.2 Stops and route distribution of bus line 210 in Nanchang City

對現(xiàn)狀一個星期的各公交站點(diǎn)到達(dá)人數(shù)進(jìn)行擬合卡方檢驗可知，站點(diǎn)乘客到達(dá)的不確定變量符合線性不確定分布.表3是以線路一個星期刷卡量為不確定變量，驗證乘客數(shù)量作為不確定變量服從線性不確定分布(參數(shù)擬合值取a=100,b=2 000，即滿足卡方檢驗).樣本分組數(shù)為g=7，線性不確定分布中有兩個參數(shù)a,b，參數(shù)個數(shù)l=2，故卡方統(tǒng)計量的自由度χDF=g-1-l=7-1-2=4 (DF 是 Degrees of Freedom的簡寫，表示統(tǒng)計量的自由度).查卡方分布分位數(shù)表，=7.779＞3.31，因此有99%的概率不能拒絕乘客數(shù)量服從線性不確定分布.每個站點(diǎn)公交乘客數(shù)量服從線性不確定分布的卡方檢驗類似.

表 3 早高峰乘客數(shù)量服從線性不確定分布的卡方檢驗統(tǒng)計表Table 3 Chi-square test statistics for passenger numbers in morning peak hour satisfying linear uncertainty distributions

3.2 模型求解及分析

模型中相關(guān)參數(shù)取值如下：210路公交線路長度為20 km，車輛全程的平均速度為15 km/h，時間為晚高峰(17:00-18:00)；乘車率不低于80%，各站臺乘客的到達(dá)率相互獨(dú)立，服從參數(shù)為a,b的不確定分布；時間成本與經(jīng)濟(jì)成本的加權(quán)系數(shù)都取1，公交票價分為兩種，刷卡和不刷卡分別取2元和1.4元，公交車的運(yùn)營成本取80元/次，配車成本取100元/輛.

根據(jù)建立的雙層優(yōu)化模型，利用MATLAB編寫程序計算得到不同配車數(shù)量下的運(yùn)營指標(biāo)，如表4所示.

表 4 不同配車數(shù)量下運(yùn)營指標(biāo)計算結(jié)果Table 4 Calculation results of operation indicators under different number of vehicles

表4中配車數(shù)為20,18,16輛的乘車率均小于80%，不滿足最小乘車率要求，故不是最優(yōu)配車數(shù)；根據(jù)上文解題思路可知，在滿足乘車率的要求下，使企業(yè)利潤最大的配車數(shù)就是該線路下行方向的最優(yōu)配車數(shù)，由表4可知，當(dāng)配車數(shù)為23輛時，企業(yè)利潤最大，故最優(yōu)配車數(shù)為23輛.

210路公交上行方向現(xiàn)狀配置的車輛數(shù)是26輛，本文模型計算的最優(yōu)配車數(shù)是23輛，減少11.5%.從數(shù)據(jù)上看，優(yōu)化結(jié)果比較接近現(xiàn)狀，在一定程度上反映出該模型具有一定的實用性.從表5優(yōu)化前后數(shù)據(jù)看：優(yōu)化后高峰時乘客總加權(quán)成本相比于優(yōu)化前小幅增加0.5%，基本持平；高峰時該線路的利潤比優(yōu)化前增加了112元，增加29.6%；綜上，早高峰線路配車優(yōu)化效果明顯.

模型上層決策變量取值為整數(shù)，比一般雙層規(guī)劃模型求解更加方便；上層規(guī)劃模型能夠比較直觀地反映公交公司、乘客、政府三者間相互影響、相互制約關(guān)系；將優(yōu)化結(jié)果與實際情況比較，模型結(jié)果比較接近實際情況.

表 5 線路配車優(yōu)化前后指標(biāo)對比Table 5 Comparison of indicators before and after vehicle allocation optimization for bus line

4 結(jié)論

本文考慮公交站點(diǎn)乘客數(shù)量的不確定性，以公交企業(yè)收益和乘客出行總成本為目標(biāo)，構(gòu)建不確定雙層規(guī)劃模型，對公交線路進(jìn)行車輛配置優(yōu)化.以南昌市210路公交為例，對早高峰配車數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.分析結(jié)果顯示，本文不確定雙層規(guī)模型的優(yōu)化效果明顯；模型變量取整數(shù)有利于模型求解，提高了模型的實用性.本文為公交運(yùn)營者優(yōu)化線路配車提供了理論支持.

乘客選擇公交車輛時，模型假設(shè)公交車只要沒有達(dá)到荷載人數(shù)，乘客就會上車，沒有考慮車內(nèi)擁擠程度對乘客選擇的影響，在一定程度上影響了模型計算結(jié)果的可靠性.本文只研究了站點(diǎn)乘客數(shù)量這一不確定變量下的配車問題，公交線路配人、行車時刻表，構(gòu)成行車作業(yè)計劃、公交網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化，以及區(qū)域調(diào)度等問題在線路運(yùn)行時間、公交站點(diǎn)乘客數(shù)量等多重不確定因素下的優(yōu)化問題有待進(jìn)一步討論.