何之煜，徐 寧

(中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司通信信號(hào)研究所，北京100081)

0 引言

高速列車(chē)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)(Automatic Train Operation,ATO)是未來(lái)智能高速鐵路發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]，然而，高速列車(chē)運(yùn)行速度快，運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜多變，系統(tǒng)受內(nèi)部和外部未知擾動(dòng)影響，呈現(xiàn)出快時(shí)變、強(qiáng)非線性的特征，控制器的設(shè)計(jì)仍然是一個(gè)難點(diǎn).

列車(chē)自動(dòng)駕駛研究已取得大量成果，現(xiàn)有控制方法多以反饋思想構(gòu)造控制律，通過(guò)列車(chē)運(yùn)行狀態(tài)信息的偏差產(chǎn)生控制輸入，忽略了高速列車(chē)運(yùn)行過(guò)程中的一個(gè)重要的特征——高度重復(fù)性，具體體現(xiàn)在運(yùn)行環(huán)境的重復(fù)性，運(yùn)行計(jì)劃的重復(fù)性，運(yùn)行目標(biāo)的重復(fù)性和列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型的重復(fù)性.如何有效利用這些重復(fù)性信息處理時(shí)變、非線性的不確定系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題，是目前亟待解決的問(wèn)題.

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control,ILC)是解決重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題的最有效方法之一，基本原理是通過(guò)前一次或幾次的跟蹤誤差來(lái)修正當(dāng)前迭代次的控制輸入，更精確地跟蹤期望運(yùn)行軌跡.在列車(chē)自動(dòng)運(yùn)行控制領(lǐng)域：文獻(xiàn)[2]首次將迭代學(xué)習(xí)控制引入列車(chē)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)控制問(wèn)題的研究中；文獻(xiàn)[3]將終端迭代學(xué)習(xí)控制用于列車(chē)進(jìn)站停車(chē)的控制中，根據(jù)前次迭代終端停車(chē)誤差更新當(dāng)前迭代次的控制輸入，最終跟蹤誤差收斂到一個(gè)很小的鄰域內(nèi)；文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了反饋—前饋迭代學(xué)習(xí)控制器，利用反饋控制在時(shí)域?qū)Ω櫿`差的修正，提高了跟蹤的收斂速度和精度.以上研究考慮了系統(tǒng)初態(tài)擾動(dòng)和執(zhí)行器控制輸入飽和的情況，但沒(méi)有考慮列車(chē)復(fù)雜運(yùn)行環(huán)境導(dǎo)致阻力參數(shù)的不確定性，以及在高速運(yùn)行狀態(tài)下列車(chē)等效重量變化對(duì)列車(chē)控制性能的影響.

列車(chē)運(yùn)行速度不斷提高，其實(shí)際運(yùn)行的動(dòng)態(tài)環(huán)境也越來(lái)越復(fù)雜.時(shí)變非線性的外部擾動(dòng)導(dǎo)致列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)發(fā)生攝動(dòng)，對(duì)控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)困難.高速列車(chē)的控制研究中，通常將阻力參數(shù)系數(shù)視為恒值[3-5]，這顯然不符合控制器高精度跟蹤控制的要求.此外，列車(chē)運(yùn)行阻力參數(shù)系數(shù)的估計(jì)也有大量的研究[6-7].文獻(xiàn)[8]考慮速度延時(shí)和輸入受限的情況，建立列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型，借助Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制器.文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)態(tài)建模的迭代學(xué)習(xí)控制算法，通過(guò)遞推最小二乘法辨識(shí)阻力系數(shù)，利用范數(shù)最優(yōu)理論，實(shí)現(xiàn)模型辨識(shí)誤差和跟蹤控制誤差的2-范數(shù)收斂.

基于以上分析，針對(duì)高速列車(chē)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)這一快時(shí)變、強(qiáng)非線性的復(fù)雜控制系統(tǒng)，同時(shí)存在外部擾動(dòng)、輸入受限等因素的影響，根據(jù)系統(tǒng)對(duì)期望軌跡的跟蹤誤差，用迭代學(xué)習(xí)控制理論更新阻力參數(shù)系數(shù)，用飽和函數(shù)約束系統(tǒng)控制輸入在合理的范圍內(nèi)，在迭代域上對(duì)期望參數(shù)實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)逼近，控制系統(tǒng)最終能夠完全跟蹤上期望軌跡.基于Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制律，并對(duì)其收斂性進(jìn)行證明，通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，驗(yàn)證所提出算法的有效性.

1 問(wèn)題描述

不失一般性，連續(xù)時(shí)間的非線性系統(tǒng)模型為

式中：i為系統(tǒng)重復(fù)運(yùn)行次數(shù)，i∈N-；t為時(shí)間變量；xk,i(t)為系統(tǒng)第i次迭代k階的狀態(tài)信息；,i(t)為系統(tǒng)狀態(tài)信息xk,i(t)的一階導(dǎo)數(shù)；K為系統(tǒng)的階數(shù)；θi(t)為系統(tǒng)模型系數(shù)向量；ξi(t)是系統(tǒng)模型參數(shù)向量；b(t)是系統(tǒng)的未知輸入增益；ui(t)是控制輸入量；di(t)是未知時(shí)變的外部擾動(dòng).

為方便控制器設(shè)計(jì)，給出以下假設(shè)：

假設(shè)1系統(tǒng)在每次運(yùn)行前滿(mǎn)足相同的初態(tài)條件.

假設(shè)2非線性連續(xù)函數(shù)b(·)滿(mǎn)足

式中：g(·)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)；α1,α2分別為函數(shù)b(·)的兩個(gè)狀態(tài)信息變量

假設(shè)3存在一個(gè)最優(yōu)的控制序列ud，使得系統(tǒng)在有限時(shí)間t∈[ 0,T](T為給定的系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間)內(nèi)，可以完全跟蹤期望的運(yùn)行軌跡.

本文控制目標(biāo)是，對(duì)于給定的系統(tǒng)期望運(yùn)行曲線xd，在初態(tài)一致的情況下，利用迭代學(xué)習(xí)控制方法，找到一個(gè)最優(yōu)的控制輸入序列ud，當(dāng)i趨于無(wú)窮時(shí)，跟蹤誤差能夠收斂到0.

2 控制器設(shè)計(jì)

定義系統(tǒng)跟蹤誤差為

式中：xk,d(t)為系統(tǒng)k階向量期望的狀態(tài)信息.

定義擴(kuò)展誤差為

式中：c1,c2, …為Hurwitz多項(xiàng)式的系數(shù)，為正實(shí)數(shù)；c為多項(xiàng)式系數(shù)集合的向量；ei(t)為系統(tǒng)跟蹤誤差向量ek,i(t)集合的向量.

為處理非線性系統(tǒng)輸入受限問(wèn)題，將式(1)改寫(xiě)為

3 收斂性分析

為方便控制器收斂性分析，給出以下性質(zhì)：

性質(zhì) 1[9]對(duì)于a,b∈Rm，如果參數(shù)a滿(mǎn)足，那么，有

對(duì)于時(shí)變、非線性復(fù)雜系統(tǒng)式(6)，給出所設(shè)計(jì)控制律的收斂性分析，下述定理是本文的主要結(jié)論.

定理1針對(duì)非線性系統(tǒng)式(6)執(zhí)行重復(fù)運(yùn)行任務(wù)時(shí)，基于迭代學(xué)習(xí)控制理論，應(yīng)用所設(shè)計(jì)的控制律和參數(shù)更新律，當(dāng)?shù)螖?shù)i趨于無(wú)窮時(shí)，對(duì)于t∈[ 0,T]，跟蹤誤差逐漸趨于0，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)xi有界.

證明定義類(lèi)Lyapunov的復(fù)合能量函數(shù)為

對(duì)式(14)的第1項(xiàng)Lyaounov函數(shù)進(jìn)行求解，結(jié)合迭代學(xué)習(xí)控制律式(10)，將函數(shù)重寫(xiě)為

由系統(tǒng)模型式(1)和擴(kuò)展誤差式(4)可知

從而，證明了復(fù)合能量函數(shù)Ei沿迭代軸的差分負(fù)定性.接下來(lái)，若是證明了E0(t)是有界的，那么Ei(t)也是有界的.

令i=0，對(duì)式(14)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，并結(jié)合式(16)和式(17)的結(jié)論，得

即系統(tǒng)跟蹤誤差隨迭代軸逐漸收斂到0.

迭代學(xué)習(xí)控制目標(biāo)的可達(dá)性可以描述為存在一系列的控制輸入ud(t)，使得系統(tǒng)可以完全跟蹤上期望運(yùn)行曲線.那么，對(duì)于t∈[0 ,T]，系統(tǒng)狀態(tài)xd(t)是有界的.又由于系統(tǒng)實(shí)際的控制狀態(tài)可以描述為xi=xd+ei，根據(jù)ei的有界性，可知，系統(tǒng)狀態(tài)xi(t)也是有界的.

4 算例分析

4.1 仿真算例分析

對(duì)所提出的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，充分考慮外部擾動(dòng)、系統(tǒng)受限，以及等效質(zhì)量攝動(dòng)的情況.仿真線路長(zhǎng)度為183.2 km，列車(chē)計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間為2 700 s，列車(chē)滿(mǎn)載重量為530 t，時(shí)變外部擾動(dòng)在有界域內(nèi)隨機(jī)分布，其上界設(shè)置為0.03 N/kg.如圖1所示，給出列車(chē)區(qū)間運(yùn)行的期望速度和期望位移曲線圖.

圖1 列車(chē)運(yùn)行期望速度和距離曲線圖Fig.1 Desired speed and distance profiles of train operation

根據(jù)式(1)，列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

式中：x1,i為列車(chē)運(yùn)行距離(km)；x2,i是列車(chē)運(yùn)行速度(km/h)；θi是列車(chē)阻力模型系數(shù)；ξi是列車(chē)阻力模型參數(shù)向量，；M是列車(chē)的質(zhì)量(t)；γ(t)是列車(chē)時(shí)變的回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)；ui是列車(chē)輸入的牽引/制動(dòng)力(kN)；di是外部時(shí)變的未知擾動(dòng)(N/kg).

本文提出的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法參數(shù)設(shè)置如下：Γ=[0.002,0.000 4,0.000 000 4]T，η=2.4，阻力系數(shù)上界

為便于說(shuō)明，將PID控制算法和D型迭代學(xué)習(xí)控制算法對(duì)列車(chē)運(yùn)行期望曲線跟蹤性能與本文提出的算法進(jìn)行比較，如圖2～圖4所示.可以看出：PID控制是基于時(shí)間域的反饋控制，在目標(biāo)曲線工況轉(zhuǎn)換時(shí)，出現(xiàn)較大的暫態(tài)，不利于列車(chē)平穩(wěn)運(yùn)行；D型迭代學(xué)習(xí)控制則是基于迭代域的反饋控制，雖然能夠?qū)W習(xí)列車(chē)運(yùn)行的重復(fù)性信息，速度曲線隨迭代次數(shù)逐漸逼近參考曲線，但收斂速度較慢，跟蹤誤差較大；本文提出的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法，既能基于迭代域?qū)W習(xí)列車(chē)運(yùn)行的重復(fù)性信息，也能在時(shí)間域上對(duì)列車(chē)進(jìn)行反饋控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)期望曲線的精確跟蹤.

圖2 PID控制曲線圖Fig.2 PID control profile

圖3 D型迭代學(xué)習(xí)控制曲線圖Fig.3 D-type iteration learning control profiles

圖4 自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制曲線圖Fig.4 Adaptive iteration learning control profiles

圖5和圖6給出3種算法的距離和速度跟蹤均方根誤差曲線圖.可以看出，本文所提出的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法具有較高的跟蹤精度和較快的收斂速度，能夠快速實(shí)現(xiàn)對(duì)期望速度曲線的精確跟蹤.

4.2 實(shí)例分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性，基于實(shí)驗(yàn)室CTCS-3+ATO仿真測(cè)試環(huán)境，選取京沈客運(yùn)專(zhuān)線(遼寧段)中的阜新站—新民北站線路，以實(shí)際運(yùn)營(yíng)的某車(chē)型作為仿真對(duì)象.線路總長(zhǎng)97.9 km，計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間1 320 s，其中，設(shè)置了一段長(zhǎng)度為4 km的250 km/h的固定限速路段.執(zhí)行上述任務(wù)，重復(fù)迭代40次，算法的設(shè)置參數(shù)與4.1節(jié)內(nèi)容相同.

圖5 3種算法的距離跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.5 Comparison of distance tracking error profiles

圖6 3種算法的速度跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.6 Comparison of speed tracking error profiles

圖7給出所提出算法在第10、20次迭代與現(xiàn)有算法對(duì)期望曲線的跟蹤性能對(duì)比.可以看出，現(xiàn)有算法在列車(chē)由牽引工況進(jìn)入巡航工況時(shí)，會(huì)出現(xiàn)較大的暫態(tài)，而本文提出的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法通過(guò)對(duì)列車(chē)運(yùn)行參數(shù)的學(xué)習(xí)，能夠控制列車(chē)的運(yùn)行逐漸收斂到期望曲線上.

圖7 所提算法與現(xiàn)有算法在跟蹤曲線上的對(duì)比Fig.7 Comparison of tracking profiles between proposed and existing algorithms

圖8和圖9給出實(shí)驗(yàn)中列車(chē)對(duì)期望軌跡跟蹤的速度和距離誤差隨迭代域變化的曲線與現(xiàn)有算法的對(duì)比，以均方根誤差表征.可以看出：所提算法在速度和距離的跟蹤性能上均具有較高的精度和收斂速度；在第15次迭代時(shí)，速度跟蹤誤差達(dá)到0.01 m/s，距離跟蹤誤差則降到1 m.

圖8 兩種算法的距離跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.8 Comparison of distance tracking error profile

圖9 兩種算法的速度跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.9 Comparison of speed tracking error profiles

5 結(jié)論

本文以高速列車(chē)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)作為研究對(duì)象，考慮其受到外部擾動(dòng)、系統(tǒng)受限的情況，設(shè)計(jì)自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制律和參數(shù)更新律，通過(guò)迭代域的學(xué)習(xí)和時(shí)間域的反饋共同作用輸出系統(tǒng)的控制輸入，并基于Lyapunov函數(shù)構(gòu)造復(fù)合能量函數(shù)，證明了所提算法的收斂性和穩(wěn)定性.仿真結(jié)果表明，本文提出的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法對(duì)列車(chē)期望曲線的跟蹤具有較快的收斂速度和較高的跟蹤精度，具有魯棒性強(qiáng)、穩(wěn)定性高、實(shí)現(xiàn)方便等優(yōu)勢(shì)，有較好的工程應(yīng)用參考意義.