王志文,李 松,羅 敏

(武漢大學電子信息學院,湖北 武漢 430072)

1 引 言

星載激光測高儀是一種可以實現(xiàn)對地表高精度三維觀測的天基測量設備,而其精細的真實性校驗是保證激光測高儀數(shù)據(jù)產(chǎn)品在各個領域得到有效應用的前提[1]。2003年,首個對地觀測的激光測高儀(Geoscience Laser Altimeter System,GLAS)于美國成功發(fā)射,隨后,相關研究人員提出了多種真實性校驗的方式[2-4]。其中,L.A.Magruder等提出一種獨立于其他校驗方式的地面探測系統(tǒng)[4],通過地面探測系統(tǒng)捕獲星載激光測高儀精確的激光足印位置,來實現(xiàn)對星載激光測高儀的真實性校驗,而高精度的激光足印中心提取方法是獲取激光足印精確位置的關鍵。地面探測系統(tǒng)捕獲到的激光足印,在傳輸?shù)倪^程中,會受到大氣湍流的影響,使得最終到達地面的激光足印的能量空間分布發(fā)生一定的變化,如偏轉、擴展[5-6],因此,對于激光足印中心的提取精度,除了依賴于激光足印本身的高斯能量分布特性,還會受到大氣湍流噪聲的影響。

傳統(tǒng)的激光足印中心定位算法有灰度重心法[7](Gray Centroid Method,GCM)、圓或橢圓擬合法[8](Elliptic Fitting Method,EFM)、基于二維向量空間圓擬合法[9](2D Vector Space Circle Fitting,2DCF)等等,這些方法要么是基于整個激光足印的能量分布,如灰度重心法,要么是基于激光足印的幾何形狀,如圓擬合法?；诩す庾阌〉哪芰糠植贾行奶崛》椒▽τ诩す庾阌〉某跏寄芰糠植驾^為嚴格,當噪聲比較小,提取的精度較好,但不適用于噪聲相對比較大的情形且沒有充分利用激光足印的空間分布信息；基于幾何形狀的提取方法,考慮了激光足印的幾何分布,但是當邊緣或整個空間分布不是規(guī)則的圓或者橢圓,那么就會產(chǎn)生比較大的誤差。

本文提出一種基于LM優(yōu)化算法的激光足印中心提取方法,對于激光足印數(shù)據(jù)的擬合過程比較符合激光足印捕獲數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)格式以及激光足印的光強分布特點,不會依賴于每個能級邊緣形狀的規(guī)則程度,能從全局上找到一個最優(yōu)的激光足印中心,提取精度高,并且抗干擾能力較強。

2 基于LM優(yōu)化算法的激光足印中心提取原理

星載激光測高儀發(fā)射出的激光經(jīng)過大氣傳輸后,被地面探測系統(tǒng)捕獲,然后通過相關算法提取可以得到激光足印的中心,從而實現(xiàn)星載激光測高儀的在軌校驗。激光足印輪廓在大多數(shù)情況下服從橢圓高斯分布[10],可用下式表示:

(1)

其中,α=(x,y)為坐標信息,β=(a,b,r1,r2,θ,E)為參數(shù)列表;a為x方向上激光足印中心坐標；b為y方向上激光足印中心坐標；r1為x方向上橢圓高斯激光足印的束腰半徑；r2為y方向上橢圓高斯激光足印的束腰半徑,當r1=r2時,足印的長軸和短軸相等,此時激光足印呈圓高斯分布；θ為對應的橢圓高斯激光足印的方位角,取值范圍為:[0,π/4]；E表示橢圓高斯激光足印的強度信息。N(α)為相應的大氣湍流噪聲。

根據(jù)采集到的橢圓高斯激光足印信號的特點,采用一種基于LM算法的激光足印中心提取方法,首先,構建最小二乘目標函數(shù),確定擬合的橢圓高斯激光足印初始參數(shù):激光足印中心的位置信息、強度信息、長短軸的大小和方位角；然后計算最小二乘目標函數(shù)的值,使用LM算法更新參數(shù),使每次更新后的目標函數(shù)的值比上一次迭代的值小,否則,重新更新參數(shù),即按照目標函數(shù)減小的方向進行迭代；當目標函數(shù)的值小于預先設置的閾值,或者達到迭代次數(shù)時,即停止迭代,此時擬合函數(shù)與輸入數(shù)據(jù)的殘差最小,而對應的參數(shù)(a,b)就是待求的足印中心。整個處理的過程如圖1所示。

圖1 基于LM算法的激光足印中心提取方法Fig.1 Laser footprint center extraction method based on LM algorithm

2.1 地面探測系統(tǒng)及其相應數(shù)據(jù)格式

針對我國自主研制的搭載于資源三號02星的激光測高儀的在軌校驗實驗,文獻[1]中提出了相應的地面足印探測系統(tǒng),其中,用于捕獲激光足印的能量探測器有8個量化能級。假設布設方式為30×30方陣,布設間距為4 m,激光足印半徑30 m,在激光足印過境的位置固定好探測器后會獲取到激光足印的8能級30×30的采樣數(shù)據(jù),并且包含足印的位置信息。

2.2 大氣湍流噪聲

星載激光測高儀所發(fā)射的激光探測信號在大氣中傳播的過程中,主要受到了大氣湍流的影響而發(fā)生畸變。Kolomogorov等建立了大氣湍流的理論模型后,由于澤尼克多項式低頻部分占主要部分,高頻成分較少,這與大氣湍流的理論模型表現(xiàn)一致,因而Noll等采用澤尼克多項式來描述大氣湍流[11]。選用澤尼克多項式對大氣湍流進行描述的時候,每一項均有對應的物理意義,如波前像斑的傾斜程度由第一、二項描述；離焦、像散由第三到第五項描述；第八、九項描述了像斑的擴展、模糊程度，等等[12]。此處,采用40項澤尼克多項式來描述大氣湍流對激光足印信號產(chǎn)生的影響。

2.3 初始參數(shù)的確定

(1) 激光足印中心初始化

針對地面探測系統(tǒng)獲取的采樣數(shù)據(jù),對數(shù)據(jù)進行相應的處理。首先,尋找數(shù)據(jù)中的峰值區(qū)域,并將峰值區(qū)域對應位置標記為1,其余地方標記為0。由于光斑半徑比較大,采樣數(shù)據(jù)為多個能級,峰值區(qū)域可能并不是一個單一的采樣點,而是一個含有多個采樣點連通域。統(tǒng)計連通域的個數(shù)m,統(tǒng)計每個峰值區(qū)域的能量之和,將峰值區(qū)域能量最大的區(qū)域作為足印中心所在的區(qū)域。

足印中心初始化包括中心坐標初始化和強度信息初始化。在上述所求峰值區(qū)域內(nèi)隨機選取一個采樣點的坐標(as,bs)作為足印的初始中心,將其能量值Es作為中心位置的能量初始值。

(2)激光足印束腰半徑和方位角初始化

束腰半徑的大小直接反映了激光足印大小,選取合適的束腰半徑會使得算法效率更高。根據(jù)上述確定的激光足印中心位置,在x方向上,將峰值區(qū)域邊界點到足印初始中心(as,bs)的平均距離r1s表示激光足印的x方向上束腰半徑;在y方向上,將峰值區(qū)域邊界點到足印初始中心(as,bs)的平均距離r2s表示激光足印的y方向上束腰半徑。方位角θ是激光足印與選定的坐標系的夾角,選定初始化參數(shù)θ=θs=0。

選取合適的初始參數(shù),是為了讓算法更快的達到最終的迭代結果,而初始參數(shù)與最終迭代結果的偏差不影響算法的定位精度。參數(shù)初始化后,式(1)可以表示為:

(2)

2.4 相關參數(shù)的更新與求解

(1)LM算法求參數(shù)最優(yōu)解與足印中心

Levenberg-Marquardt(LM)算法是一種常用的解決非線性最小二乘問題的方法[13-14],是一種介于高斯牛頓法和梯度下降法之間的優(yōu)化算法,同時,LM算法綜合了兩者之間的優(yōu)勢,在引入阻尼因子之后,能夠調節(jié)每一次迭代的步長,提高了迭代的效率,使得目標函數(shù)以更快的速度收斂。構造如下式所示的最小二乘目標函數(shù):

(3)

式中,α=(x,y)為坐標信息,β=(as,bs,r1s,r2s,θs,Es)為待優(yōu)化輸出向量;Z(α)為測量值;f(α,β)為殘差方程,最終將求解激光足印中心的問題轉化為求解最優(yōu)參數(shù)β使得F(α,β)最小。對F(α,β)做二階泰勒展開,有:

(4)

式中,Jf為f(α,β)關于參數(shù)向量β的雅可比矩陣,Hf為f(α,β)的二階偏導數(shù)組成的關于參數(shù)向量β的Hessian矩陣?？梢詫⒔频慕Y果記為A(h)。引入阻尼因子μ后的LM迭代公式可由下式表示:

(5)

式中,μ為阻尼因子,當μ≥0時,LM算法的迭代方向是向著F(α,β)減小的方向進行,也即是保證了迭代的正確方向；當μ很大時,LM算法轉化為梯度下降法,對應的迭代公式為:

(6)

此時的算法具有梯度下降法的優(yōu)勢:下降量大、迭代迅速；當μ>0且μ很小的時候,LM算法轉化為高斯牛頓法,對應的迭代公式可以表示為:

(7)

此時LM算法具有高斯牛頓法的優(yōu)勢:具有二階收斂性的特點。而阻尼因子μ可以通過系數(shù)ρ來調節(jié):

(8)

通過系數(shù)ρ的大小對當前迭代步驟進行取舍,并對μ進行調節(jié)。當F(α,β)小于設定的閾值或者達到了設定的迭代次數(shù)即停止迭代。

通過上述的LM算法最終求出參數(shù)β的最優(yōu)解,由此可以得到激光足印中心的坐標信息(a*,b*)和其他的相關參數(shù)。

(2) LM算法局部最優(yōu)解問題

LM算法求目標函數(shù)的最小二乘解的過程中,如果初始參數(shù)選取不當,可能會使得最終求得的參數(shù)為局部最優(yōu)解。針對這種情況,有兩種處理策略:一是隨機選取多組初始參數(shù),比較最終的目標函數(shù)的大小,最小的目標函數(shù)對應的參數(shù)β即為最優(yōu)解,那么對應的(a*,b*)即為激光足印中心。峰值區(qū)域往往對應著激光足印能量比較高的區(qū)域,因而第二種處理方法是為每個峰值區(qū)域選取多組初始參數(shù)進行求解,最小的目標函數(shù)對應的參數(shù)β即為最優(yōu)解,那么對應的(a*,b*)即為激光足印中心。

3 數(shù)據(jù)仿真與驗證

3.1 大氣湍流仿真

由于地面探測器系統(tǒng)能夠在能級范圍內(nèi)捕獲到星載激光測高儀的激光足印,所以大氣湍流對于激光足印的影響的仿真數(shù)據(jù),只關注湍流分布。湍流的分布可以通過澤尼克多項式的項數(shù)或者澤尼克多項式的系數(shù)來改變[12]。此處,選取澤尼克項數(shù)為40項,通過改變澤尼克多項式的系數(shù)來改變湍流分布,生成40項澤尼克多項式描述的大氣湍流隨機相位屏,如圖2所示:

圖2 前40項大氣湍流隨機相位屏Fig.2 The first 40 atmospheric turbulence random phase screens

3.2 激光足印仿真數(shù)據(jù)

根據(jù)地面探測系統(tǒng)捕獲激光足印的方式以及探測器8能級的特點,生成大小為30×30的橢圓高斯激光足印仿真數(shù)據(jù),激光足印的強度從中心到邊緣呈現(xiàn)出高斯分布,相對強度從0～8,如圖3所示,激光足印中心坐標為(16,16)。

圖3 理想橢圓高斯激光足印Fig.3 Ideal elliptical Gaussian laser footprint

將圖3所示的理想橢圓高斯激光足印信號通過40項澤尼克多項式描述的大氣湍流隨機相位屏,得到地面探測系統(tǒng)的輸入仿真數(shù)據(jù),如圖4所示,不斷改變澤尼克多項式的系數(shù),得到多組仿真數(shù)據(jù),用GCM、EFM、2DCF以及本文算法,對仿真數(shù)據(jù)進行處理,提取激光足印中心,通過與實際中心坐標(16,16)進行對比,分析各個算法基于歐式距離的定位誤差,即各個算法所求的激光足印中心位置到激光足印實際的位置之間的歐式距離。

圖4 通過大氣湍流相位屏后的激光足印Fig.4 Laser footprint after passing through the atmospheric turbulence phase screen

3.3 結果分析

通過用GCM、EFM、2DCF以及本文算法對5000組上述激光足印仿真數(shù)據(jù)的處理,得到了如圖5所示的各算法基于歐式距離的定位誤差的分布情況和表1所示的各算法定位精度的均值和標準差。

圖5 各算法基于歐式距離的定位誤差分布Fig.5 The positioning error distribution of each algorithm based on Euclidean distance

由圖5可知,本文算法80 %以上的數(shù)據(jù)定位誤差在0.2個布設間距以下,只有不到5 %的數(shù)據(jù)定位誤差會超過0.4個布設間距,GCM方法的定位誤差在整個區(qū)間上分布比較均勻,EFM和2DCF方法的定位誤差在0.4個布設間距以上的占比接近40 %,在0.2個布設間距以內(nèi)的數(shù)據(jù)不足25 %。圖5表明了本文算法對于受到大氣湍流影響的激光足印信號中心的提取效果明顯優(yōu)于其他三種算法。

表1 各算法定位精度的均值和標準差Tab.1 Mean and standard deviation of positioning accuracy of each algorithm

由表1可以得到:本文算法對于激光足印中心定位的平均誤差為0.1529個布設間距,假設布設間距為4 m,那么此時的定位誤差為0.61 m,而GCM、EFM和2DCF三種算法的定位誤差分別為1.13 m、1.53 m和1.52 m,本文算法的定位精度明顯優(yōu)于其他三種算法,至少優(yōu)于0.5 m。本文算法的定位誤差的標準差為0.1016個布設間距,僅為其他三種算法的1/2左右,說明隨著大氣湍流隨機相位屏的不斷改變,本文算法的定位誤差沒有太大的起伏,而GCM、EFC和2DCF的定位誤差表現(xiàn)出不穩(wěn)定。

4 結 論

本文介紹了一種基于LM優(yōu)化算法的激光足印中心提取算法,采用了40項澤尼克多項式模擬大氣湍流隨機相位屏作為激光足印在大氣傳輸過程中的噪聲,利用仿真輸入數(shù)據(jù)研究了本文的算法。實驗結果表明,本文算法比傳統(tǒng)的中心定位方法有著更高的定位精度并且相對穩(wěn)定,假設激光足印探測器的布設間距為4 m,本文算法比其他三種傳統(tǒng)算法的提取精度至少優(yōu)于0.5 m。根據(jù)本文算法的優(yōu)化結果,可以提取到更為精確的激光足印中心,因而能夠減少星載激光測高儀的測量誤差,也可以給星載激光測高儀的指向角誤差預留更大的空間或者可以適當增大探測器的布設間距以減少成本。