任清褒，陳樂安，彭廣卓

（麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水323000）

0 引言

2016年，Ablowitz和Musslimani[1]引入了一個新的非局域的非線性薛定諤方程：

（1）式中*號表示復(fù)共軛，u（x，t）是變量為x，t的復(fù)值函數(shù)。與經(jīng)典薛定諤方程相比較，（1）式中u*（-x，t）替代u*（x，t）。Ablowitz和Musslimani指出方程（1）是非Hermitian的，而是PT對稱的，并且是可積的。在物理學(xué)的許多領(lǐng)域，如量子物理[2]、光學(xué)[3]、量子場理論[4]和電路[5]等，PT對稱是十分重要的。就在最近，又利用方程（1）來描述宏觀的磁性系統(tǒng)[6]。

在粒子物理中，存在著一些重要的性質(zhì)，如電荷共軛對稱（C）、空間對稱（Ps，x→-x+x0，x0是任意常數(shù)）、帶延遲的時間反演對稱（Td，t→-t+t0，t0是任意常數(shù)）和 PT、PC、PsC、PsTd對稱，這些性質(zhì)都可以用來描述兩地的物理問題。而兩地物理問題可歸結(jié)為Alice-Bob（AB）系統(tǒng)[7]。因此，方程（1）可看成是一個特殊的AB系統(tǒng)。

本文先構(gòu)建了一個特殊的AB-Benjamin-Ono（AB-BO）系統(tǒng)和Lax對，然后在此基礎(chǔ)上求得該系統(tǒng)的對稱破缺孤子解和對稱破缺怪波解，最后對其進(jìn)行了簡單的討論和總結(jié)。

1 AB-BO系統(tǒng)和它的Lax對、Ba¨cklund變換、雙線性形式

我們考慮（1+1）維 Benjamin-Ono系統(tǒng)[8-9]：

（2）式中的β，γ分別是非線性和色散系數(shù)。在數(shù)學(xué)物理中，方程（2）是一個可積的非線性系統(tǒng)，用來描述深水中的內(nèi)波。

根據(jù) AB系統(tǒng)的原理[10]，令 u=（A+B）/2，并代入（2）式，有：

（3）式可分解為耦合方程：

將（5）式代入（4）式，可得到下列非局域的AB-BO系統(tǒng)：

顯然，系統(tǒng)（6）是可積的，因為它有下列Lax對：

（7）式中的

其中 λ1，λ2是任意常數(shù)。

現(xiàn)在引入拓展的B cklund變換:

（9）式中b1，b2，α是任意常數(shù)，F(xiàn)是待確定的變量為x，t的實函數(shù)，且滿足：

當(dāng)b1=0，b2=0時，（9）式變?yōu)橄到y(tǒng)（1）的普通的 B cklund變換。將（9）式代入（6）式，得到AB-BO系統(tǒng)的雙線性形式：

由微分算子（12）可知，方程（11）式可寫成：

有意思的是（13）式也恰好為系統(tǒng)（1）的雙線性形式。

2 AB-BO系統(tǒng)的對稱破缺孤子解

為了獲得AB-BO系統(tǒng)的多孤子解，假設(shè)（13）式中的F為

式（14）中 μ 的求和應(yīng)取 μi=0，1（i=1，2，…，N）的所有可能的組合，

若 N=1，（14）式變?yōu)椋?/p>

（16）式有以下兩種情形：

情形（1）：如果 η10=0，F(xiàn)1滿足系統(tǒng)的單孤子解為：

情形（2）：如果 η10、x0、t0為任意常數(shù)，F(xiàn)1既不能滿足下，PNAB-BO系統(tǒng)和TNAB-BO系統(tǒng)的單孤子解被禁戒。

若 N=2，（14）式變?yōu)?/p>

（18）式有以下兩種情形:

情形（2）：若

則：

若 N=3，（14）式變?yōu)?/p>

其中

（24）式有以下兩種情形:

情形（1）：如果 η10=η20=η30=0，F(xiàn)3滿足，PTNAB-BO系統(tǒng)的雙孤子解由（9）式得到：

情形（2）：如果 η10、η20、η30、x0、t0為任意常數(shù)，F(xiàn)3既不能滿足此情形下，PNAB-BO系統(tǒng)和TNAB-BO系統(tǒng)的三孤子解被禁戒。

若 N=4，（14）式變?yōu)?/p>

上式中的

對于（28）式，有下列兩種情形:

情形（1）：如果 η10=η20=η30=η40=0，F(xiàn)4滿足，PTNAB-BO系統(tǒng)的四孤子解由（9）式得到：

情形（2）：仔細(xì)分析后，若

利用（33）式，容易驗證

在此情形下，對PNAB-BO系統(tǒng)，（28）式可重寫為:

對TNAB-BO系統(tǒng)，（28）式可改寫成：

將（35）和（36）式代入（9）式，得到PNAB-BO系統(tǒng)和TNAB-BO系統(tǒng)的四孤子相互作用解。

3 AB-BO系統(tǒng)的對稱破缺的怪波解

為了得到AB-BO系統(tǒng)的怪波解，雙線性方程（13）式中的F具有下列形式：

當(dāng) n=1 時，（37）式成為:

將（38）式代入（13）式，搜集有關(guān)于x，t的同次冪，令其系數(shù)為零，得到一個決定性方程組，解這一方程組，有：

因而PTNAB-BO系統(tǒng)的怪波解為:

PNAB-BO系統(tǒng)的怪波解為:

TNAB-BO系統(tǒng)的怪波解為:

當(dāng) n=2 時，（37）式可寫成：

把（40）～（42）式中的F1替換為F2，即可得到AB-BO系統(tǒng)的二階怪波解。就高階怪波解，限于篇幅就不在此討論了。

4 總結(jié)和討論

總之，在自然界中，存在大量的兩地（AB）物理問題。研究兩地物理問題對其他科學(xué)領(lǐng)域有著極其深遠(yuǎn)的影響。在這項工作中，構(gòu)建了一個特殊的非局域的AB-BO系統(tǒng)。該系統(tǒng)是可積的，因為有Lax對存在。非局域的Benjamin-Ono系統(tǒng)奇數(shù)孤子被禁戒，顯然與局域的Benjamin-Ono系統(tǒng)不同。對于（5）式，是否還存在其它的形式，將有待于進(jìn)一步的研究。