王 艷， 許 勇， 董 飛， 張強(qiáng)強(qiáng)， 趙傳森

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 上海 201620)

運(yùn)動(dòng)分岔機(jī)構(gòu)是指通過(guò)奇異位形前后，自由度特性(自由度數(shù)目或類型)及相應(yīng)位形發(fā)生改變的機(jī)構(gòu)[1]。運(yùn)動(dòng)分岔機(jī)構(gòu)是新興的可重構(gòu)機(jī)構(gòu)，可作為變自由度可伸展機(jī)構(gòu)、多軸聯(lián)動(dòng)多面加工裝備和多步態(tài)靈活移動(dòng)裝置的運(yùn)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，無(wú)疑具有很高的研究?jī)r(jià)值和廣闊應(yīng)用前景[ 2-3]。課題組將機(jī)構(gòu)的特定自由度及其相應(yīng)位形稱為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模式。

奇異位形是運(yùn)動(dòng)分岔機(jī)構(gòu)不同運(yùn)動(dòng)模式間的瞬時(shí)轉(zhuǎn)換位形[4]。通過(guò)在奇異位形中引入新的驅(qū)動(dòng)副，運(yùn)動(dòng)分岔機(jī)構(gòu)可離開(kāi)瞬時(shí)奇異位形，切換為連續(xù)運(yùn)動(dòng)模式[5]。對(duì)運(yùn)動(dòng)分岔機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，奇異位形往往是自由度切換位形，而非需要避免的失控位置[6]。

課題組將運(yùn)動(dòng)分岔特性引入到并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，提出了新構(gòu)型的運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)。課題組認(rèn)為，分岔機(jī)構(gòu)在通過(guò)瞬時(shí)奇異位形前后自由度發(fā)生改變的根源，在于分岔機(jī)構(gòu)支鏈中約束特性(約束螺旋數(shù)量或軸線方向)的改變，因而機(jī)構(gòu)支鏈中必定存在著多個(gè)線性相關(guān)的約束螺旋，這通常由通過(guò)切換驅(qū)動(dòng)副從而實(shí)現(xiàn)過(guò)約束的分岔閉鏈來(lái)實(shí)現(xiàn)[7]。所以可認(rèn)為分岔機(jī)構(gòu)的變自由度特性來(lái)自于分岔閉鏈。

目前研究者們已經(jīng)提出了一些運(yùn)動(dòng)分岔機(jī)構(gòu)：LI等提出了具有不同schoenflies運(yùn)動(dòng)分岔特性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)[8];Galletti等提出了許多具有運(yùn)動(dòng)分岔特性的機(jī)構(gòu)[9];ZENG等提出了一款4自由度混聯(lián)分岔機(jī)構(gòu)[10]；LEE等提出一種廣義運(yùn)動(dòng)分岔機(jī)構(gòu)是運(yùn)動(dòng)限定6R機(jī)構(gòu)[11]58；葉偉等利用單環(huán)閉鏈的約束奇異特性提出一系列可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[12-14]。

課題組提出了一種URRC(萬(wàn)向節(jié)-轉(zhuǎn)動(dòng)副-轉(zhuǎn)動(dòng)副-圓柱副)構(gòu)型的運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈，具有單自由度整體空間連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)或者單自由度平面連續(xù)運(yùn)動(dòng)2種運(yùn)動(dòng)模式。以此運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈為核心單元，構(gòu)建了具有5自由度和6自由度運(yùn)動(dòng)模式的混聯(lián)支鏈，及具有3轉(zhuǎn)3移、3轉(zhuǎn)2移、3轉(zhuǎn)1移和2轉(zhuǎn)1移共4種運(yùn)動(dòng)模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。基于螺旋理論[15]對(duì)分岔閉鏈、混聯(lián)支鏈及并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了多運(yùn)動(dòng)模式分岔閉鏈、支鏈和并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)的合理性。

1 運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈自由度分析

1.1 運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈奇異位形下瞬時(shí)自由度分析

課題組提出的具有運(yùn)動(dòng)分岔特性的閉鏈如圖1所示，閉鏈的構(gòu)型為URRC(萬(wàn)向節(jié)-轉(zhuǎn)動(dòng)副-轉(zhuǎn)動(dòng)副-圓柱副)。LEE[11]60所提出的運(yùn)動(dòng)限定6R機(jī)構(gòu)由2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和2個(gè)萬(wàn)向節(jié)連接的4桿組成，該機(jī)構(gòu)可以執(zhí)行平面4桿運(yùn)動(dòng)和單軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。課題組提出的閉鏈用圓柱副代替了LEE[11]61所述的一個(gè)萬(wàn)向節(jié)，可以執(zhí)行平面曲柄滑塊連續(xù)運(yùn)動(dòng)和整體空間連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

機(jī)架與構(gòu)件AS在A點(diǎn)通過(guò)圓柱副相連，構(gòu)件AB與構(gòu)件AS在A點(diǎn)以轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，構(gòu)件AB與構(gòu)件BG在B點(diǎn)以轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，機(jī)架與構(gòu)件BG在G點(diǎn)通過(guò)萬(wàn)向節(jié)相連，其中構(gòu)件BG長(zhǎng)度為a，AG長(zhǎng)度為b，其中A,B,G為運(yùn)動(dòng)副形心。

選取圖1中構(gòu)件AS為輸出構(gòu)件，該輸出構(gòu)件右端通過(guò)支鏈1(包含轉(zhuǎn)動(dòng)螺旋SA1和移動(dòng)螺旋SA2)，左端通過(guò)支鏈2(包含轉(zhuǎn)動(dòng)螺旋SA3,SB,SG1和SG2)與機(jī)架連接。則支鏈1和支鏈2的運(yùn)動(dòng)螺旋分別為:

(1)

(2)

對(duì)式(1)和式(2)取反螺旋可得支鏈1和2的約束螺旋為：

(3)

(4)

由(3)和式(4)可得2條支鏈的在奇異位形下的公共約束為：

(5)

因此，奇異位形下的公共約束數(shù)λ=2，機(jī)構(gòu)的階數(shù)d=6-λ=4。奇異位形不存在并聯(lián)冗余約束，由修正的G-K公式可得在奇異位形下閉鏈瞬時(shí)自由度為：

(6)

式中：M表示機(jī)構(gòu)的自由度；n表示包含機(jī)架的構(gòu)件數(shù)；g表示運(yùn)動(dòng)副的數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù);v代表并聯(lián)冗余約束數(shù)。

SB·SG1=sinα·sinβ=0。

(7)

由式(7)看出，α=0且β=0時(shí)即為奇異位形；α=0或β=0時(shí)為一般位形，且α=0和β=0不能同時(shí)存在。

1.2 運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈模式Ⅰ自由度分析

(8)

(9)

(10)

由式(9)和(10)可得該閉鏈公共約束為0，機(jī)構(gòu)的階d=6。2條支鏈共有6個(gè)約束螺旋線性相關(guān)其秩為5，存在并聯(lián)冗余約束v=1。在此位形下閉鏈的自由度數(shù)為:

M=6(4-4-1)+6+1=1。

(11)

對(duì)式(14)和(15)的約束螺旋系取反螺旋可得構(gòu)件AS的運(yùn)動(dòng)螺旋為

(12)

由式(12)可見(jiàn),當(dāng)β=0，α為任意角時(shí)，構(gòu)件AS的自由度為1，運(yùn)動(dòng)為繞x軸的連續(xù)運(yùn)動(dòng)。如圖2(b)所示，此時(shí)閉鏈整體被剛化稱為單自由度整體空間轉(zhuǎn)動(dòng)連續(xù)運(yùn)動(dòng)模式。

1.3 運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈模式Ⅱ自由度分析

(13)

式中：(xA,yA,zA)表示A點(diǎn)坐標(biāo)。

(14)

(15)

由式(14)和(15)可得該閉鏈公共約束為0，機(jī)構(gòu)的階d=6。2條支鏈共有6個(gè)約束螺旋線性相關(guān)其秩為5，存在并聯(lián)冗余約束v=1。在此位形下閉鏈的自由度數(shù)為

M=6(4-4-1)+6+1=1。

(16)

對(duì)式(9)和(10)的約束螺旋系取反螺旋可得構(gòu)件AS的運(yùn)動(dòng)螺旋為:

(17)

由式(17)可見(jiàn)，當(dāng)α=0，β為任意角時(shí)，構(gòu)件a的自由度為1，運(yùn)動(dòng)為沿x軸的平移運(yùn)動(dòng)。如圖3(b)所示，此時(shí)整個(gè)機(jī)構(gòu)稱為單自由度平面運(yùn)動(dòng)連續(xù)運(yùn)動(dòng)模式。

2 運(yùn)動(dòng)分岔混聯(lián)支鏈自由度分析

2.1 混聯(lián)支鏈5自由度模式

(18)

對(duì)式(18)運(yùn)動(dòng)螺旋求其反螺旋，可得混聯(lián)支鏈的約束螺旋為：

(19)

式中：(xD,yD,zD)表示D點(diǎn)坐標(biāo);(xE,yE,zE)表示E點(diǎn)坐標(biāo);(xF,yF,zF)表示F點(diǎn)坐標(biāo)。

如用該混聯(lián)支鏈組裝得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由式(19)表明，模式Ⅰ時(shí)混聯(lián)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加一個(gè)約束力線矢，該力線矢與固定坐標(biāo)系x方向相同且通過(guò)球面副所在的F點(diǎn)，此時(shí)混聯(lián)支鏈為5自由度模式。

2.2 混聯(lián)支鏈6自由度模式

(20)

由式(20)可見(jiàn)，模式Ⅱ時(shí)混聯(lián)支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋秩為6，則混聯(lián)支鏈無(wú)約束作用于動(dòng)平臺(tái)，混聯(lián)支鏈模式為6自由度模式。

3 運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式自由度分析

如圖6所示，利用3條對(duì)稱布置的URRC-RRS混聯(lián)支鏈組裝為運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)?；炻?lián)支鏈的運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈與定平臺(tái)相連，混聯(lián)支鏈的球面副與動(dòng)平臺(tái)相連。建立定坐標(biāo)系o0-x0y0z0于定平臺(tái)的幾何中心，x0方向與混聯(lián)支鏈1的機(jī)架方向平行，y0垂直于定平臺(tái)，z0由右手定則確定。建立動(dòng)坐標(biāo)系o1-x1y1z1在動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)中心，其方向與定坐標(biāo)系一致。

3.1 3轉(zhuǎn)3移運(yùn)動(dòng)模式

若并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3條混聯(lián)支鏈都工作在6自由度模式，此時(shí)將無(wú)約束作用于動(dòng)平臺(tái)。該運(yùn)動(dòng)模式下并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為6，可實(shí)現(xiàn)圖7所示的3轉(zhuǎn)3移運(yùn)動(dòng)模式。

3.2 3轉(zhuǎn)2移運(yùn)動(dòng)模式

(21)

式中：P1,Q1和R1為常數(shù)。

由式(21)可知，該約束力線矢作用于混聯(lián)支鏈1球面副F1上且與動(dòng)平臺(tái)x1正方向平行，它約束了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)沿x1方向的移動(dòng)。在該模式下可實(shí)現(xiàn)圖8(b)3轉(zhuǎn)2移運(yùn)動(dòng)模式。

3.3 3轉(zhuǎn)1移運(yùn)動(dòng)模式

(22)

式中：Pi,Qi和Ri(i=1,2)為常數(shù)。

3.4 2轉(zhuǎn)1移運(yùn)動(dòng)模式

(23)

式中：Pi,Qi和Ri(i=1,2,3)為常數(shù)。

由式(23)和圖10(b)可知，3個(gè)約束力線矢共面、不平行也不匯交一點(diǎn)，它們約束了動(dòng)平臺(tái)沿x1和z1的移動(dòng)及繞y1的轉(zhuǎn)動(dòng)。可見(jiàn)在該模式下可實(shí)現(xiàn)2轉(zhuǎn)1移運(yùn)動(dòng)模式。

4 支鏈輸入副選取合理性分析

根據(jù)輸入選取原理[17]，鎖死所有輸入運(yùn)動(dòng)副后，若動(dòng)平臺(tái)約束螺旋的秩為6，則動(dòng)平臺(tái)將失去全部6個(gè)自由度，選取合理。鎖死奇異位形下每一支鏈的2個(gè)輸入運(yùn)動(dòng)副，每一支鏈的機(jī)構(gòu)被剛化，如將混聯(lián)支鏈的定坐標(biāo)系o-xyz平移至轉(zhuǎn)動(dòng)副D的形心，此時(shí)混聯(lián)支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋為:

(24)

對(duì)式(24)取反螺旋得混聯(lián)支鏈的約束螺旋為:

(25)

式中：Δy=yF-yE;Δz=zF-zE。

由式(25)可見(jiàn)，剛化輸入副后，動(dòng)平臺(tái)將受到每條混聯(lián)支鏈2個(gè)約束力線矢的作用。一個(gè)約束力線矢與定坐標(biāo)系x軸平行；另一約束力矢平行于構(gòu)件EF。

在定坐標(biāo)系下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束螺旋為:

(26)

式中：d為定平臺(tái)中心o0到等邊三角形各邊的距離。

由式(26)可見(jiàn)，在定坐標(biāo)系下，動(dòng)平臺(tái)約束螺旋的秩為6。如輸入副被剛化，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)將失去6個(gè)自由度，所以輸入方案選取是合理的。

5 結(jié)論

1) 課題組提出一種構(gòu)型為URRC運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈，閉鏈具有2自由度奇異位形下的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)，一般位形下有單自由度整體空間連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)或者單自由度平面連續(xù)運(yùn)動(dòng)2種互斥運(yùn)動(dòng)模式。

2) 將運(yùn)動(dòng)分岔閉鏈與5自由度RRS開(kāi)鏈串聯(lián)得到一種混聯(lián)支鏈。該混聯(lián)支鏈具備2種獨(dú)立運(yùn)動(dòng)模式，輸入副不同可使得混聯(lián)支鏈在5自由度模式和6自由度模式切換。

3) 利用3條對(duì)稱布置的URRC-RRS混聯(lián)支鏈得到運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)?；炻?lián)支鏈模式選取不同，運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3轉(zhuǎn)3移、3轉(zhuǎn)2移、3轉(zhuǎn)1移和2轉(zhuǎn)1移4種不同運(yùn)動(dòng)模式。