梁華志,張靖儀

(廣州大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,廣東 廣州,510006)

復(fù)雜度是量子信息理論中的概念,指的是從一個(gè)參考狀態(tài)到一個(gè)目標(biāo)狀態(tài)所需要的量子門(mén)的最小數(shù)目。在量子信息中,量子門(mén)指的就是簡(jiǎn)單操作。2015年Brown等[1]基于全息引力[2-5],提出了復(fù)雜度—作用量對(duì)偶(Complexity-Action duality,簡(jiǎn)稱(chēng)CA對(duì)偶),他指出d維邊界全息狀態(tài)的量子計(jì)算復(fù)雜度對(duì)偶于(d+1)維Wheeler-DeWitt patch(簡(jiǎn)稱(chēng)WDW片)的經(jīng)典作用量。研究黑洞復(fù)雜度的問(wèn)題最終回到了對(duì)作用量的計(jì)算,這是研究黑洞復(fù)雜度的全新方法。應(yīng)該指出的是在Brown等[1]提出復(fù)雜度—作用量對(duì)偶之前,Susskind[6]提出了復(fù)雜度—長(zhǎng)度對(duì)偶,Stanford[7]等提出了復(fù)雜度—體積對(duì)偶,逐步改進(jìn)后才有了后來(lái)的Brown等[1]提出的復(fù)雜度—作用量對(duì)偶。

CA對(duì)偶提出后的短短幾年,黑洞復(fù)雜度的研究得到了很大發(fā)展[8-14]。到目前為此,人們利用CA對(duì)偶,得到了Schwarzschild-AdS黑洞和RN-AdS黑洞全時(shí)(包含初期和晚期)的復(fù)雜度演化的結(jié)果[8,12],以及Kerr-AdS黑洞的晚期復(fù)雜度演化的結(jié)果[9]。與此同時(shí),對(duì)于高階導(dǎo)數(shù)引力,特別是Gauss-Bonnet引力和三階Lovelock引力的復(fù)雜度演化也有了很大發(fā)展[13-14]。最近Fan[14]等得到了一般高階導(dǎo)數(shù)引力的復(fù)雜度演化公式,并利用數(shù)值方法對(duì)平面的(k=0)中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化進(jìn)行了詳細(xì)討論,特別需要注意的是Fan[14]等對(duì)中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞復(fù)雜度討論的結(jié)果僅局限于視界面幾何為平面的情況(k=0)。本文將在Fan等[14]工作的基礎(chǔ)上,利用一般高階導(dǎo)數(shù)引力的復(fù)雜度演化公式,對(duì)一般的(k任意)中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化進(jìn)行計(jì)算,得到一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化公式,不失一般性,我們?cè)倮脭?shù)值方法,畫(huà)出平面的(k=0)以及球?qū)ΨQ(chēng)的(k=1)中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化圖以及微分圖,找出不同視界幾何的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞復(fù)雜度演化的共同點(diǎn)以及差異,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行一些討論。

1 一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞復(fù)雜度演化公式

復(fù)雜度—作用量對(duì)偶[1](Complexity-Action duality,簡(jiǎn)稱(chēng)CA對(duì)偶)：

其中,dC/dt表示復(fù)雜度增長(zhǎng)速率,dI/dt表示作用量增長(zhǎng)速率,使用自然單位制,普朗克常量?=1。一般的中性高階導(dǎo)數(shù)引力AdS黑洞(D維)線元表達(dá)式為

一般h(r) ≠f(r),k= 1 ,0,-1分別表示視界面為球面、平面以及雙曲拋物面的黑洞。

根據(jù)Fan等[14]的結(jié)果,一般的中性高階導(dǎo)數(shù)引力AdS黑洞的復(fù)雜度增長(zhǎng)速率為

其中,Δ為總作用量增長(zhǎng)速率的晚期極限。圖1為一般的中性雙邊AdS黑洞WDW片的示意圖,rm為WDW片兩條過(guò)去類(lèi)光邊界交界處的徑向坐標(biāo)。臨界時(shí)間tc指的是WDW片兩條過(guò)去類(lèi)光邊界相交的“節(jié)點(diǎn)”恰好落在過(guò)去奇點(diǎn)上所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t,t為兩側(cè)邊界時(shí)間之和,即

烏龜坐標(biāo)r?(r)定義為

所以r?(∞) = 0 。一般的中性高階導(dǎo)數(shù)引力AdS黑洞的溫度函數(shù)

瓦爾德熵函數(shù)

D維(D≥5)的一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞線元表達(dá)式為

其中,k= 1 ,0,-1分別表示視界面為球面、平面以及雙曲拋物面的黑洞,此時(shí)w(r)=1,l為AdS半徑,M為黑洞質(zhì)量,ωD-2為和視界面幾何相關(guān)的余二維的單位體積。λ為耦合常數(shù),它的取值范圍為

圖1 一般的中性雙邊AdS黑洞Wheeler-DeWitt patch

可以得到一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞總作用量增長(zhǎng)速率的晚期極限

進(jìn)一步計(jì)算,得

不難證明,當(dāng)k=0時(shí),上述結(jié)果和Fan等[14]的文章里的平面的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的結(jié)果是完全一致的。

2 一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞復(fù)雜度演化圖和微分圖

為了更直觀地看出黑洞復(fù)雜度演化的情況,本文利用數(shù)值方法畫(huà)出一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞復(fù)雜度演化圖和微分圖。由于烏龜坐標(biāo)在事件視界處是奇異的,不可能直接用數(shù)值方法去解(5)式得到rm隨時(shí)間t的演化函數(shù)再代入(4)式從而得到復(fù)雜度增長(zhǎng)的函數(shù),和Fan等[14]的方法一樣,必須引入新的函數(shù)F(r)和H(r)

其中,F(rh) = 2 πT/rh。此時(shí),烏龜坐標(biāo)可以重新表示為

烏龜坐標(biāo)的奇異部分已經(jīng)分離到右邊第一項(xiàng),現(xiàn)在可以很容易得到烏龜坐標(biāo)的數(shù)值解。此時(shí),時(shí)間t以及臨界時(shí)間tc分別為

在數(shù)值方法里,通常采用無(wú)量綱的量,因此采用無(wú)量綱的時(shí)間≡t/β=Tt,其中β表示熱時(shí)間,β= 1 /T。此時(shí),無(wú)量綱的時(shí)間以及臨界時(shí)間分別為

復(fù)雜度增長(zhǎng)速率同樣需要通過(guò)除以晚期極限來(lái)無(wú)量綱化,即

下面給出一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化的數(shù)值分析結(jié)果。為不失一般性,選擇k= 0(平面黑洞)以及k=1(球?qū)ΨQ(chēng)黑洞)。圖2為不同大小的一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化圖,圖3為對(duì)應(yīng)的復(fù)雜度微分圖,復(fù)雜度微分δC=C(t) -C(tc)通過(guò)對(duì)dC/dt積分得到。表1和表2分別記錄了不同大小的平面(k=0)和球?qū)ΨQ(chēng)(k=1)的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間。圖4為不同耦合常數(shù)的一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化圖,圖5為對(duì)應(yīng)的復(fù)雜度微分圖,表3和表4分別記錄了不同耦合常數(shù)的平面(k=0)和球?qū)ΨQ(chēng)(k=1)的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間。

圖2 不同大小的一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化圖。選擇：λ=0.05,G=α=1,ωD-2=16π。

圖3 不同大小的一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度微分圖。選擇：λ=0.05,G=α=1,ωD-2=16π。

表1 不同大小的平面的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間(k=0,λ=0.05)

表1 不同大小的平面的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間(k=0,λ=0.05)

images/BZ_34_757_1810_1719_1868.pngD=5 0.379 584 0.379 584 0.379 884 D=6 0.578 743 0.578 743 0.578 743 D=7 0.757 474 0.757 474 0.757 474 D=8 0.926 736 0.926 736 0.926 736

表2 不同大小的球?qū)ΨQ(chēng)的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間(k=1,λ=0.05)

images/BZ_34_757_2239_1719_2297.pngD=5 0.483 888 0.395 163 0.385 353 D=6 0.752 212 0.603 286 0.587 788 D=7 0.996 399 0.790 546 0.769 637 D=8 1.231 620 0.968 409 0.942 043

圖4 不同耦合常數(shù)的一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化圖。選擇：rh/l=1,G=α=1,ωD-2=16π。

圖5 不同耦合常數(shù)的一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度微分圖。選擇：rh/l=1,G=α=1,ωD-2=16π。

表3 不同耦合常數(shù)的平面的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間 (k=0,rh/l=1)

表3 不同耦合常數(shù)的平面的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間 (k=0,rh/l=1)

維度 tc ～(較小λ)D=5 0.308 817 0.379 584 0.499 964 D=6 0.508 275 0.578 743 0.688 172 D=7 0.683 368 0.757 474 0.866 012 D=8 0.847 431 0.926 736 1.038 250～(較大λ) tc～(中等λ) tc

表4 不同耦合常數(shù)的球?qū)ΨQ(chēng)的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間(k=1,rh/l=1)

表4 不同耦合常數(shù)的球?qū)ΨQ(chēng)的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間(k=1,rh/l=1)

～(較小λ)D=5 0.362 820 0.483 888 0.707 060 D=6 0.625 259 0.752 212 0.973 399 D=7 0.855 176 0.996 399 1.231 950 D=8 1.073 700 1.231 620 1.486 990維度 tc～(較大λ) tc～(中等λ) tc

3 結(jié)果和討論

根據(jù)數(shù)值分析的結(jié)果可知,一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度增長(zhǎng)有如下特點(diǎn)：(1)復(fù)雜度增長(zhǎng)的整體趨勢(shì)都是先增長(zhǎng)到一個(gè)局部的極大值,再開(kāi)始下降,最后趨近于晚期極限;(2)隨著維度的增加,不同大小和不同耦合常數(shù)的一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化圖都會(huì)整體往右移,說(shuō)明一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間隨著維度的增大而增大;(3)當(dāng)k=0時(shí),不同大小的黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間總是相同的,這和Fan等[14]的文章的分析結(jié)果是一致的,而當(dāng)k=1時(shí),不同大小的黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間卻不再相同,在相同維度下,黑洞越大,無(wú)量綱的臨界時(shí)間越小,而且維度越高,不同大小的黑洞的復(fù)雜度演化圖越“分散”,說(shuō)明無(wú)量綱的臨界時(shí)間差別越大;(4)無(wú)論是k=0還是k=1,不同耦合常數(shù)黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間隨著耦合常數(shù)的增加而減小,而且維度越高,不同耦合常數(shù)的黑洞之間的無(wú)量綱的臨界時(shí)間的差別越大。

通過(guò)比較,可以發(fā)現(xiàn)平面的(k=0)和球?qū)ΨQ(chēng)的(k=1)一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度增長(zhǎng)的圖像有明顯的區(qū)別,說(shuō)明視界幾何對(duì)黑洞復(fù)雜度的增長(zhǎng)是有一定影響的。但是不同視界幾何的黑洞的復(fù)雜度增長(zhǎng)的整體規(guī)律是一致的,都是增長(zhǎng)到一個(gè)局部的極大值,再開(kāi)始下降,最后趨近于晚期極限,這體現(xiàn)了一般的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度增長(zhǎng)內(nèi)在的統(tǒng)一性。與此同時(shí),平面的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞也有其特殊性,主要體現(xiàn)在不同大小的平面的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間都是相同的,而球?qū)ΨQ(chēng)的黑洞沒(méi)有這樣好的性質(zhì)。