楊 陽，邱金星，劉皓晨，裴翠祥，陳振茂

（陜西省無損檢測與結(jié)構(gòu)完整性評價工程技術(shù)研究中心，機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室， 西安交通大學(xué)，陜西 西安 710049）

0 引言

為了確保關(guān)鍵設(shè)施結(jié)構(gòu)安全運行，對表面裂紋進(jìn)行檢測十分重要，需要在工程實際應(yīng)用中采用無損檢測技術(shù)。目前應(yīng)用較多的常規(guī)無損檢測方法，例如超聲檢測、滲透檢測和渦流檢測，存在不能遠(yuǎn)距離對結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測，檢測效率低下的問題[1]。

作為一種新型的紅外檢測方法，激光紅外檢測技術(shù)運用激光熱源對被測試件表面加熱并利用紅外相機檢測記錄表面的溫度分布圖像[2]。當(dāng)激光光斑靠近表面裂紋時，其表面熱流會因裂紋的存在而產(chǎn)生擾動，因此通過對紅外圖像的分析即可實現(xiàn)對表面裂紋的檢測。與常規(guī)的無損檢測方法相比，激光紅外檢測技術(shù)具有遠(yuǎn)距離、非接觸和高檢測效率的優(yōu)點[3]。由于采用激光點光源作為熱源，其熱流主要沿表面?zhèn)鞑?，因此非常適合用于表面裂紋的檢測[4]。此外，基于表面溫度信號，該方法也有望實現(xiàn)表面裂紋的定量重構(gòu)。

本文根據(jù)激光紅外檢測的基本原理，并基于頻域疊加法和數(shù)據(jù)庫策略，實現(xiàn)了表面溫度的快速數(shù)值模擬，計算了不同裂紋尺寸下試件表面的溫度分布。通過引入合適的信號特征量，基于確定論裂紋重構(gòu)算法，實現(xiàn)了基于激光紅外檢測信號的表面裂紋定量重構(gòu)。最后進(jìn)行了紅外檢測實驗，基于實驗信號完成了對試件表面裂紋的定量重構(gòu)，驗證了該方法的有效性。

1 數(shù)值模擬方法

1.1 紅外檢測數(shù)值模擬理論

激光紅外檢測的導(dǎo)熱為瞬態(tài)傳熱過程。根據(jù)傅里葉傳熱定律，對于均勻、各向同性材料，忽略其表面輻射和對流，并設(shè)內(nèi)熱源為零，這時熱傳導(dǎo)方程可寫為如下形式：

式中：ρ、c、κ分別為材料的密度、比熱容和熱導(dǎo)率；T為溫度；Q表示外部熱激勵。

溫度場的邊界條件可表示為：

式中：nx，ny，nz為邊界法向量在x、y、z方向上的分量；q為激光熱源的熱流密度。根據(jù)有限元方法，控制方程可離散表達(dá)為如下形式：

式中：[K]、[C]分別為有限元模型導(dǎo)熱系數(shù)矩陣和比熱系數(shù)矩陣；{Q}為瞬態(tài)熱激勵。對該控制方程可運用時域積分法進(jìn)行求解計算[5]。

1.2 紅外檢測信號快速算法

有限元控制方程的傳統(tǒng)時域積分法求解方法需要在整個時域上按時間步長Δt不斷迭代求解計算，為保證求解的精度，Δt需保持小量，對于逆問題缺陷重構(gòu)中需大量正問題計算時，其效率不高，需尋求快速準(zhǔn)確的求解方法。作者研究組提出了針對脫粘缺陷的紅外檢測快速計算，該方法基于頻域疊加法和數(shù)據(jù)庫策略，將有限元控制方程從時域轉(zhuǎn)化為頻域，并進(jìn)一步通過利用無缺陷數(shù)據(jù)庫對方程進(jìn)行降維處理，從而可大大減少求解時間[6]。本研究將這一算法拓展到表面裂紋缺陷的快速數(shù)值模擬。

對于有限元控制方程(3)，由于紅外響應(yīng)問題為線性問題滿足疊加原理條件。根據(jù)傅里葉變換，瞬態(tài)熱激勵{Q}及溫度{T}可表示為一系列正弦分量的疊加，因此式(3)可轉(zhuǎn)換為如下形式：

式中：N為分解的頻率總個數(shù)；分別為第n個頻率所對應(yīng)正弦分量的幅值；ωn為第n個諧波角頻率且ωn＝nωb，其中ωb是傅里葉分解的基頻。有式(4)可得單個諧波頻率分量對應(yīng)方程為：

值得注意的是，對所有諧波分量運用式(5)進(jìn)行求解，會導(dǎo)致很大的計算量。為減少計算量可采取頻響函數(shù)插值策略，即選取合適的頻率進(jìn)行求解，而對其他諧波頻率則運用插值方法進(jìn)行近似處理。以上即為基于頻率疊加法的紅外快速模擬方法的基本思路。

為進(jìn)一步提高計算效率，對于裂紋缺陷導(dǎo)致的紅外信號擾動的快速計算可運用數(shù)據(jù)庫策略。該方法基本思想是通過提前建立無缺陷模型溫度場數(shù)據(jù)庫將式(5)進(jìn)行降維處理。對于含裂紋缺陷模型，可將節(jié)點分為3類：缺陷區(qū)域節(jié)點、非缺陷區(qū)域節(jié)點和表面節(jié)點，只有對缺陷區(qū)域節(jié)點，其控制方程(5)中的系數(shù)矩陣[K]和[C]與無缺陷模型不同，由此將含缺陷模型的控制方程與無缺陷模型作差后，整個控制方程的求解只與缺陷區(qū)域有關(guān)，即可將方程的維數(shù)降低至缺陷區(qū)域節(jié)點數(shù)，從而大大縮短方程的求解時間。對于裂紋紅外重構(gòu)問題，可提前建立無缺陷模型和無缺陷場數(shù)據(jù)庫，運用頻率疊加法進(jìn)行求解，對于重構(gòu)過程中不同大小裂紋的正問題計算，只需直接從數(shù)據(jù)庫中取出相關(guān)參數(shù)即可，可進(jìn)一步提高計算效率。

1.3 快速算法驗證

為驗證上述快速算法的有效性，建立表面裂紋缺陷模型并分別運用時域積分法、頻域疊加法、數(shù)據(jù)庫法進(jìn)行了紅外響應(yīng)信號的計算。在建立模型時，在距離裂紋較遠(yuǎn)的區(qū)域所劃分網(wǎng)格較大，而在裂紋附近區(qū)域網(wǎng)格劃分較密。所用模型的幾何形狀如圖1所示，模型網(wǎng)格參數(shù)和材料參數(shù)分別列于表1與表2。

圖1 三維模型圖Fig.1 3Dmodel

表1 模型網(wǎng)格參數(shù) Table 1 Parameters of model and mesh

表2 模型材料參數(shù) Table 2 Material parameter of numerical model

采用的熱激勵為2×3的激光點陣，即在裂紋兩側(cè)各布置3個激勵光斑，光斑直徑為2.8 mm，激勵函數(shù)為g(t)=8t3e-2t2，在該激勵下試件表面溫度在1 s時刻達(dá)到最大值。為保證精度，時域積分法所采用的時間步長為0.01 s。而為提高計算效率，對頻域疊加法進(jìn)行了插值處理。在圖2中給出了不同方法對中心點溫度隨時間的變化曲線以及1 s時中心線上各個節(jié)點的溫度分布曲線的計算結(jié)果。3條曲線基本重合，從時間分布和空間分布兩方面3種方法的結(jié)果具有很好的一致性，從而驗證了快速算法的有效性。表3給出了不同方法的計算時間，可以看到在保證計算精度的同時，頻域疊加法與數(shù)據(jù)庫法相比時域積分法計算速度大幅提升，并且數(shù)據(jù)庫法相比頻域疊加法具有更高的計算效率。

2 表面裂紋重構(gòu)方法

2.1 信號特征量選取和重構(gòu)算法

影響溫度場分布的主要因素有裂紋的長度、寬度、深度以及裂紋的位置。本文所研究的表面裂紋寬度很小，一般為0.1～0.4 mm，裂紋寬度不會對裂紋兩側(cè)區(qū)域的溫度分布造成顯著影響[7]，而裂紋的位置一般可利用紅外圖像分布直接確定，因此本研究將裂紋的寬度和位置視為已知，僅裂紋長度和深度進(jìn)行重構(gòu)。

基于確定論反問題算法，裂紋重構(gòu)問題可表述為計算所得信號特征量與實驗所得特征量的加權(quán)殘差最小化的優(yōu)化問題。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為如下形式：

式中：c為裂紋參數(shù)向量；wm為加權(quán)系數(shù)；M為特征數(shù)據(jù)點數(shù)；Zmobs為第m個特征量數(shù)據(jù)的實測值。采取共軛梯度法對裂紋參數(shù)進(jìn)行迭代更新，當(dāng)殘差達(dá)到最小值時，即可完成對裂紋的重構(gòu)。選取合適的特征量對于重構(gòu)算法的有效性至關(guān)重要。

圖2 3種方法計算結(jié)果對比Fig.2 Comparison of calculation results

表3 3種方法計算時間對比Table 3 Comparison of time consuming

為此針對寬度0.2 mm、長度范圍2～6 mm、深度范圍0～2 mm的一系列裂紋模型，對其在第1章所示激光激勵下的溫度相應(yīng)進(jìn)行了計算，并求取了當(dāng)表面溫度達(dá)到最大值時刻裂紋兩側(cè)節(jié)點的溫差。圖3為沿 長度方向裂紋兩側(cè)節(jié)點溫差的分布曲線，坐標(biāo)零點對應(yīng)裂紋中點位置。對于不同長度的裂紋，其兩側(cè)節(jié)點溫差分布有很大差別，在較短的裂紋長度方向以外區(qū)域，由于無裂紋存在其兩側(cè)節(jié)點溫差非常小，而長裂紋對應(yīng)的節(jié)點溫差則遠(yuǎn)大于該值，因此各個節(jié)點溫差值可以反映長度信息。同時隨著裂紋深度的增加，其對熱流的阻礙也隨之增大，兩側(cè)溫差增大，節(jié)點溫差值可同時反映深度信息。因此針對該模型選取30個節(jié)點溫差組成的向量{ΔT}作為特征數(shù)據(jù)對裂紋進(jìn)行重構(gòu)。這時優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

式中：ΔTobs為實驗得到的節(jié)點溫差。

為驗證該重構(gòu)方法的有效性，對裂紋長度分別為為2 mm、4 mm、6 mm，深度分別為1 mm、1.5 mm的6個裂紋模型的溫度響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值計算，并添加5%隨機噪聲作為模擬實驗信號，提取出相應(yīng)的特征量{ΔT}進(jìn)行裂紋重構(gòu)。表4為相應(yīng)重構(gòu)結(jié)果，重構(gòu)出的長度與深度均與實際值基本吻合。

圖3 不同裂紋長度下裂紋兩側(cè)溫差分布曲線 Fig.3 Temperature difference across crack of different length

2.2 基于實驗信號的裂紋重構(gòu)

為進(jìn)一步驗證重構(gòu)方法的有效性，進(jìn)行了激光紅外檢測實驗，實驗系統(tǒng)如圖4所示。系統(tǒng)主要由激光器、產(chǎn)生激勵信號的信號發(fā)生器和采集紅外圖像的紅外熱像儀組成。裂紋試件如圖5所示，裂紋深度為1.5 mm、長度10 mm、寬度0.2 mm。實驗采用的激勵信號為2 s正弦脈沖信號，激光器產(chǎn)生單光斑，其直徑為4 mm，光斑中心距裂紋2.8 mm。在1.1 s時試件表面溫度達(dá)到最大值，對此時刻紅外信號進(jìn)行濾波處理，并按照2.1節(jié)的重構(gòu)方法選取裂紋兩側(cè)24個節(jié)點溫差作為特征量進(jìn)行重構(gòu)，節(jié)點間距為0.5 mm，選取的節(jié)點區(qū)域長度為12 mm大于裂紋長度。其重構(gòu)結(jié)果為長度8.5 mm，深度1.6 mm，在深度上可實現(xiàn)較好的重構(gòu)，但在長度上重構(gòu)結(jié)果與實際值出現(xiàn)一定偏差。這是由于不同于模擬時所采用的點陣激勵，本次實驗為單光斑激勵，在裂紋長度邊界附近其兩側(cè)溫差較小，在重構(gòu)中其權(quán)重過小，需尋找更優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)及特征量來實現(xiàn)長度深度的準(zhǔn)確重構(gòu)。

表4 采用計算數(shù)據(jù)的重構(gòu)結(jié)果 Table 4 Reconstruction results for simulated signals

為了尋找合適的特征量，建立不同裂紋模型，固定裂紋深度1.5 mm，分別取裂紋長度11 mm、10 mm、9 mm和8 mm運用已建立好的數(shù)據(jù)庫進(jìn)行計算，研究其裂紋末端附近的兩側(cè)節(jié)點溫差（15-24號測點）。由圖6可以看到，開始時不同長度的裂紋節(jié)點溫差幾乎一致，但隨著節(jié)點編號的增大，短裂紋的節(jié)點溫差開始快速下降并先趨于0。雖然在遠(yuǎn)離激勵處，不同長度裂紋的節(jié)點溫差都在很小的量級，但由于短裂紋的節(jié)點溫差先接近0，長裂紋的節(jié)點溫差是其數(shù)倍。對此計算不同長度節(jié)點溫差與實驗值之比max{ΔT/ΔTobs,ΔTobs/ΔT}，做出一側(cè)節(jié)點溫差的比值圖像，如圖7所示，可以看到比值能夠較好地反應(yīng)出長度的變化。

因此，為增大裂紋端部溫差的權(quán)重，對于兩端測點（1-9和16-24號測點），選取計算值與實驗值的比值max{ΔT/ΔTobs,ΔTobs/ΔT}作為特征量，而中間測點依舊采用溫度差值{ΔT}。改良后的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

圖4 實驗系統(tǒng)示意圖Fig.4 Experimentalsetup

圖5 裂紋試件圖Fig.5 Figureof test-piece with crack

圖6 沿裂紋長度方向的溫差分布Fig.6 Temperature difference distribution along cra ck

圖7 沿裂紋長度方向的溫差特征量分布Fig.7 Distribution of featureparameter along crack

按照式(8)目標(biāo)函數(shù)利用共軛梯度法進(jìn)行求解，對裂紋進(jìn)行了重構(gòu)。當(dāng)設(shè)置初始深度0.2mm、長度6mm時，所得重構(gòu)結(jié)果為裂紋深度1.58mm、長度10.6mm，與1.5mm深、10mm長的真實值基本一致。圖8為模擬所得的1.1s時刻裂紋兩側(cè)溫差分布曲線，可以看到重構(gòu)裂紋對應(yīng)檢測信號的計算結(jié)果與實驗結(jié)果也基本一致，進(jìn)一步驗證了重構(gòu)結(jié)果的有效性。

3 結(jié)論

本文基于頻率疊加法與數(shù)據(jù)庫策略實現(xiàn)了表面裂紋激光紅外檢測信號的快速數(shù)值模擬，并通過與原有方法的對比驗證了快速算法的有效性。針對裂紋長度與深度的重構(gòu)，分別對不同尺寸的裂紋模型表面溫度場進(jìn)行了計算分析，選取裂紋兩側(cè)節(jié)點溫差作為重構(gòu)特征量，基于共軛梯度法開發(fā)了重構(gòu)算法并以添加噪聲的模擬溫度信號進(jìn)行裂紋重構(gòu)，驗證了方法的可行性。最后進(jìn)行了平板試件裂紋紅外檢測實驗，針對實驗條件的特殊性，對特征量進(jìn)行更新，實現(xiàn)對基于實測信號的有效裂紋重構(gòu)。

圖8 1.1s時刻裂紋兩側(cè)溫差分布曲線Fig.8 Temperaturedifference acrosscrack at time instant 1.1s