楊 陽(yáng)，邱金星，劉皓晨，裴翠祥，陳振茂

（陜西省無(wú)損檢測(cè)與結(jié)構(gòu)完整性評(píng)價(jià)工程技術(shù)研究中心，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安交通大學(xué)，陜西 西安 710049）

0 引言

為了確保關(guān)鍵設(shè)施結(jié)構(gòu)安全運(yùn)行，對(duì)表面裂紋進(jìn)行檢測(cè)十分重要，需要在工程實(shí)際應(yīng)用中采用無(wú)損檢測(cè)技術(shù)。目前應(yīng)用較多的常規(guī)無(wú)損檢測(cè)方法，例如超聲檢測(cè)、滲透檢測(cè)和渦流檢測(cè)，存在不能遠(yuǎn)距離對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)效率低下的問(wèn)題[1]。

作為一種新型的紅外檢測(cè)方法，激光紅外檢測(cè)技術(shù)運(yùn)用激光熱源對(duì)被測(cè)試件表面加熱并利用紅外相機(jī)檢測(cè)記錄表面的溫度分布圖像[2]。當(dāng)激光光斑靠近表面裂紋時(shí)，其表面熱流會(huì)因裂紋的存在而產(chǎn)生擾動(dòng)，因此通過(guò)對(duì)紅外圖像的分析即可實(shí)現(xiàn)對(duì)表面裂紋的檢測(cè)。與常規(guī)的無(wú)損檢測(cè)方法相比，激光紅外檢測(cè)技術(shù)具有遠(yuǎn)距離、非接觸和高檢測(cè)效率的優(yōu)點(diǎn)[3]。由于采用激光點(diǎn)光源作為熱源，其熱流主要沿表面?zhèn)鞑ィ虼朔浅＿m合用于表面裂紋的檢測(cè)[4]。此外，基于表面溫度信號(hào)，該方法也有望實(shí)現(xiàn)表面裂紋的定量重構(gòu)。

本文根據(jù)激光紅外檢測(cè)的基本原理，并基于頻域疊加法和數(shù)據(jù)庫(kù)策略，實(shí)現(xiàn)了表面溫度的快速數(shù)值模擬，計(jì)算了不同裂紋尺寸下試件表面的溫度分布。通過(guò)引入合適的信號(hào)特征量，基于確定論裂紋重構(gòu)算法，實(shí)現(xiàn)了基于激光紅外檢測(cè)信號(hào)的表面裂紋定量重構(gòu)。最后進(jìn)行了紅外檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，基于實(shí)驗(yàn)信號(hào)完成了對(duì)試件表面裂紋的定量重構(gòu)，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 數(shù)值模擬方法

1.1 紅外檢測(cè)數(shù)值模擬理論

激光紅外檢測(cè)的導(dǎo)熱為瞬態(tài)傳熱過(guò)程。根據(jù)傅里葉傳熱定律，對(duì)于均勻、各向同性材料，忽略其表面輻射和對(duì)流，并設(shè)內(nèi)熱源為零，這時(shí)熱傳導(dǎo)方程可寫為如下形式：

式中：ρ、c、κ分別為材料的密度、比熱容和熱導(dǎo)率；T為溫度；Q表示外部熱激勵(lì)。

溫度場(chǎng)的邊界條件可表示為：

式中：nx，ny，nz為邊界法向量在x、y、z方向上的分量；q為激光熱源的熱流密度。根據(jù)有限元方法，控制方程可離散表達(dá)為如下形式：

式中：[K]、[C]分別為有限元模型導(dǎo)熱系數(shù)矩陣和比熱系數(shù)矩陣；{Q}為瞬態(tài)熱激勵(lì)。對(duì)該控制方程可運(yùn)用時(shí)域積分法進(jìn)行求解計(jì)算[5]。

1.2 紅外檢測(cè)信號(hào)快速算法

有限元控制方程的傳統(tǒng)時(shí)域積分法求解方法需要在整個(gè)時(shí)域上按時(shí)間步長(zhǎng)Δt不斷迭代求解計(jì)算，為保證求解的精度，Δt需保持小量，對(duì)于逆問(wèn)題缺陷重構(gòu)中需大量正問(wèn)題計(jì)算時(shí)，其效率不高，需尋求快速準(zhǔn)確的求解方法。作者研究組提出了針對(duì)脫粘缺陷的紅外檢測(cè)快速計(jì)算，該方法基于頻域疊加法和數(shù)據(jù)庫(kù)策略，將有限元控制方程從時(shí)域轉(zhuǎn)化為頻域，并進(jìn)一步通過(guò)利用無(wú)缺陷數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)方程進(jìn)行降維處理，從而可大大減少求解時(shí)間[6]。本研究將這一算法拓展到表面裂紋缺陷的快速數(shù)值模擬。

對(duì)于有限元控制方程(3)，由于紅外響應(yīng)問(wèn)題為線性問(wèn)題滿足疊加原理?xiàng)l件。根據(jù)傅里葉變換，瞬態(tài)熱激勵(lì){Q}及溫度{T}可表示為一系列正弦分量的疊加，因此式(3)可轉(zhuǎn)換為如下形式：

式中：N為分解的頻率總個(gè)數(shù)；分別為第n個(gè)頻率所對(duì)應(yīng)正弦分量的幅值；ωn為第n個(gè)諧波角頻率且ωn＝nωb，其中ωb是傅里葉分解的基頻。有式(4)可得單個(gè)諧波頻率分量對(duì)應(yīng)方程為：

值得注意的是，對(duì)所有諧波分量運(yùn)用式(5)進(jìn)行求解，會(huì)導(dǎo)致很大的計(jì)算量。為減少計(jì)算量可采取頻響函數(shù)插值策略，即選取合適的頻率進(jìn)行求解，而對(duì)其他諧波頻率則運(yùn)用插值方法進(jìn)行近似處理。以上即為基于頻率疊加法的紅外快速模擬方法的基本思路。

為進(jìn)一步提高計(jì)算效率，對(duì)于裂紋缺陷導(dǎo)致的紅外信號(hào)擾動(dòng)的快速計(jì)算可運(yùn)用數(shù)據(jù)庫(kù)策略。該方法基本思想是通過(guò)提前建立無(wú)缺陷模型溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)庫(kù)將式(5)進(jìn)行降維處理。對(duì)于含裂紋缺陷模型，可將節(jié)點(diǎn)分為3類：缺陷區(qū)域節(jié)點(diǎn)、非缺陷區(qū)域節(jié)點(diǎn)和表面節(jié)點(diǎn)，只有對(duì)缺陷區(qū)域節(jié)點(diǎn)，其控制方程(5)中的系數(shù)矩陣[K]和[C]與無(wú)缺陷模型不同，由此將含缺陷模型的控制方程與無(wú)缺陷模型作差后，整個(gè)控制方程的求解只與缺陷區(qū)域有關(guān)，即可將方程的維數(shù)降低至缺陷區(qū)域節(jié)點(diǎn)數(shù)，從而大大縮短方程的求解時(shí)間。對(duì)于裂紋紅外重構(gòu)問(wèn)題，可提前建立無(wú)缺陷模型和無(wú)缺陷場(chǎng)數(shù)據(jù)庫(kù)，運(yùn)用頻率疊加法進(jìn)行求解，對(duì)于重構(gòu)過(guò)程中不同大小裂紋的正問(wèn)題計(jì)算，只需直接從數(shù)據(jù)庫(kù)中取出相關(guān)參數(shù)即可，可進(jìn)一步提高計(jì)算效率。

1.3 快速算法驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述快速算法的有效性，建立表面裂紋缺陷模型并分別運(yùn)用時(shí)域積分法、頻域疊加法、數(shù)據(jù)庫(kù)法進(jìn)行了紅外響應(yīng)信號(hào)的計(jì)算。在建立模型時(shí)，在距離裂紋較遠(yuǎn)的區(qū)域所劃分網(wǎng)格較大，而在裂紋附近區(qū)域網(wǎng)格劃分較密。所用模型的幾何形狀如圖1所示，模型網(wǎng)格參數(shù)和材料參數(shù)分別列于表1與表2。

圖1 三維模型圖Fig.1 3Dmodel

表1 模型網(wǎng)格參數(shù) Table 1 Parameters of model and mesh

表2 模型材料參數(shù) Table 2 Material parameter of numerical model

采用的熱激勵(lì)為2×3的激光點(diǎn)陣，即在裂紋兩側(cè)各布置3個(gè)激勵(lì)光斑，光斑直徑為2.8 mm，激勵(lì)函數(shù)為g(t)=8t3e-2t2，在該激勵(lì)下試件表面溫度在1 s時(shí)刻達(dá)到最大值。為保證精度，時(shí)域積分法所采用的時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 s。而為提高計(jì)算效率，對(duì)頻域疊加法進(jìn)行了插值處理。在圖2中給出了不同方法對(duì)中心點(diǎn)溫度隨時(shí)間的變化曲線以及1 s時(shí)中心線上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度分布曲線的計(jì)算結(jié)果。3條曲線基本重合，從時(shí)間分布和空間分布兩方面3種方法的結(jié)果具有很好的一致性，從而驗(yàn)證了快速算法的有效性。表3給出了不同方法的計(jì)算時(shí)間，可以看到在保證計(jì)算精度的同時(shí)，頻域疊加法與數(shù)據(jù)庫(kù)法相比時(shí)域積分法計(jì)算速度大幅提升，并且數(shù)據(jù)庫(kù)法相比頻域疊加法具有更高的計(jì)算效率。

2 表面裂紋重構(gòu)方法

2.1 信號(hào)特征量選取和重構(gòu)算法

影響溫度場(chǎng)分布的主要因素有裂紋的長(zhǎng)度、寬度、深度以及裂紋的位置。本文所研究的表面裂紋寬度很小，一般為0.1～0.4 mm，裂紋寬度不會(huì)對(duì)裂紋兩側(cè)區(qū)域的溫度分布造成顯著影響[7]，而裂紋的位置一般可利用紅外圖像分布直接確定，因此本研究將裂紋的寬度和位置視為已知，僅裂紋長(zhǎng)度和深度進(jìn)行重構(gòu)。

基于確定論反問(wèn)題算法，裂紋重構(gòu)問(wèn)題可表述為計(jì)算所得信號(hào)特征量與實(shí)驗(yàn)所得特征量的加權(quán)殘差最小化的優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為如下形式：

式中：c為裂紋參數(shù)向量；wm為加權(quán)系數(shù)；M為特征數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；Zmobs為第m個(gè)特征量數(shù)據(jù)的實(shí)測(cè)值。采取共軛梯度法對(duì)裂紋參數(shù)進(jìn)行迭代更新，當(dāng)殘差達(dá)到最小值時(shí)，即可完成對(duì)裂紋的重構(gòu)。選取合適的特征量對(duì)于重構(gòu)算法的有效性至關(guān)重要。

圖2 3種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of calculation results

表3 3種方法計(jì)算時(shí)間對(duì)比Table 3 Comparison of time consuming

為此針對(duì)寬度0.2 mm、長(zhǎng)度范圍2～6 mm、深度范圍0～2 mm的一系列裂紋模型，對(duì)其在第1章所示激光激勵(lì)下的溫度相應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算，并求取了當(dāng)表面溫度達(dá)到最大值時(shí)刻裂紋兩側(cè)節(jié)點(diǎn)的溫差。圖3為沿 長(zhǎng)度方向裂紋兩側(cè)節(jié)點(diǎn)溫差的分布曲線，坐標(biāo)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)裂紋中點(diǎn)位置。對(duì)于不同長(zhǎng)度的裂紋，其兩側(cè)節(jié)點(diǎn)溫差分布有很大差別，在較短的裂紋長(zhǎng)度方向以外區(qū)域，由于無(wú)裂紋存在其兩側(cè)節(jié)點(diǎn)溫差非常小，而長(zhǎng)裂紋對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)溫差則遠(yuǎn)大于該值，因此各個(gè)節(jié)點(diǎn)溫差值可以反映長(zhǎng)度信息。同時(shí)隨著裂紋深度的增加，其對(duì)熱流的阻礙也隨之增大，兩側(cè)溫差增大，節(jié)點(diǎn)溫差值可同時(shí)反映深度信息。因此針對(duì)該模型選取30個(gè)節(jié)點(diǎn)溫差組成的向量{ΔT}作為特征數(shù)據(jù)對(duì)裂紋進(jìn)行重構(gòu)。這時(shí)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

式中：ΔTobs為實(shí)驗(yàn)得到的節(jié)點(diǎn)溫差。

為驗(yàn)證該重構(gòu)方法的有效性，對(duì)裂紋長(zhǎng)度分別為為2 mm、4 mm、6 mm，深度分別為1 mm、1.5 mm的6個(gè)裂紋模型的溫度響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并添加5%隨機(jī)噪聲作為模擬實(shí)驗(yàn)信號(hào)，提取出相應(yīng)的特征量{ΔT}進(jìn)行裂紋重構(gòu)。表4為相應(yīng)重構(gòu)結(jié)果，重構(gòu)出的長(zhǎng)度與深度均與實(shí)際值基本吻合。

圖3 不同裂紋長(zhǎng)度下裂紋兩側(cè)溫差分布曲線 Fig.3 Temperature difference across crack of different length

2.2 基于實(shí)驗(yàn)信號(hào)的裂紋重構(gòu)

為進(jìn)一步驗(yàn)證重構(gòu)方法的有效性，進(jìn)行了激光紅外檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖4所示。系統(tǒng)主要由激光器、產(chǎn)生激勵(lì)信號(hào)的信號(hào)發(fā)生器和采集紅外圖像的紅外熱像儀組成。裂紋試件如圖5所示，裂紋深度為1.5 mm、長(zhǎng)度10 mm、寬度0.2 mm。實(shí)驗(yàn)采用的激勵(lì)信號(hào)為2 s正弦脈沖信號(hào)，激光器產(chǎn)生單光斑，其直徑為4 mm，光斑中心距裂紋2.8 mm。在1.1 s時(shí)試件表面溫度達(dá)到最大值，對(duì)此時(shí)刻紅外信號(hào)進(jìn)行濾波處理，并按照2.1節(jié)的重構(gòu)方法選取裂紋兩側(cè)24個(gè)節(jié)點(diǎn)溫差作為特征量進(jìn)行重構(gòu)，節(jié)點(diǎn)間距為0.5 mm，選取的節(jié)點(diǎn)區(qū)域長(zhǎng)度為12 mm大于裂紋長(zhǎng)度。其重構(gòu)結(jié)果為長(zhǎng)度8.5 mm，深度1.6 mm，在深度上可實(shí)現(xiàn)較好的重構(gòu)，但在長(zhǎng)度上重構(gòu)結(jié)果與實(shí)際值出現(xiàn)一定偏差。這是由于不同于模擬時(shí)所采用的點(diǎn)陣激勵(lì)，本次實(shí)驗(yàn)為單光斑激勵(lì)，在裂紋長(zhǎng)度邊界附近其兩側(cè)溫差較小，在重構(gòu)中其權(quán)重過(guò)小，需尋找更優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)及特征量來(lái)實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)度深度的準(zhǔn)確重構(gòu)。

表4 采用計(jì)算數(shù)據(jù)的重構(gòu)結(jié)果 Table 4 Reconstruction results for simulated signals

為了尋找合適的特征量，建立不同裂紋模型，固定裂紋深度1.5 mm，分別取裂紋長(zhǎng)度11 mm、10 mm、9 mm和8 mm運(yùn)用已建立好的數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行計(jì)算，研究其裂紋末端附近的兩側(cè)節(jié)點(diǎn)溫差（15-24號(hào)測(cè)點(diǎn)）。由圖6可以看到，開始時(shí)不同長(zhǎng)度的裂紋節(jié)點(diǎn)溫差幾乎一致，但隨著節(jié)點(diǎn)編號(hào)的增大，短裂紋的節(jié)點(diǎn)溫差開始快速下降并先趨于0。雖然在遠(yuǎn)離激勵(lì)處，不同長(zhǎng)度裂紋的節(jié)點(diǎn)溫差都在很小的量級(jí)，但由于短裂紋的節(jié)點(diǎn)溫差先接近0，長(zhǎng)裂紋的節(jié)點(diǎn)溫差是其數(shù)倍。對(duì)此計(jì)算不同長(zhǎng)度節(jié)點(diǎn)溫差與實(shí)驗(yàn)值之比max{ΔT/ΔTobs,ΔTobs/ΔT}，做出一側(cè)節(jié)點(diǎn)溫差的比值圖像，如圖7所示，可以看到比值能夠較好地反應(yīng)出長(zhǎng)度的變化。

因此，為增大裂紋端部溫差的權(quán)重，對(duì)于兩端測(cè)點(diǎn)（1-9和16-24號(hào)測(cè)點(diǎn)），選取計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的比值max{ΔT/ΔTobs,ΔTobs/ΔT}作為特征量，而中間測(cè)點(diǎn)依舊采用溫度差值{ΔT}。改良后的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

圖4 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.4 Experimentalsetup

圖5 裂紋試件圖Fig.5 Figureof test-piece with crack

圖6 沿裂紋長(zhǎng)度方向的溫差分布Fig.6 Temperature difference distribution along cra ck

圖7 沿裂紋長(zhǎng)度方向的溫差特征量分布Fig.7 Distribution of featureparameter along crack

按照式(8)目標(biāo)函數(shù)利用共軛梯度法進(jìn)行求解，對(duì)裂紋進(jìn)行了重構(gòu)。當(dāng)設(shè)置初始深度0.2mm、長(zhǎng)度6mm時(shí)，所得重構(gòu)結(jié)果為裂紋深度1.58mm、長(zhǎng)度10.6mm，與1.5mm深、10mm長(zhǎng)的真實(shí)值基本一致。圖8為模擬所得的1.1s時(shí)刻裂紋兩側(cè)溫差分布曲線，可以看到重構(gòu)裂紋對(duì)應(yīng)檢測(cè)信號(hào)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了重構(gòu)結(jié)果的有效性。

3 結(jié)論

本文基于頻率疊加法與數(shù)據(jù)庫(kù)策略實(shí)現(xiàn)了表面裂紋激光紅外檢測(cè)信號(hào)的快速數(shù)值模擬，并通過(guò)與原有方法的對(duì)比驗(yàn)證了快速算法的有效性。針對(duì)裂紋長(zhǎng)度與深度的重構(gòu)，分別對(duì)不同尺寸的裂紋模型表面溫度場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算分析，選取裂紋兩側(cè)節(jié)點(diǎn)溫差作為重構(gòu)特征量，基于共軛梯度法開發(fā)了重構(gòu)算法并以添加噪聲的模擬溫度信號(hào)進(jìn)行裂紋重構(gòu)，驗(yàn)證了方法的可行性。最后進(jìn)行了平板試件裂紋紅外檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，針對(duì)實(shí)驗(yàn)條件的特殊性，對(duì)特征量進(jìn)行更新，實(shí)現(xiàn)對(duì)基于實(shí)測(cè)信號(hào)的有效裂紋重構(gòu)。

圖8 1.1s時(shí)刻裂紋兩側(cè)溫差分布曲線Fig.8 Temperaturedifference acrosscrack at time instant 1.1s