費(fèi)瑩娜，黃龍庭，吳云韜*，胡超普

1.智能機(jī)器人湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（武漢工程大學(xué)），湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430205；3.武漢理工大學(xué)信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430070

空間信號(hào)波達(dá)方向（direction-of-arrival，DOA）估計(jì)是陣列信號(hào)處理中至關(guān)重要的問題之一。在理想情況下，即噪聲為服從高斯分布的白噪聲時(shí)，許多傳統(tǒng)的空間譜估計(jì)算法已具有很好的性能，只需通過對(duì)陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，便能直接得到信號(hào)子空間和噪聲子空間。然而在實(shí)際中，噪聲環(huán)境在空間分布上往往是不均勻的，傳感器所接收到的信號(hào)中所包含的噪聲為非均勻噪聲［1-2］，這使得特征分解存在明顯的子空間泄漏問題，即部分真實(shí)信號(hào)子空間位于估計(jì)的噪聲子空間中，從而導(dǎo)致嚴(yán)重的性能惡化甚至失效［3-4］。

一般而言，相關(guān)色噪聲的協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)是未知的。但是，當(dāng)陣列為稀疏陣列時(shí)，其相關(guān)色噪聲可以進(jìn)行簡化。假設(shè)每個(gè)陣列元素之間的噪聲為不相關(guān)的空間白噪聲，噪聲只影響陣列協(xié)方差矩陣主對(duì)角線上的元素，所以噪聲協(xié)方差矩陣是對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素不等且未知［5］。

針對(duì)非均勻噪聲背景下的DOA 估計(jì)問題，一些學(xué)者提出利用低秩矩陣恢復(fù)理論［6］，通過包含噪聲采樣模型的自相關(guān)矩陣中未被污染的元素值來精確重構(gòu)原矩陣。其中，Candès 等［7］在2009 年提出的矩陣補(bǔ)全（matrix completion，MC）理論，證明了在不相關(guān)假設(shè)條件下，當(dāng)矩陣規(guī)模和采樣率（觀測稀疏度）滿足一定條件時(shí)，大多數(shù)低秩矩陣恢復(fù)可以通過求解簡單的凸優(yōu)化問題，即半定規(guī)劃來完成。并且進(jìn)行了改進(jìn)，使得該MC 算法在觀測到的部分元素被少量噪聲破壞時(shí)，結(jié)果仍然是準(zhǔn)確的［8-9］。雖然該算法是基于壓縮感知理論［10-11］，但又與其通過原始信號(hào)的向量稀疏性來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)的方法不同，MC 算法是利用矩陣的低秩性，將矩陣秩優(yōu)化問題松弛為核范數(shù)優(yōu)化問題，從而完成對(duì)缺失數(shù)據(jù)的補(bǔ)全。由于除去對(duì)角線元素的陣列協(xié)方差矩陣與無噪聲協(xié)方差矩陣相等。因此，從MC 算法的角度，有可能從非對(duì)角項(xiàng)中恢復(fù)無噪聲協(xié)方差矩陣，這也意味著噪聲協(xié)方差矩陣可以同時(shí)確定［12］。

最大似然（maximum likelihood，ML）算法作為DOA 估計(jì)的幾種常用算法之一，自提出以來已經(jīng)出現(xiàn)了許多改進(jìn)算法。如，Ollier 等［13］提出了基于ML 的迭代算法，該算法能夠在傳感器具有未知增益的環(huán)境下，用于聯(lián)合標(biāo)定和DOA 估計(jì)；Fang 等［14］提出了一種基于ML 的二維DOA 估計(jì)算法，該算法通過參數(shù)的迭代估計(jì)和對(duì)濾波過程的干預(yù)，從而來提高估計(jì)精度。但它的實(shí)現(xiàn)基于較為復(fù)雜的迭代過程，計(jì)算量龐大。所以，使用了結(jié)合交替投影（alternating projection，AP）的ML 算法［15］，通過引入矩陣投影的更新公式來降低算法每次迭代的運(yùn)算量。

本文所提出的結(jié)合MC 算法和最大似然交替投影（alternating proiection maximization，APM）算法的DOA 估計(jì)方法，是在信號(hào)數(shù)目小于傳感器數(shù)目，即無噪聲協(xié)方差矩陣為低秩矩陣時(shí)，通過MC算法進(jìn)行協(xié)方差矩陣的重構(gòu)，并應(yīng)用APM 算法來完成DOA 的估計(jì)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法在定位精度上取得的性能改進(jìn)。

1 信號(hào)模型

考慮由M 個(gè)陣元組成的均勻線陣接收P 個(gè)窄帶遠(yuǎn)場源信號(hào)，并且波達(dá)角度分別為得到信號(hào)模型：

式（1）中，空間矩陣的導(dǎo)向矢量陣表示為：

則陣列協(xié)方差矩陣為：

式（5）中

表示規(guī)模為M×M 的無噪聲協(xié)方差矩陣，且G=E{s(t)sH(t)}，由于信號(hào)的數(shù)目小于傳感器的數(shù)目，所以rank(X)=P ＜M。

在快拍數(shù)N 有限的情況下，根據(jù)上述信號(hào)模型可以得到陣列信號(hào)協(xié)方差矩陣的估計(jì)值：

2 MC 算法

MC 是基于壓縮感知理論的一種算法，通常應(yīng)用于低秩矩陣。但壓縮感知是根據(jù)矩陣元素的稀疏性，通過采樣矩陣的已知元素來恢復(fù)原始矩陣。而MC 算法則是利用了矩陣秩的稀疏性。從數(shù)學(xué)層面上講，MC 可描述為一個(gè)仿射秩最小化問題，表示如下：

眾所周知，矩陣秩優(yōu)化問題是一個(gè)NP 難問題，而且已知的用于求解該問題的算法的時(shí)間需求都是呈指數(shù)級(jí)增長，但可利用凸松弛，通過核范數(shù)最小化來逼近秩的最小化。因此，可以通過交替解決如下問題來進(jìn)行求解：

式（10）中||X||*為核范數(shù)，是矩陣的奇異值之和。由于X 為一個(gè)hermitian 矩陣，則

根據(jù)式（11），可以將式（10）中問題的約束等價(jià)表示為如下形式：

式（13）中σ ＞0，當(dāng)采樣數(shù)N 越大時(shí)，協(xié)方差矩陣估計(jì)值與X 越接近，σ 值越小。

3 DOA 估計(jì)

APM 算法是一種結(jié)合了交替優(yōu)化方法和投影矩陣分解的方法。交替優(yōu)化是多維優(yōu)化問題的一種簡單的求解方法，是通過迭代實(shí)現(xiàn)的。在迭代的每一步，均相對(duì)于一個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，而其他參數(shù)保持不變。于是的第(i+1)次迭代，可以通過下面的一維優(yōu)化問題得到：

式（14）中，arg max(f(θ))是使得f(θ)取得最大值所對(duì)應(yīng)的變量θ，θ 為入射角；為補(bǔ)全后的自相關(guān)矩陣；YA(Θ)=A(Θ)(AH(Θ))-1AH(Θ)為交替投影矩陣；表示P-1 維已計(jì)算出的參數(shù)矢量：

該算法在對(duì)每個(gè)參數(shù)優(yōu)化時(shí)均能沿著該參數(shù)的軸向找到其似然函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，而搜索速度則取決于似然函數(shù)在峰值附近的特性。由于在每次迭代中都執(zhí)行最大化，因此最大化后函數(shù)的值不會(huì)減少，該算法必然收斂到局部最大值。根據(jù)初始條件的不同，局部最大值可能是全局最大值，也可能不是全局最大值。初始化步驟對(duì)全局收斂至關(guān)重要，是此算法的關(guān)鍵。

下面以兩個(gè)信號(hào)源的情況描述交替投影迭代算法：

Step1 估計(jì)單一信源方向：

Step2 假設(shè)第一個(gè)信號(hào)源參數(shù)是θ1，求解第二個(gè)信號(hào)源：

雖然，上述方法已將復(fù)雜的多維搜索過程簡化至多個(gè)一維搜索問題，大大降低了運(yùn)算量，但由于涉及矩陣求逆和乘法，每次迭代的計(jì)算量仍然很大。為進(jìn)一步簡化每次迭代的計(jì)算，下面引入了投影矩陣的一個(gè)基本性質(zhì)，即投影矩陣更新公式，表示為：

將式（19）代入式（14）得到：

通過引入一個(gè)歸一化矢量，其公式表示如下：

將式（21）代入式（20），得：

則關(guān)于初始值的問題可簡化為：

APM 算法流程如下：

步驟2：通過式（23）計(jì)算得到P 個(gè)估計(jì)信號(hào)的初始值；

步驟3：將初始值代入式（22），進(jìn)行一次一維搜索，判斷是否滿足搜索精度

步驟4：若所得結(jié)果滿足精度條件則停止，否則重復(fù)步驟3。

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文提出的基于矩陣補(bǔ)全的最大似然交替投影（MC-APM）算法的性能，進(jìn)行以下仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，測試信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）、快拍數(shù)和陣元數(shù)對(duì)算法性能的影響。

4.1 SNR 和快拍數(shù)對(duì)本文算法性能的影響

考慮有三個(gè)不相關(guān)的窄帶信號(hào)分別以｛-10°，6°，17°｝為入射角度，入射至一個(gè)由10 個(gè)陣元組成的半波長單元間距的均勻線性陣列。假設(shè)接收到的信號(hào)中所攜帶的噪聲具有空間不均勻性，噪聲協(xié)方差矩陣表示為：

設(shè)仿真實(shí)驗(yàn)中快拍數(shù)N 為500，σ 為5，SNR 的值用k 表示。在不同條件下，通過300 個(gè)蒙特卡羅（monte-carlo）統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，計(jì)算了DOA 估計(jì)的均方根誤差（root-mean-square error，RMSE），RMSE 的值用R 表示。

圖1（a）為SNR 的值k 從-10 dB 變化到10 dB時(shí)，所求得的RMSE。由圖1（a）可見，只有在SNR足夠高的條件下，幾種算法的性能才較為相近。此時(shí)，噪聲對(duì)于信號(hào)子空間和噪聲子空間分離的影響可以忽略不計(jì)。在SNR 比較低的情況時(shí)，TLS-ESPRIT［16］算 法 表 現(xiàn) 很 差，基 于MC［7］的TLS-ESPRIT 算法和未結(jié)合MC 算法的APM 算法雖然也有較好性能，但與之相比，MC-APM 有更為顯著的性能改進(jìn)。

圖1（b）是在SNR 為0 dB 條件下，將快拍數(shù)N從100 次增加至1 000 次，分別進(jìn)行300 次monte-carlo 統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)。從仿真實(shí)驗(yàn)觀測N 增加時(shí)RMSE 的變化。從圖1（b）中可以明顯看出，本文所用算法的性能隨著快拍數(shù)N 的增加迅速提高，并且始終優(yōu)于其他算法。

圖1 RMSE 對(duì)比圖：（a）SNR，（b）NFig.1 Comparison diagram of RMSE：（a）SNR，（b）N

4.2 相同SNR 情況下陣元數(shù)對(duì)本文算法性能的影響

信號(hào)模型與上文仿真相同，在SNR 為0 dB 的條件下，設(shè)快拍數(shù)N 為500，改變陣元數(shù)M 的大小，在10 至20 的范圍內(nèi)，分別進(jìn)行300 次monte-carlo 統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，觀測其算法性能。

圖2（a）為在此條件下進(jìn)行DOA 估計(jì)的RMSE。由圖2（a）可得，在M 增大的過程中，本文所用算法能夠快速、穩(wěn)定地提升精度，并且在矩陣低秩性較差的情況下，已有了很好的性能。其他算法估計(jì)誤差都較高，而且穩(wěn)定性較差。

圖2（b）為在M 增大時(shí)，算法運(yùn)算時(shí)間的變化，由于本文算法在進(jìn)行DOA 估計(jì)過程中先使用了MC 算法，又加入了迭代過程，所以運(yùn)算時(shí)間略高于其他算法，但在M 增加過程中，運(yùn)行時(shí)間并未出現(xiàn)明顯增長，算法性能較為穩(wěn)定。

圖2 陣元數(shù)的變化對(duì)算法性能的影響：（a）RMSE，（b）運(yùn)算時(shí)間Fig.2 Influence of array number on algorithm performance：（a）RMSE，（b）computation time

5 結(jié) 論

針對(duì)在非均勻噪聲條件下，傳統(tǒng)DOA 估計(jì)算法性能惡化問題，本文提出了一種結(jié)合MC 算法和APM 算法的DOA 估計(jì)方法。該方法利用MC 算法對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，從而減小了非均勻噪聲的影響。在DOA 估計(jì)階段，本文使用了APM算法，并通過引入矩陣投影的更新公式來降低計(jì)算復(fù)雜度。與傳統(tǒng)的DOA 估計(jì)算法相比，該方法在非均勻噪聲條件下有效的解決了角度估計(jì)精度差和分辨率低的問題。仿真結(jié)果表明，MC 算法與APM 算法相結(jié)合的MC-APM 算法，能夠明顯抑制非均勻噪聲影響。在低信噪比、短快拍情況下，該方法仍具有較好的DOA 估計(jì)性能。