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        基于Kane方程的并聯(lián)平臺(tái)建模方法

        2020-04-22 08:53:40齊嘉興趙修平
        兵器裝備工程學(xué)報(bào) 2020年3期

        齊嘉興,趙修平

        (海軍航空大學(xué),山東 煙臺(tái) 264001)

        并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有控制精度高、工作空間小、負(fù)載能力強(qiáng)等特點(diǎn),目前已經(jīng)得到了廣泛的研究和應(yīng)用[1]。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于模型的高精度控制,對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析并建立準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型是十分必要的。針對(duì)六自由度并聯(lián)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程的建立,常用的方法包括Lagrange公式[2-3]、Newton-Euler方程[4]、虛功方程[5]、Kane方程[6-13]等,很多學(xué)者通過(guò)建模分析表明Kane方程較其他方法具有高效性和簡(jiǎn)潔性。

        按照Kane方程中偏速度和偏角速度的不同表述形式,可以將Kane方程的建模過(guò)程分為兩種:一種是嚴(yán)格按照Kane方程的定義逐個(gè)求取相對(duì)于廣義速率的廣義主動(dòng)力分量和廣義慣性力分量,文獻(xiàn)[8,11]按照這種方式給出了Kane方程建模的詳細(xì)過(guò)程,但整個(gè)過(guò)程較為繁瑣;另一種是通過(guò)剛體之間速度的映射關(guān)系求取每個(gè)剛體上主動(dòng)力和慣性力對(duì)應(yīng)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力,文獻(xiàn)[6]利用Kane方程,通過(guò)影響系數(shù)矩陣建立了并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)模型,文獻(xiàn)[2,7,9-10,12]利用Kane方程,通過(guò)計(jì)算各速度之間的映射關(guān)系建立了六自由度并聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程,使其具有更簡(jiǎn)潔的表達(dá)形式。

        歐拉角和四元數(shù)被廣泛用于描述動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài),當(dāng)選取動(dòng)平臺(tái)的六維空間速度分量作為廣義速率時(shí),歐拉角、四元數(shù)與動(dòng)平臺(tái)空間角速度之間不具有簡(jiǎn)單地微分關(guān)系,因此需要額外的轉(zhuǎn)換過(guò)程[10]。

        此外,不同文獻(xiàn)對(duì)動(dòng)平臺(tái)和連桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力的計(jì)算也有不同的表述。文獻(xiàn)[6-7]沒(méi)有對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)平臺(tái)和連桿慣性矩陣的計(jì)算做出明確說(shuō)明;文獻(xiàn)[9-10]利用Lagrange公式對(duì)連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力進(jìn)行了計(jì)算,推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣;文獻(xiàn)[8,11]將動(dòng)平臺(tái)和連桿對(duì)質(zhì)心的慣性矩陣等價(jià)為對(duì)下平臺(tái)原點(diǎn)的慣性矩陣。

        本文使用螺旋坐標(biāo)描述動(dòng)平臺(tái)空間姿態(tài),以動(dòng)平臺(tái)的六維空間速度分量作為廣義速率,通過(guò)速度之間的映射關(guān)系,求取各剛體上主動(dòng)力和慣性力對(duì)應(yīng)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力,并給出了明確的計(jì)算過(guò)程,根據(jù)Kane方程建立了六自由度并聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型。

        1 Kane方程

        六自由度并聯(lián)平臺(tái)系統(tǒng)是包括上、下平臺(tái)以及六組上、下連桿共14個(gè)剛體的剛體系,剛體系的Kane方程可以表示為[14]:

        (1)

        (2)

        (3)

        根據(jù)Kane方程建立剛體系動(dòng)力學(xué)方程的過(guò)程包括:1)根據(jù)自由度數(shù)確定廣義速率;2)根據(jù)廣義速率,確定各剛體的偏速度和偏角速度;3)結(jié)合各剛體所受主動(dòng)力、慣性力計(jì)算廣義主動(dòng)力和廣義慣性力;4)按照Kane方程建立動(dòng)力學(xué)方程。

        2 并聯(lián)平臺(tái)速度及加速度分析

        2.1 坐標(biāo)系建立和參數(shù)設(shè)定

        六自由度并聯(lián)平臺(tái)由動(dòng)平臺(tái)A1A2A3A4A5A6和靜平臺(tái)B1B2B3B4B5B6組成,采用半正六邊形的形狀,上下平臺(tái)通過(guò)上、下連桿和球面副相連接,構(gòu)成SPS結(jié)構(gòu),如圖1所示。

        本文在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)做了如下假設(shè):

        1)忽略各關(guān)節(jié)的摩擦力;

        2)各剛體質(zhì)量均勻;

        3)各連桿關(guān)于各自的軸是對(duì)稱(chēng)的,且不能繞著各自的軸旋轉(zhuǎn);

        4)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心位于上鉸點(diǎn)構(gòu)成的平面的形心處。

        在動(dòng)、靜平臺(tái)的質(zhì)心處分別建立坐標(biāo)系OPxPyPzP、OBxByBzB。平臺(tái)的矢量關(guān)系如圖2所示,其中l(wèi)i為連桿的長(zhǎng)度,ei為連桿的單位矢量,ai、bi為動(dòng)、靜平臺(tái)上的鉸點(diǎn)在各自平臺(tái)坐標(biāo)系的位置矢量,矢量P表示動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在靜平臺(tái)坐標(biāo)系的位置。動(dòng)平臺(tái)、上連桿和下連桿的質(zhì)量分別為mP、ma和mb。

        圖1 并聯(lián)平臺(tái)SPS結(jié)構(gòu)示意圖

        圖2 連桿參數(shù)示意圖

        如圖2所示,在下鉸點(diǎn)Bi處建立依附于連桿的移動(dòng)坐標(biāo)系{Bi},{Bi}的單位向量分別為ei、ti和ri,ti和ri定義為:

        (4)

        ri=ei×ti

        (5)

        則{Bi}相對(duì)于{OB}的旋轉(zhuǎn)矩陣為[13]:

        (6)

        2.2 速度關(guān)系

        根據(jù)圖2所示的矢量關(guān)系可得:

        liei=p+BRPai-bi

        (7)

        (8)

        式(8)右邊為上鉸點(diǎn)的速度,其與動(dòng)平臺(tái)空間速度q的關(guān)系為:

        (9)

        (10)

        用ei對(duì)式(8)兩邊同時(shí)進(jìn)行叉積運(yùn)算,并認(rèn)為連桿不能繞著ei方向的軸旋轉(zhuǎn),整理后可以得到各連桿的角速度為:

        (11)

        將式(9)代入式(11),整理后可得到:

        (12)

        根據(jù)圖2所示幾何關(guān)系可得上連桿質(zhì)心速度為:

        (13)

        同理可得下連桿的速度為:

        (14)

        2.3 加速度關(guān)系

        對(duì)式(11)兩邊求導(dǎo)可得支腿伸縮運(yùn)動(dòng)的加速度為:

        (15)

        對(duì)式(9)兩邊求導(dǎo)可得上鉸點(diǎn)加速度為:

        (16)

        式(16)中,ΩP為ωP的反對(duì)稱(chēng)矩陣。

        對(duì)式(13)兩邊求導(dǎo)可得上連桿質(zhì)心加速度為:

        (17)

        其中:

        (18)

        (19)

        同理可得:

        (20)

        (21)

        3 基于Kane方程的動(dòng)力學(xué)建模

        3.1 偏速度和偏角速度

        上連桿的偏速度矩陣為:

        (22)

        下連桿的偏速度矩陣為:

        (23)

        上、下連桿具有相同的偏角速度矩陣,均為:

        (24)

        動(dòng)平臺(tái)的偏速度矩陣和偏角速度矩陣分別為:

        (25)

        (26)

        3.2 廣義主動(dòng)力

        在不考慮負(fù)載和其他干擾力的情況下,并聯(lián)平臺(tái)的主動(dòng)力包括:動(dòng)平臺(tái)和連桿的重力以及連桿上的驅(qū)動(dòng)力。

        (27)

        進(jìn)一步在偏速度矩陣的基礎(chǔ)上,可以給出上連桿重力的廣義主動(dòng)力矩陣為:

        (28)

        同理可以得到下連桿重力的廣義主動(dòng)力矩陣為:

        (29)

        動(dòng)平臺(tái)重力的廣義主動(dòng)力矩陣為:

        (30)

        六個(gè)支腿上的驅(qū)動(dòng)力向量τ作用在上連桿上,其對(duì)應(yīng)的廣義主動(dòng)力為:

        (31)

        3.3 廣義慣性力

        上連桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力為:

        (32)

        參考廣義主動(dòng)力矩陣的形式,結(jié)合式(22)可以得到上連桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的廣義慣性力矩陣為:

        (33)

        同理可以得到下連桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的廣義慣性力矩陣為:

        (34)

        上、下連桿轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力為:

        (35)

        (36)

        (37)

        結(jié)合式(24),其對(duì)應(yīng)的廣義慣性力矩陣為:

        (38)

        式(38)中,skew(Peivai)為Peivai的反對(duì)稱(chēng)矩陣。

        動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力為:

        (39)

        動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力為:

        (40)

        (41)

        3.4 并聯(lián)平臺(tái)封閉動(dòng)力學(xué)模型

        根據(jù)Kane方程,將求得的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力代入式(1)可得:

        (42)

        進(jìn)一步整理得:

        (43)

        (44)

        (Mai+Mbi+Mai,bi)ΩP(ΩPci)+CP

        (45)

        (46)

        至此得到了六自由度并聯(lián)平臺(tái)完整的封閉動(dòng)力學(xué)方程。

        4 仿真驗(yàn)證

        給定并聯(lián)平臺(tái)中各剛體的幾何參數(shù),如表1所示。分別在式(43)表示的動(dòng)力學(xué)方程下,考察并聯(lián)平臺(tái)的前向動(dòng)力學(xué)仿真和逆動(dòng)力學(xué)仿真以驗(yàn)證模型的正確性。

        表1 并聯(lián)平臺(tái)的幾何參數(shù)

        前向動(dòng)力學(xué)仿真即已知驅(qū)動(dòng)力,求解動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡。利用計(jì)算力矩法[13]控制動(dòng)平臺(tái)跟蹤式(47)和式(48)所示的軌跡,且不考慮模型的建模誤差,動(dòng)平臺(tái)的初始高度為0.65 m,其余初始狀態(tài)均為0,利用四階龍格庫(kù)塔法求解,實(shí)際軌跡和輸出軌跡如圖3和圖4所示。

        (47)

        (48)

        逆向動(dòng)力學(xué)即在給定軌跡下,求解所需的驅(qū)動(dòng)力??疾觳⒙?lián)平臺(tái)在式(47)和式(48)所示的軌跡下的驅(qū)動(dòng)力變化。驅(qū)動(dòng)力變化曲線如圖5和圖6所示。

        從前向動(dòng)力學(xué)仿真和逆動(dòng)力學(xué)仿真的結(jié)果可以看出,并聯(lián)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)力變化是符合預(yù)期的,表明本文利用Kane方程建模的正確性。

        圖3 動(dòng)平臺(tái)位置的期望和輸出軌跡

        圖4 動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的期望和輸出軌跡

        圖5 連桿1-3驅(qū)動(dòng)力變化曲線

        圖6 連桿4-6驅(qū)動(dòng)力變化曲線

        5 結(jié)論

        1)用螺旋坐標(biāo)描述動(dòng)平臺(tái)的空間姿態(tài),使動(dòng)平臺(tái)空間位姿的導(dǎo)數(shù)和空間速度具有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系,避免了額外的轉(zhuǎn)換過(guò)程;

        2)通過(guò)建立偏速度矩陣和偏角速度矩陣推導(dǎo)了Kane方程中各變量具體的表達(dá)式,并對(duì)動(dòng)平臺(tái)和連桿相對(duì)質(zhì)心的慣量矩陣計(jì)算做出了說(shuō)明;

        3)根據(jù)Kane方程建立了六自由度并聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型,通過(guò)仿真驗(yàn)證了模型的正確性。

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