王紅運(yùn)，吳 越

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130000）

0 引 言

伴著現(xiàn)代高速電子計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生，時(shí)滯在很多系統(tǒng)中都存在，也被看做是引發(fā)系統(tǒng)性能衰減和不穩(wěn)定的諸多因素之一[1]。對(duì)生物系統(tǒng)、工程系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等其他系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)刻畫，都油然而生地運(yùn)用離散系統(tǒng)對(duì)此進(jìn)行描繪。所以，近年來時(shí)滯奇異攝動(dòng)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題受到了國內(nèi)外大量學(xué)者的關(guān)注，并且得到了一些研究成果[2-10]。本文運(yùn)用Lyapunov 函數(shù)方法，結(jié)合線性矩陣不等式，證明了時(shí)滯奇異攝動(dòng)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

1 問題描述和引理

1.1 問題描述

研究系統(tǒng)如下：

其中：

x(k)∈Rn是狀態(tài)向量，u(k)∈Rm是控制輸入，d是未知的正整數(shù)，A、B和D是實(shí)常數(shù)矩陣。

系統(tǒng)的性能指標(biāo)定義為：

其中：Q和R是給定的對(duì)稱正定加權(quán)矩陣。

1.2 引 理

設(shè)：

其中K∈Rm×n，則閉環(huán)系統(tǒng)為：

是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

其中：

則系統(tǒng)（1）漸近穩(wěn)定。

證明：

選取一個(gè)Lyapunov 函數(shù)：

則有：

則有：

由假設(shè)（8）和（9），可知：

則：

故有：

即系統(tǒng)（1）漸近穩(wěn)定。

3 結(jié) 論

本文在應(yīng)用Lyapunov 函數(shù)方法和線性矩陣不等式方法的基礎(chǔ)上，把時(shí)滯離散系統(tǒng)作為研究對(duì)象，最終總結(jié)了時(shí)滯奇異攝動(dòng)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件[11]。