陳法國，李國棟，楊明明，韓 毅，梁潤成

(中國輻射防護研究院，山西 太原 030006)

屏蔽設(shè)計本質(zhì)上是一個帶有約束條件的多目標(biāo)尋優(yōu)過程。一方面，屏蔽效果與射線類型和能譜分布密切相關(guān)；另一方面，在實際工程中，屏蔽設(shè)計還需要考慮重量、體積、成本、結(jié)構(gòu)性能等多種設(shè)計限定條件。傳統(tǒng)的屏蔽設(shè)計通常以設(shè)計者的個人經(jīng)驗為基礎(chǔ)，優(yōu)化設(shè)計效率相對較低，設(shè)計結(jié)果的全局最優(yōu)性受人因等不確定因素影響較大。為此，遺傳算法(GA)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(ANN)、特征統(tǒng)計算法(CSA)等多種優(yōu)化計算方法[1-5]，被應(yīng)用于屏蔽結(jié)構(gòu)設(shè)計、復(fù)合屏蔽材料組分優(yōu)化等問題求解中，以實現(xiàn)屏蔽設(shè)計方案的自動優(yōu)化。

中子屏蔽設(shè)計需要考慮中子的慢化、吸收以及次級光子的屏蔽，需要同時采用快中子非彈性散射占優(yōu)的重核材料、中能中子彈性散射截面大的輕核材料以及熱中子俘獲截面大的中子吸收材料，是一個典型的優(yōu)化求解問題[6]。以中子復(fù)合屏蔽材料組分優(yōu)化設(shè)計為例，以屏蔽劑量和材料密度最小化為目標(biāo)，開展了遺傳算法在多目標(biāo)屏蔽優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用研究。

1 中子復(fù)合屏蔽材料組分優(yōu)化模型及遺傳算法簡介

1.1 中子復(fù)合屏蔽材料組分優(yōu)化模型

利用優(yōu)化算法自動設(shè)計中子復(fù)合屏蔽材料的組分比例，使其以最小的密度實現(xiàn)對特定能譜中子的最好屏蔽效果。中子源項設(shè)為單向面源，能譜分布為Watt裂變譜；中子平均能量為2.348 MeV，能譜分布如圖1所示；復(fù)合材料由聚乙烯、鉛、硼、鋰、鐵、鋁6種常見材料組成。假設(shè)各組分均勻混合且混合前后總體積不變，用單位注量的中子穿過厚度為30 cm平板結(jié)構(gòu)后的中子和次級光子劑量之和(定義為屏蔽劑量D)來表征屏蔽效果，屏蔽結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。

圖1 入射中子的能譜分布Fig.1 Energy spectrum of incident neutron

圖2 屏蔽結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of shielding structure

中子復(fù)合屏蔽材料組分優(yōu)化的數(shù)學(xué)函數(shù)模型可表示為：

minF(X)=[D(X),ρ(X)]T

s.t. 0≤xi≤1，∑xi=1，1/ρ(X)=

∑xi/ρi，i=1,2, …6

(1)

式中，F(xiàn)(X)為兩維設(shè)計目標(biāo)，D(X)為組分為X屏蔽材料對應(yīng)的屏蔽劑量，X=[x1,x2, …x6]分別為6種組分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，ρ為材料密度。

1.2 遺傳算法簡介

傳統(tǒng)的屏蔽優(yōu)化問題求解，采用加權(quán)法將多目標(biāo)降維到單目標(biāo)進行處理。加權(quán)法簡化了問題求解，但子目標(biāo)權(quán)重因子的設(shè)置具有一定的主觀性，并且優(yōu)化結(jié)果在理論上只是Pareto最優(yōu)解集中的一個解，在權(quán)重因子變化后需要再次運行優(yōu)化過程進行求解；而多目標(biāo)優(yōu)化算法可以在單次運行過程中，求解Pareto最優(yōu)解集[7]。為此，采用遺傳算法直接對式(1)中的雙目標(biāo)優(yōu)化問題進行求解。

遺傳算法是由Holland提出的模擬生物種群遺傳和自然選擇規(guī)律而演化的一種隨機搜索方法。為提高優(yōu)化效率、避免過早收斂，在基本遺傳算法的基礎(chǔ)上，發(fā)展了向量評估遺傳算法(VEGA)、多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)、非支配排序遺傳算法(NSGA)、基于距離的Pareto遺傳算法(DPGA)等[7]。其中，NSGA是學(xué)者Srinivas和Deb基于非支配排序思想提出的，通過分類排序可提高適應(yīng)度較高的個體保留至下一代的概率，并采用適應(yīng)度共享策略使個體分布更均勻，以保持種群的多樣性，避免過早收斂；為優(yōu)化NSGA的時間復(fù)雜度較高、未采用精英策略、優(yōu)化過程和尋優(yōu)效率對共享參數(shù)設(shè)置較為敏感的問題，Deb等人又提出了快速非支配排序遺傳算法(NSGA-II)[8]。

2 屏蔽材料組分優(yōu)化算法架構(gòu)

利用NSGA-II建立式(1)數(shù)學(xué)模型所表示的中子復(fù)合屏蔽材料組分優(yōu)化算法。優(yōu)化算法主要包括屏蔽計算模塊和遺傳算法模塊兩部分，算法流程圖如圖3所示。遺傳算法的主要構(gòu)成要素有基本運行參數(shù)、染色體編碼方式、個體適應(yīng)度評價、遺傳算子。

圖3 中子屏蔽材料組分優(yōu)化算法流程圖Fig.3 Flow chart of optimization algorithm for neutron shielding material component

2.1 遺傳算法參數(shù)設(shè)置

基本運行參數(shù)包括種群大小M(通常設(shè)為20～100)、終止進化代數(shù)T(通常設(shè)為50～200)、交叉因子Pc、變異因子Pm。交叉因子和變異因子決定了父代和子代個體的差異性，直接影響算法的收斂性和尋優(yōu)性能；增加差異性可擴大搜索空間，但不利于收斂，反之亦然。

2.2 編碼和解碼

編碼和解碼是應(yīng)用遺傳算法的關(guān)鍵，用于建立優(yōu)化問題的設(shè)計變量與遺傳基因的映射關(guān)系。屏蔽材料組分優(yōu)化是一個定和約束問題，即∑xi=1，0≤xi≤1；若直接用質(zhì)量分?jǐn)?shù)xi進行交叉或變異操作，子代種群中會出現(xiàn)不滿足約束條件的個體。為此，采用球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，引入一個采用浮點數(shù)編碼方式的5維向量θ=[θ1,θ2…θ5]T，0≤θi≤π/2，來表征設(shè)計變量X=[x1,x2…x6]T，其中：

xi=(sinθ1·sinθ2·…sinθ5)2，i=1

xi=(cosθi-1·sinθi·…sinθ5)2，i=2,3,4,5

(2)

xi=(cosθ5)2，i=6

在執(zhí)行交叉或變異算子時，直接對θi進行操作，然后按照式(2)將其解碼為質(zhì)量分?jǐn)?shù)xi，用于計算復(fù)合材料的密度和屏蔽劑量。通過球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，既能滿足定和約束條件，又可保證交叉和變異操作的隨機性。

2.3 屏蔽計算模塊

遺傳算法通過解碼得到特定個體的材料組分后，調(diào)用屏蔽計算模塊來計算對應(yīng)的屏蔽劑量。在整個優(yōu)化算法流程中，對每代種群中的新個體都需要調(diào)用一次屏蔽計算模塊；若直接采用蒙特卡羅(MC)程序作為屏蔽計算模塊，多次調(diào)用會增加時長。為了兼顧屏蔽計算精度與運行時間，屏蔽計算模塊采用了基于BP(誤差逆向傳播算法)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的屏蔽快速計算方法。

針對屏蔽優(yōu)化問題的具體模型，建立可根據(jù)材料組分比例預(yù)測屏蔽劑量的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以便在優(yōu)化過程中快速調(diào)用。首先，在整個搜索空間內(nèi)對6種材料的組分比例進行均勻抽樣，并根據(jù)抽樣參數(shù)建立MC模型計算屏蔽后劑量D，形成初始訓(xùn)練樣本。其次，利用訓(xùn)練樣本對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，尋找組分比例與劑量之間的計算規(guī)律。最后，利用訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測任意組分比例所對應(yīng)的屏蔽計算結(jié)果。

利用297個訓(xùn)練樣本訓(xùn)練后，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果和MC計算結(jié)果的相對偏差在-5.2%～8.1%范圍內(nèi)；隨機抽取33種新組分比例作為測試樣本，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果與MC計算結(jié)果的相對偏差在-3.9%～5.1%范圍內(nèi)。在執(zhí)行優(yōu)化算法時，將個體編碼進行解碼后，可直接調(diào)用屏蔽快速計算模塊，并將計算結(jié)果用于個體適應(yīng)度評價。

2.4 個體適應(yīng)度評價

適應(yīng)度函數(shù)是用來衡量種群中的個體接近最優(yōu)解的優(yōu)良程度。NSGA-II算法中，利用非支配序rank和擁擠度兩個屬性來評價個體適應(yīng)度。

對于兩個變量個體X1和X2，若所有子目標(biāo)函數(shù)滿足fi(X1)≤fi(X2)，且存在子目標(biāo)函數(shù)使fj(X1)

在對兩個個體進行選擇時，非支配序小的個體占優(yōu)，非支配序相同則擁擠距離大的個體占優(yōu)；非支配序小可保證被選擇的個體較優(yōu)，擁擠距離大可保證個體多樣性，避免過早收斂于局部最優(yōu)。

2.5 遺傳算子

選擇、交叉、變異是遺傳算法中的基本算子。

NSGA-II中，選擇算子采用錦標(biāo)賽方法。從父代種群M(種群大小為N)中隨機選擇s1個個體，進行適應(yīng)度評價，再從s1個個體中選擇占優(yōu)的s2個個體進入子代種群Ms(N>s1>s2)；重復(fù)上述過程，直到子代種群的個體數(shù)量與父代種群一致，然后按照設(shè)定的交叉因子和變異因子對子代種群中的個體進行交叉、變異操作。

交叉算子對兩個父代個體中的編碼向量進行部分重組，將其中的父代基因按照特定算法處理，生成兩個新的子代個體；變異算子用一個基于特定概率分布的隨機數(shù)替代父代個體中的某個基因位，從而產(chǎn)生新的子代個體。NSGA-II中采用模擬二進制的交叉算子(SBX)和多項式變異算子。為了防止種群中的較優(yōu)個體因交叉或變異操作而丟失，NSGA-II引入了精英策略。在精英策略中，將父代種群與子代種群混合(種群大小為2N)，重新計算混合種群中所有個體的非支配序和擁擠度，并選擇占優(yōu)的N個個體作為新一代種群。

對每一代種群重復(fù)執(zhí)行以上操作，當(dāng)滿足迭代條件后，將當(dāng)前種群中的個體進行解碼，就可輸出屏蔽材料組分比例的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。

3 優(yōu)化結(jié)果及對比分析

3.1 優(yōu)化結(jié)果

針對Watt譜分布的入射中子，在未屏蔽的條件下，單位注量對應(yīng)的周圍劑量當(dāng)量為388.6 pSv·cm2。6種組分材料的密度取值列于表1，屏蔽計算時各組成元素的同位素設(shè)置為天然豐度。

利用Matlab軟件編譯了優(yōu)化算法程序，并利用CPU主頻為3.7 GHz的計算機運行。種群大小設(shè)為100，交叉因子設(shè)為20，變異因子設(shè)為20，以材料密度最小和屏蔽后劑量最小為目標(biāo)，經(jīng)過100代后中子復(fù)合屏蔽材料組分的優(yōu)化方案分布如圖4所示；圖中顯示了初始方案以及優(yōu)化1代、10代、50代、100代后的方案(a包含了所有數(shù)據(jù)，b為局部放大圖)。由圖可知，初始方案在搜索區(qū)域內(nèi)隨機分布；隨著迭代次數(shù)的增加，優(yōu)化方案逐漸接近Pareto前沿區(qū)域，并且在該區(qū)域內(nèi)較為均勻地分布。

表1 組分材料的密度(g/cm3)Tab.1 Densities of component materials

圖4 中子屏蔽材料組分的優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimization results of neutron shielding material component

對于每一代種群，用該代種群中所有個體對應(yīng)的密度和屏蔽后劑量的乘積之和，來表示種群個體與Pareto前沿的接近程度，即種群優(yōu)良指數(shù)。如圖5所示，隨著進化代數(shù)的不斷增加，種群優(yōu)良指數(shù)逐漸降低；當(dāng)進化代數(shù)超過40代時，優(yōu)良指數(shù)最終趨于穩(wěn)定。

圖5 種群優(yōu)良指數(shù)隨進化代數(shù)的變化Fig.5 Figure of merit for population against evolutional generation number

3.2 結(jié)果對比分析

在最終優(yōu)化方案的100個個體中，劑量最小方案、密度最小方案、典型中間最優(yōu)方案的組分比列于表2。由表可知，密度最小方案中，復(fù)合材料的主要組分幾乎全部為鋰；劑量最小方案中，復(fù)合材料的主要組分是86.5%的聚乙烯、10.4%的天然硼以及少量的鋁和鉛；對于一系列中間方案，隨著復(fù)合材料密度的增大，鋰的含量逐漸減少，聚乙烯的含量逐漸增加，同時含有少量的硼。

Watt譜分布中子能量主要在2 MeV以下，屏蔽材料的有效原子量越小，慢化作用越好。6種材料中鋰的密度最低、有效原子量最小且6Li與熱中子的相互作用截面大，單位質(zhì)量的屏蔽效果最好；對于密度最小方案的理想情況，優(yōu)化結(jié)果幾乎全部為鋰，符合理論預(yù)期。劑量最小方案更符合實際情況，并且實際應(yīng)用經(jīng)驗中含硼聚乙烯是對該能譜中子屏蔽效果最好的材料，與優(yōu)化結(jié)果一致。上述定性結(jié)果說明了該屏蔽材料組分優(yōu)化算法的可行性。

在得出優(yōu)化方案后，根據(jù)優(yōu)化的材料組分進行MC建模計算，并將屏蔽計算結(jié)果與優(yōu)化結(jié)果進行對比。在最終的100個可行解中，遺傳算法優(yōu)化結(jié)果與MC計算結(jié)果的相對偏差在-14.9%～4.8%范圍內(nèi)。

4 討論和結(jié)語

4.1 討論

1)引入基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的快速屏蔽計算模塊，避免了優(yōu)化過程中對MC計算程序的大量調(diào)用，節(jié)省了計算時間。計算時間包括297個初始樣本的MC計算時間、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時間和遺傳算法程序運行時間，分別為127.1 min、10.6 s和71.6 s。若直接調(diào)用MC程序，100個個體的種群進化100代，需要運行10 100次MC程序，則整個優(yōu)化過程至少耗時72.4 h。但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本不足會導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果與MC計算值的相對偏差增大，甚至誤導(dǎo)遺傳算法的尋優(yōu)方向而陷入局部最優(yōu)。最終的優(yōu)化解集和訓(xùn)練樣本相比，屏蔽后劑量的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果與MC計算結(jié)果的相對偏差從-5.2%～8.1%變到-14.9%～4.8%，整體呈現(xiàn)變大趨勢。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的初始訓(xùn)練樣本在整個搜索空間內(nèi)隨機抽樣得到，在整個變量區(qū)域內(nèi)的分布是相對均勻的；隨著種群的不斷進化，優(yōu)化解集逐漸向Pareto前沿區(qū)域靠近，初始訓(xùn)練樣本在該區(qū)域的代表性不足，基于初始訓(xùn)練樣本的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果的不確定度就會增大。為了降低神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的不確定度對優(yōu)化結(jié)果的影響，可采用分階段優(yōu)化或部分調(diào)用MC計算程序的處理辦法。

2)在適應(yīng)度評價中引入不確定度因子，可提高種群的多樣性，避免因屏蔽計算誤差導(dǎo)致的過早收斂。對于屏蔽計算，不論是MC方法、點核積分方法，還是基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的快速預(yù)測，都存在不可忽視的計算誤差。對個體適應(yīng)度進行評價時，若直接以屏蔽后劑量的大小為判據(jù)，可能造成對個體優(yōu)劣的誤判，從而誤導(dǎo)尋優(yōu)過程；在算法調(diào)試時，多次獨立執(zhí)行優(yōu)化程序，就出現(xiàn)了劑量最小方案中的組分比例隨機陷入不同局部最優(yōu)解的情況。為此，在適應(yīng)度評價中引入了一個劑量不確定因子δD，若兩個個體X1和X2對應(yīng)的劑量子目標(biāo)存在如下關(guān)系：

|D(X1)-D(X2)|/(D(X1)+D(X2))≤δD

則認(rèn)為X1和X2劑量子目標(biāo)的適應(yīng)度相等；根據(jù)屏蔽計算誤差設(shè)置不確定因子δD，在本工作中為計算誤差的二分之一。通過引入不確定因子，在選擇算子中對個體基于錦標(biāo)賽進行選擇時，可避免因屏蔽計算誤差造成的個體優(yōu)劣誤判，從而保證種群的多樣性。

3)NSGA-II算法在求解雙目標(biāo)和三目標(biāo)問題時，具有很好的優(yōu)化效率。但實際應(yīng)用中，屏蔽設(shè)計通常還需要考慮成本、體積、材料性能等多種因素，優(yōu)化子目標(biāo)可能超過三個。NSGA-II算法在較多目標(biāo)求解中，存在以下問題：①隨著子目標(biāo)數(shù)量增加，一個隨機種群中非支配解的數(shù)量占比將成指數(shù)增長，經(jīng)過幾代進化后會很快占據(jù)整個種群，使搜索過程變慢；②隨著設(shè)計目標(biāo)維度增加，計算時間成本將大大增加；③對于三維以下的設(shè)計目標(biāo)，可以借助于優(yōu)化解集分布前沿的圖形化表示，輔助對優(yōu)化結(jié)果的評價和決策；但設(shè)計目標(biāo)維度超過三個后，不容易用圖形直觀表示。對于三目標(biāo)以上的優(yōu)化問題，可以考慮參考自適應(yīng)加權(quán)法，將多維設(shè)計目標(biāo)降維后進行求解；也可以采用Deb等人最新提出的基于參考點的非支配遺傳算法[9]。

4.2 結(jié)語

利用NSGA-II遺傳算法，開展了屏蔽劑量和材料密度最小化的雙目標(biāo)中子復(fù)合材料組分優(yōu)化研究，以Watt裂變中子譜以及聚乙烯、鉛、硼、鋰、鐵、鋁6種常見材料組成30 cm厚平板結(jié)構(gòu)為例，進行了自動優(yōu)化設(shè)計；優(yōu)化結(jié)果定性說明了基于算法的屏蔽材料組分優(yōu)化方法的可行性。本工作目前只關(guān)注遺傳算法在多目標(biāo)屏蔽設(shè)計中的應(yīng)用，暫未關(guān)注屏蔽結(jié)構(gòu)長期使用后的中子活化對屏蔽效果的影響及深穿透等問題，這些問題可在后續(xù)工作中繼續(xù)關(guān)注。以設(shè)計者的經(jīng)驗為先驗條件，結(jié)合該優(yōu)化算法，可更好地進行輻射屏蔽設(shè)計，為更高效確定優(yōu)化設(shè)計方案提供現(xiàn)實指導(dǎo)。