周步云， 艾保全

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院， 廣州510006)

近20年來，低維熱傳導(dǎo)機(jī)理的研究引起了廣泛關(guān)注，低維熱傳導(dǎo)也表現(xiàn)出與宏觀材料不同的特性，最大區(qū)別是在低維系統(tǒng)中傅里葉定律是否有效. 一般來說，一維模型可以分為3類[1-2]：(1)可積分系統(tǒng),例如關(guān)于諧波鏈的研究[3]表明在這一類系統(tǒng)中不存在溫度梯度，并且熱導(dǎo)率是發(fā)散的；(2)不可積分系統(tǒng),Frenkel-Kontorova模型[4-5]和Lorentz氣體模型[6]都是經(jīng)典的例子，傅立葉定律在此類系統(tǒng)中有效；(3)特殊的不可積分系統(tǒng)，例如Fermi-Pasta-Ulam鏈[7-8]和雙原子Toda鏈[9]等，該鏈中存在溫度梯度，但熱導(dǎo)率隨熱力學(xué)極限發(fā)散. 對低維材料的理論研究不僅增加了對熱傳導(dǎo)機(jī)理的認(rèn)識，而且為設(shè)計(jì)各種熱裝置開辟了道路. 一些研究提出了有趣且實(shí)用的熱學(xué)器件，例如整流器[10-13]、熱二極管[14]、晶體管[15]、熱邏輯門[16]、隔熱斗篷[17-18]、熱記憶[19]、熱泵[20-21]、熱限流器[22]和恒熱源[22]等，這些研究關(guān)注非線性響應(yīng)機(jī)制. 在非線性響應(yīng)狀態(tài)下，負(fù)微分熱阻(NDTR)是一種違反直覺的、特殊的物理現(xiàn)象，其熱流隨溫度差的增加而減小，這可能成為某些熱器件的物理機(jī)制，近年來引起了廣泛關(guān)注.

目前對Frenkel-Kontorova模型的研究集中于標(biāo)準(zhǔn)Frenkel-Kontorova晶格模型[5,23]、由2段Frenkel-Kontorova晶格組成的模型[10,14]和由3段Frenkel-Kontorova晶格組成的模型[24]，但是對原子所處的粗糙勢能對熱傳導(dǎo)影響的研究尚少.

1 研究方法

具有粗糙周期性的FK鏈哈密頓量可描述為：

其中，pi表示第i個(gè)原子的瞬時(shí)動(dòng)量；xi表示第i個(gè)原子偏離平衡位置的瞬時(shí)位移.V(xi+1-xi)表示最近相鄰原子的交互勢能：

其中，K0為FK鏈的彈簧常數(shù).U(xi)表示粗糙周期勢能：

其中，V0為勢能的高度；r為粗糙勢能的高度；ω為粗糙部分勢能的頻率. 如圖1所示，當(dāng)選擇r=0時(shí)，則標(biāo)準(zhǔn)的FK鏈勢能曲線光滑；當(dāng)r≠0時(shí)，勢能變得粗糙并帶有凹槽. 增大ω會(huì)使總勢能的粗糙度增大，因此可以通過改變r(jià)或ω來改變粗糙勢.

圖1 V0 = 5時(shí)粗糙勢能U(x)隨x的變化

Figure1 The rough potentialU(x) as the function of displacementxin the case ofV0= 5

在數(shù)值模擬中，F(xiàn)K鏈的兩端分別固定在T+和T-溫度下，以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的熱流. 鏈兩端的溫度由Langevin heat baths提供. 為了固定鏈，x0和xN+1都作固定邊界條件，取值為零.

其他原子的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，m是原子質(zhì)量.γi和ξi的定義如下:

γi=γ(ξ+δ1,i+ξ-δi,N)，

ξi=(ξ+δ1,i+ξ-δi,N)，

其中，γ表示摩擦系數(shù)；δ表示狄拉克δ函數(shù)；ξ表示高斯白噪聲. 其耗散關(guān)系為：

〈ξ(t)ξ(t′)〉=2γkBTδtt′，

〈ξ(t)〉=0，

其中，kB是玻耳茲曼常數(shù)；〈…〉表示一段時(shí)間內(nèi)的總體平均值.

為便于計(jì)算，將玻爾茲曼常數(shù)和原子質(zhì)量設(shè)為1，即kB=γ=1. 計(jì)算局部熱流的方程為：

計(jì)算局部溫度的方程為：

經(jīng)過長時(shí)間的模擬，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，局部熱流ji與原子位置i無關(guān)，因此總熱流可以通過J=Nj計(jì)算.

通過聲子態(tài)密度(PDOS)解釋熱傳遞性質(zhì)是一種有效方法. PDOS是在給定頻率間隔內(nèi)變化的動(dòng)能分布. 通過計(jì)算速度自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，PDOS可描述為[25]：

其中，ω是聲子的頻率；vj表示第j個(gè)原子的速度矢量，〈…〉表示所有原子和所有時(shí)間的平均值.

2 結(jié)果與討論

2.1 粗糙勢能對負(fù)微分熱阻的影響

2.1.1 負(fù)微分熱阻與粗糙高度的關(guān)系 在ω=3、T-=0.001、V0=5、K0=0.5、N=32條件下，不同r=0～0.10時(shí)，繪制總熱流與T+的函數(shù)圖像(圖2).

圖2 不同r取值時(shí)總熱流J隨T+的變化

注:T-=0.001，ω=3，V0=5，K0=0.5，N=32.

在一定溫度范圍，如果出現(xiàn)溫差較大而產(chǎn)生的總熱流較小，則說明出現(xiàn)NDTR. 當(dāng)r<0.05時(shí)，NDTR 出現(xiàn)；當(dāng)r>0.05時(shí)，NDTR消失. 與r=0的情況相比，當(dāng)r<0.05時(shí)，增加r會(huì)使NDTR的范圍變小. 圖2還說明存在一個(gè)臨界溫度Tc，當(dāng)溫度T+>Tc時(shí)J隨r的增加而增大. 這是因?yàn)楦邷厥诡w粒易于克服勢能，原子更加趨向遠(yuǎn)離x=0處的勢能凹槽中，勢能凹槽的深度隨r的增加而增大，增加r可使槽中的原子比標(biāo)準(zhǔn)FK鏈中的原子獲得更多的動(dòng)能，故增加r時(shí)熱流J增大.

當(dāng)r=0.01和T-=0.001時(shí)，NDTR出現(xiàn)規(guī)模效應(yīng)(圖3). NDTR的范圍變得更小，最終隨著系統(tǒng)大小N的增大而消失. 這是因?yàn)镹DTR可能是某種邊界機(jī)制的結(jié)果，例如聲子邊界散射或邊界熱阻，當(dāng)N增加時(shí)，邊界機(jī)制的影響減小. 在T+=0.070、0.154、T-=0.001情況下，得到PDOS圖(圖4). 與T+=0.154的情況相比，當(dāng)T+=0.070時(shí)，PDOS在低頻下較高，因此，熱流在T+=0.070時(shí)比在T+=0.154情況下的大，NDTR出現(xiàn). 當(dāng)r=0.05時(shí)，在T+=0.154情況下，PDOS的低頻部分大于T+=0.070的情況，因此NDTR消失.

圖3 不同系統(tǒng)大小(N)條件下總熱流J 隨T+的變化

Figure 3 The change of total heat fluxJas a function ofT+for different system sizes (N).

注:T-=0.001，ω=3，V0=5，K0=0.5.

圖4 PDOS與頻率的函數(shù)圖像

2.1.2 負(fù)微分熱阻與粗糙頻率的關(guān)系 由總熱流J與T+的關(guān)系(圖5)可知，當(dāng)固定T-=0.001，而對ω取不同值時(shí)，NDTR出現(xiàn)，但隨著ω的增加，NDTR逐漸消失. 隨T+增大，ω對熱流的影響減小，最后熱流趨向相同，這是因?yàn)闇囟壬咴舆\(yùn)動(dòng)劇烈，粗糙勢能對原子的作用力比熱源的作用力小，因此改變ω?zé)崃鞯淖兓淮? 當(dāng)T+=0.154時(shí)聲子態(tài)密度的低頻部分比T+=0.070時(shí)的大，NDTR消失(圖5).

圖5 不同ω與T+時(shí)的總熱流和PDOS圖像

2.2 粗糙勢能對熱導(dǎo)率的影響

對于不同的ω，熱導(dǎo)率κ與粗糙勢能高度r的關(guān)系如圖6所示.r對熱導(dǎo)率κ的影響隨粗糙度頻率ω的不同而變化. 當(dāng)ω=1時(shí)，κ與r單調(diào)增加，這是由于總勢能高度r降低所致. 當(dāng)ω從1開始增加時(shí)，κ會(huì)增加，然后隨著r的增加而減少，即存在一個(gè)峰值κm，κm是ω的函數(shù).

圖6 熱導(dǎo)率κ與r的關(guān)系

當(dāng)ω=1時(shí)，粗糙勢可以寫成

其中，

φ=arctan(r-1)，

它表明增加r會(huì)降低勢能的最大值，因此熱流增大. 由圖1可知，當(dāng)ω>1時(shí)，粗糙勢能會(huì)引起溝槽. 與r=0的情況相比，當(dāng)r≠0時(shí)處在凹槽底部的原子將獲得較少的勢能，并且隨著r的增加，凹槽越深，獲得的勢能越小，勢能越小原子獲得的動(dòng)能越大. 當(dāng)r較小時(shí)，原子可以穿過x=0附近的凹槽到達(dá)遠(yuǎn)離x=0的凹槽，增加r可使處在槽中的原子比處在標(biāo)準(zhǔn)勢能的原子獲得更多的動(dòng)能，在這種情況下，增加r意味著原子更容易傳導(dǎo)熱流. 當(dāng)r增加時(shí)，原子被困在接近x=0的凹槽中，這使得熱流變小.

由圖7可知，κ隨ω的增加而單調(diào)減少，并且設(shè)置不同的r可以控制κ的下降速度. 這是因?yàn)殡S著ω的增大，勢能作用在原子上的力增大，導(dǎo)致原子運(yùn)動(dòng)的速度和范圍變小. 因此，熱流更難以從高溫區(qū)域傳遞到低溫區(qū)域，熱導(dǎo)率減小. 由系統(tǒng)尺寸對熱導(dǎo)率κ的影響(圖8)可知，當(dāng)系統(tǒng)大小N=64、128時(shí)，隨r的增加，熱導(dǎo)率κ先增大后減小，也具有最大值.

圖7 熱導(dǎo)率κ與ω的關(guān)系

圖8 熱導(dǎo)率κ與r的關(guān)系

3 結(jié)論

研究了Frenkel-Kontorova晶格處于粗糙勢能下的熱傳導(dǎo)性能. 結(jié)果表明：當(dāng)粗糙勢能的高度、粗糙度的頻率增加時(shí)，NDTR的范圍變小，最終消失. 研究了熱導(dǎo)率與粗糙勢能高度和頻率之間的關(guān)系，結(jié)果表明：在不同頻率ω下，存在一個(gè)粗糙高度r最優(yōu)值，熱導(dǎo)率κ在該處取最大值. 隨著系統(tǒng)尺寸的增加，粗糙勢能仍可以對熱導(dǎo)率起作用. 粗糙勢能的頻率增大可以使熱導(dǎo)率單調(diào)降低. 粗糙勢能的高度或頻率增大將縮小NDTR的范圍，這可能是導(dǎo)致在實(shí)際材料中幾乎找不到NDTR的原因，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)中建立標(biāo)準(zhǔn)勢能場是一項(xiàng)較難的操作. 本文提出了一種可能的方法，即通過改變粗糙度FK勢的高度和頻率來控制低維晶格中的熱導(dǎo)率.