張繼超，周 航，馬 輝

(1.北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013；2.長(zhǎng)春大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；3.吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院，吉林 吉林 132101)

0 引 言

障礙期權(quán)[1](Barrier option)是一種最終收益為原生資產(chǎn)價(jià)格在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)是否達(dá)到某一規(guī)定水平(障礙)的歐式期權(quán)合約，它較普通歐式期權(quán)的價(jià)格便宜，因此在金融市場(chǎng)中受到更多投資者的關(guān)注.根據(jù)原生資產(chǎn)價(jià)格與規(guī)定水平的期權(quán)狀態(tài)可以分為敲出期權(quán)和敲入期權(quán).敲出期權(quán)是指原生資產(chǎn)價(jià)格在有效期內(nèi)達(dá)到障礙，期權(quán)終止有效； 敲入期權(quán)是指原生資產(chǎn)價(jià)格在有效期內(nèi)達(dá)到障礙，期權(quán)開始有效.目前在金融市場(chǎng)中關(guān)于原生資產(chǎn)價(jià)格設(shè)定障礙水平的衍生品類型較為完整，如障礙期權(quán)及其演化出的敲出障礙期權(quán)和敲入障礙期權(quán)、巴黎期權(quán)(Paris options)[2]等.一般在投資決策中準(zhǔn)確預(yù)測(cè)原生資產(chǎn)價(jià)格的變化趨勢(shì)更為重要，即對(duì)波動(dòng)率的刻畫.2007年[3]，法國(guó)興業(yè)銀行推出一種關(guān)于累積波動(dòng)率的認(rèn)購(gòu)計(jì)時(shí)期權(quán)，該期權(quán)是一種預(yù)判股價(jià)或指數(shù)未來的波動(dòng)趨勢(shì)進(jìn)而設(shè)定累積波動(dòng)率閾值，當(dāng)實(shí)際波動(dòng)率累積達(dá)到預(yù)先設(shè)定閾值時(shí)才可執(zhí)行的期權(quán).與傳統(tǒng)的歐式、美式期權(quán)等基礎(chǔ)衍生品相比，這種期權(quán)提供了一種更為有效的控制標(biāo)的資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)暴露的方法.因此，計(jì)時(shí)期權(quán)產(chǎn)品不僅可以作為一種獲取原生資產(chǎn)收益的重要方法，同時(shí)也是控制標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的有效工具之一.以上期權(quán)都為路徑依賴期權(quán)，經(jīng)典期權(quán)求解定價(jià)方法是以定價(jià)核或者轉(zhuǎn)移概率為目標(biāo)得到解析定價(jià)公式，但某些復(fù)雜期權(quán)只能得到數(shù)值解.期權(quán)定價(jià)理論的起源要追溯到1900年，Bachelier[4]首次運(yùn)用隨機(jī)游走描述股票價(jià)格變化，雖然不夠成熟，甚至某些假設(shè)條件違背了市場(chǎng)實(shí)際情況，但他給出了波動(dòng)率為常數(shù)情況下的歐式期權(quán)的解析定價(jià)公式.最近十幾年，具有隨機(jī)波動(dòng)率的期權(quán)的研究已經(jīng)成為金融衍生品定價(jià)研究的熱點(diǎn).為了更準(zhǔn)確地描述金融市場(chǎng)，有效地對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，許多學(xué)者開始關(guān)注隨機(jī)波動(dòng)率模型，例如Hull-White隨機(jī)波動(dòng)率模型[5]、Heston波動(dòng)率模型[6]等.目前，隨機(jī)波動(dòng)率模型下期權(quán)定價(jià)的研究主要集中在歐式型期權(quán)定價(jià)問題，而對(duì)于路徑依賴期權(quán)[7]定價(jià)的研究較少.因此，本文研究具有Hull-White波動(dòng)率模型下的一種特殊的歐式障礙期權(quán)的定價(jià)問題.

1 相關(guān)知識(shí)

在期權(quán)定價(jià)中，經(jīng)典的Black-Scholes公式[8]給出了標(biāo)準(zhǔn)歐式認(rèn)購(gòu)期權(quán)的價(jià)格如下:

V(S，t)=SN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)，

通過對(duì)資產(chǎn)價(jià)格時(shí)間序列的數(shù)據(jù)分析可知，資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率σ不是常數(shù)，而是一個(gè)隨機(jī)變量. 1987年，Hull和White[5]首次提出了擴(kuò)散波動(dòng)率模型(Hull-White模型)，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度P下，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St和標(biāo)的資產(chǎn)的方差vt滿足如下隨機(jī)微分方程：

假設(shè)Rt服從指數(shù)為γ(≥0)的Bessel過程[10]，且R(0)>0，

(1)

其中B(t)是標(biāo)準(zhǔn)一維布朗運(yùn)動(dòng).

其中，Px是以x起始點(diǎn)確定的概率測(cè)度.

命題1構(gòu)造投資組合Πt=U(t)-Δ1G(t)-Δ2S(t)，在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論下，則Hull-White模型下的波動(dòng)率障礙期權(quán)價(jià)格U(t)滿足下面的偏微分方程

本文簡(jiǎn)化考慮ψ=0情形.波動(dòng)率障礙期權(quán)價(jià)格U(t)滿足非拋物型偏微分方程，比普通障礙期權(quán)多出第3項(xiàng)vUI，它是關(guān)于累計(jì)實(shí)際波動(dòng)率的導(dǎo)數(shù).

2 定價(jià)公式

(2)

(3)

由式(2)得

(4)

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

由此，我們得到：

定理1假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格xt和隨機(jī)波動(dòng)率vt滿足Hull-White隨機(jī)波動(dòng)率模型變換過程式(2)和式(3)，在到期時(shí)刻的期權(quán)收益為U(T)=(ST-K)+ΙτB>T，則波動(dòng)率障礙期權(quán)價(jià)格U0表示為式(4)，且條件期望中聯(lián)合密度函數(shù)為式(5)～(8).

3 小 結(jié)

現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中波動(dòng)率衍生品的價(jià)格或是基于離散樣本股票的價(jià)格，或是由連續(xù)價(jià)格的二次變差得到實(shí)際方差后的價(jià)格，本文利用Bessel過程給出解析定價(jià)公式可有效應(yīng)對(duì)連續(xù)時(shí)間條件下隨機(jī)波動(dòng)率模型的期權(quán)定價(jià)問題.特別地，Bessel過程的性質(zhì)是我們得到關(guān)于累積波動(dòng)率的特殊障礙期權(quán)閉型解析解的關(guān)鍵.本文提出的波動(dòng)率障礙期權(quán)也豐富了金融交易產(chǎn)品.