鐘志攀，袁仕芳，梁榮鋒，朱翡虹

(五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020)

0 引 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和信息技術(shù)的發(fā)展，人們?nèi)粘Ｉ羁梢越佑|到的信息越來越豐富，產(chǎn)生信息數(shù)據(jù)的速度也越來越快。但是“信息過載”問題也越來越嚴(yán)重。想要從這海量的信息中獲取目的信息需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力。

人們解決“信息過載”問題的方法主要有建立搜索引擎、建立推薦系統(tǒng)(recommended system)[1-3]。推薦系統(tǒng)是比搜索引擎處理問題更為人性化的工具，它可以根據(jù)用戶的個(gè)人愛好、歷史瀏覽記錄等為用戶推薦所感興趣的內(nèi)容[4-6]。建立一個(gè)好的推薦系統(tǒng)可以節(jié)省用戶查找感興趣內(nèi)容的時(shí)間，增強(qiáng)用戶體驗(yàn)，還可以提高商品銷售量。推薦系統(tǒng)在很多行業(yè)都有應(yīng)用，例如新聞行業(yè)中的《今日頭條》，個(gè)性音樂軟件“網(wǎng)易云音樂”，尤其是電商行業(yè)，最著名的例子就有亞馬遜的“尿不濕和啤酒”[7]。推薦系統(tǒng)在工業(yè)上最經(jīng)典的應(yīng)用莫過于協(xié)同過濾算法(CF)[8-9]，該算法通過找到與用戶有相同品味的用戶，然后將相似用戶過去喜歡的物品推薦給用戶。

文中首先介紹了奇異值分解(SVD)和SVD推薦算法之間的聯(lián)系，以及SVD推薦算法原理，在此基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)傳統(tǒng)服飾商城的推薦系統(tǒng)。然后利用傳統(tǒng)服飾商城的用戶樣本數(shù)據(jù)測試該推薦系統(tǒng)的性能。

1 算法原理

協(xié)同過濾算法是推薦系統(tǒng)中的經(jīng)典算法。協(xié)同過濾算法主要分為兩類，一類是基于鄰域(neighborhood methods)的協(xié)同過濾算法，另一類是隱語義模型(latent factor models)的協(xié)同過濾算法[10]，后者是利用矩陣分解(matrix factorization)算法實(shí)現(xiàn)的。

為了評價(jià)推薦算法的性能，一般使用平方絕對值誤差(MAE)和均方根誤差(RMSE)測試推薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，公式如下：

(1)

(2)

其中，Rtest表示測試數(shù)據(jù)集，ui表示用戶i，cj表示商品j，r(ui,cj)表示用戶ui對商品cj的評分。

1.1 奇異值分解

SVD算法是在奇異值分解(singular value decomposition)[11]的基礎(chǔ)上建立起來的矩陣分解算法。對于矩陣A∈Rn×m，它的奇異值分解為：

(3)

其中，Σr=diag(λ1,λ2,…,λr)，r=rank(A),U∈Rn×n和V∈Rm×m是正交矩陣。U的列向量稱為左奇異值向量；Σr對角線上的值是A非零奇異值；VT是V的轉(zhuǎn)置，V的列向量稱為右奇異向量。

通常定義奇異值為σi，在矩陣Σ中沿對角線從大到小排列為：

σ1≥σ2≥…≥σr,r≤min{n,m}

σi的下降速度很快，大多數(shù)情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就可占所有奇異值之和的99%以上，所以這里r往往遠(yuǎn)小于n和m。根據(jù)奇異值的這個(gè)性質(zhì)，可以用一部分奇異值近似地描述矩陣所包含的信息，即有：

(4)

其中k≤r。

1.2 SVD算法

傳統(tǒng)的推薦系統(tǒng)一般會通過用戶對商品進(jìn)行評價(jià)，得出評分矩陣R(rating matrix)，再通過評分矩陣進(jìn)行分類、預(yù)測用戶喜好，從而進(jìn)行商品推薦。當(dāng)用戶數(shù)量比較大，商品種類和數(shù)量比較多時(shí)，很難做到讓所有的客戶對所有的商品進(jìn)行評分，此時(shí)評分矩陣R就會出現(xiàn)很多的缺失值。

這些缺失的評分可以看作是用戶ui對于商品cj的未知的潛在評分。SVD算法的思路就是在評分矩陣R缺失的情況下，對矩陣進(jìn)行分解，從而得到用戶因子矩陣U(users features matrix)和商品因子矩陣C(item features matrix)，最后通過矩陣U和C來預(yù)測用戶對商品的潛在評分。

由式(6)推廣到分解評分矩陣R，有以下等式：

Un×r=Un×nΣr×r

(5)

(6)

用隱語義模型來進(jìn)行協(xié)同過濾的目標(biāo)是揭示隱藏的特征，這些隱藏的特征能夠解釋觀測到的評分。SVD是為了識別隱語義因子而發(fā)展起來的，然而由于大部分評分值缺失，把SVD應(yīng)用到CF領(lǐng)域的顯式評分變得相對困難。例如表1。

表1 評分矩陣R

實(shí)際情況中往往只能獲得形如表1所示的評分矩陣，所有用戶無法對所有商品進(jìn)行評價(jià)，造成評分矩陣存在缺失值。當(dāng)r(i,j)=0，表示用戶i對商品j的評分缺失，如表1所示。存在缺失的現(xiàn)實(shí)意義就是用戶尚未購買或者與某商品有一些交互動(dòng)作，因此，通過預(yù)測缺失的評分，在用戶尚未評價(jià)的商品中，通過用戶原有的評分記錄和其他用戶的相似性這一先驗(yàn)知識，對用戶沒有評分的商品進(jìn)行評分預(yù)測。

SVD算法在奇異值分解的基礎(chǔ)上，將存在缺失值的評分矩陣R分解成形如表2和表3的用戶因子矩陣U和商品因子矩陣C。

表2 用戶因子矩陣U

表3 商品因子矩陣C

可以不用知道這兩個(gè)矩陣中的因子(factors)具體是什么，第一個(gè)因子可以是商品的價(jià)格，也可以是商品的外觀的美觀程度。關(guān)于“因子”，可以把它認(rèn)為是商品的子屬性。對同一個(gè)因子進(jìn)行評分，在用戶因子矩陣中表示用戶偏愛于這種商品的屬性的程度，而在商品因子矩陣中則表示此屬性在該商品反映的程度。

對于要推薦的商品，如衣服，價(jià)格是衣服的屬性之一，假設(shè)這件衣服的價(jià)格很低廉,那么相對應(yīng)評分就會高些，此時(shí)用戶在購買衣服時(shí)十分注重衣服的價(jià)格，那么對于衣服的價(jià)格的偏愛程度就會高一點(diǎn)。

通過矩陣分解(可以是任何合理的矩陣分解算法)，得到了上面的用戶因子矩陣U和商品因子矩陣C，通過分解出來的因子評分可以預(yù)測出用戶對新商品的評分，在這些新商品的評分中選取前n(Top-N)個(gè)預(yù)測評分最高的物品，構(gòu)造出推薦列表進(jìn)行推薦。

預(yù)測用戶ui對商品cj的評分，利用用戶因子矩陣U和商品因子矩陣C計(jì)算可得預(yù)測評分：

(7)

利用式(7)可以得到表4。

表4 評分矩陣

1.3 SVD算法的“學(xué)習(xí)”預(yù)測

通過上述內(nèi)容，SVD算法實(shí)現(xiàn)推薦的主要思路是：通過矩陣分解技術(shù)將評分矩陣R分解成用戶因子矩陣U和商品因子矩陣C，再通過這兩個(gè)矩陣的合成從而預(yù)測用戶對商品的評分。但是矩陣U和C并不是直接通過矩陣分解得出，而是通過學(xué)習(xí)的方法得到。

預(yù)測用戶ui對商品cj的評分可以表示為：

(8)

(9)

其中I∈{0,1}n×m，作為一個(gè)指示器，指示相應(yīng)位置是否有評分，有評分為“1”，沒有評分為“0”，最后兩項(xiàng)是正則化項(xiàng)；ku和kc是常數(shù)，防止過擬合[12]。

考慮由于個(gè)體差異可能導(dǎo)致評分過低或過高，使用baseline predictors基準(zhǔn)預(yù)測。將平均評分設(shè)為μ，設(shè)用戶做出的評分相對于平均評分的偏差為bui，設(shè)商品cj相對于平均分的偏差為bcj，得到：

(10)

結(jié)合式(8)和式(10)，有：

(11)

于是損失函數(shù)可以重新表述為：

(12)

對式(13)求導(dǎo)到求解函數(shù)：

(14)

其中，γ為學(xué)習(xí)率。

利用評分矩陣中已知的評分求解上述函數(shù)(14)，訓(xùn)練得到損失函數(shù)值最優(yōu)時(shí)的參數(shù)，從而確定損失函數(shù)，完成對模型的訓(xùn)練。通過損失函數(shù)可以預(yù)測用戶對商品的評分，完成推薦任務(wù)。

2 算法實(shí)現(xiàn)

實(shí)驗(yàn)是在Intel-Core i7雙核處理器,CPU1 2.60 GHz,CPU2 2.0 GHz,內(nèi)存4 G的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，采用Window8.1操作系統(tǒng)，編程語言是Python 3.6。

2.1 數(shù)據(jù)集

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自傳統(tǒng)漢服網(wǎng)站“衣緣巷”的用戶統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。隨機(jī)選取了158名用戶對20件服裝進(jìn)行評分，評分范圍是1～7。

2.2 算法實(shí)現(xiàn)與結(jié)果分析

算法流程如圖1所示。

圖1 算法流程

將獲取到的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)清理，剔除user_id、item_id數(shù)據(jù)內(nèi)容缺失的數(shù)據(jù)項(xiàng)。再將數(shù)據(jù)集重新整合成(user_id,item_id,rating)三元組結(jié)構(gòu)。使用交叉驗(yàn)證[14]來驗(yàn)證數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)隨機(jī)分成三份進(jìn)行三組測試，第一組實(shí)驗(yàn)選定其中兩份數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，剩下的一份作為測試數(shù)據(jù)；其他兩組數(shù)據(jù)也是執(zhí)行同樣的操作。

初始化式(13)的學(xué)習(xí)率γ為0.002，因子factors的維數(shù)初始化為100,表示將要分解的評分矩陣的因子最多有100個(gè)。模型測試指標(biāo)見表5。

表5 模型測試指標(biāo)

圖2反映了實(shí)際評分和預(yù)測評分之間的絕對誤差主要集中在“1”分左右，意味著該模型預(yù)測用戶的評分出現(xiàn)的誤差大部分不超過“1”。

通過計(jì)算客戶對商品的實(shí)際評分和模型的預(yù)測評分之間的絕對誤差占總分“7”的百分比，觀察模型的總體預(yù)測性能，如圖3所示?？梢园l(fā)現(xiàn)誤差百分比超過50%的誤差基本沒有，誤差百分比大部分集中在30%，其中誤差百分比為10%的誤差的樣本數(shù)量居多。

圖2 絕對評分誤差散點(diǎn)分布

圖3 模型預(yù)測誤差分布

3 結(jié)束語

總體來說，該模型相對于現(xiàn)行的其他推薦算法是可靠的。SVD算法的優(yōu)勢在于可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測用戶評分，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)推薦。但在用戶和商品基數(shù)特別

大的情況下，SVD算法會因矩陣分解的時(shí)間效率低而優(yōu)勢不在，表明該算法非常適合用戶數(shù)量不夠巨大，商品種類不太繁多的小型在線商城。