劉本源，劉銳崗，夏軍營，季振宇，楊 濱，代 萌，史學濤，付 峰

（空軍軍醫(yī)大學軍事生物醫(yī)學工程學系，西安710032）

0 引言

電磁場工程技術(shù)是電磁場理論、現(xiàn)代數(shù)學和計算機科學緊密結(jié)合的產(chǎn)物，計算電磁學是電磁場工程領域數(shù)值計算和特性分析的基礎，在醫(yī)學儀器研發(fā)、生物醫(yī)學研究中起著重要的作用。在現(xiàn)代健康工程中，電磁環(huán)境對人體的致病影響引起廣泛關注[1]；利用生物組織的電磁特性，可測量人體組織成分或?qū)Σ∽儏^(qū)域成像[2]?；陔姶艌隼碚摰男滦歪t(yī)療成像方法，如電阻抗斷層成像[3-5]、磁感應斷層成像[6]、磁聲成像[7]等已被寫入“中國制造2025”。開展人體電磁特性測量和成像技術(shù)研發(fā)需要大量專業(yè)人才，而電磁場的理論和數(shù)值計算方法正是該方向研究者所必須具備的基礎知識。

電磁場理論與數(shù)值計算課程屬于計算電磁學框架內(nèi)一門專業(yè)性較強的基礎課程，本課題系統(tǒng)地講授電磁場理論和數(shù)值計算方法，涵蓋麥克斯韋方程組、數(shù)值積分方法、有限差分法、有限元方法、電磁場逆問題等主要單元。課程內(nèi)容分為基本理論與數(shù)值編程兩部分。理論方面的特點是知識面廣、所需先導課程內(nèi)容較多；而編程方面則由于學員初次編寫大規(guī)模數(shù)值計算程序，且缺乏對電磁場數(shù)值解的直觀理解，授課難度較大。

第四軍醫(yī)大學生物醫(yī)學工程系于1986年創(chuàng)建，2017年更名為空軍軍醫(yī)大學軍事生物醫(yī)學工程學系?，F(xiàn)有醫(yī)學影像、生命雷達、生物電磁效應、電阻抗斷層成像等幾個主要研究方向，是我國較早開展人體生物電磁效應、電阻抗斷層成像的單位之一。電磁場理論與數(shù)值計算課程是我校生物醫(yī)學工程專業(yè)學員本科階段的一門必修專業(yè)課程，而我校是國內(nèi)唯一在生物醫(yī)學工程專業(yè)方向本科階段開設計算電磁學相關課程的院校。

目前，國內(nèi)高校僅在機械、電子信息工程專業(yè)研究生階段開設計算電磁學課程[8-10]。我校首次將電磁場理論與數(shù)值計算課程提前到本科高年級開設，具有一定的挑戰(zhàn)。生物醫(yī)學工程專業(yè)本科階段的課程體系與機械、電子等專業(yè)有本質(zhì)不同，學員雖然學習了本課程所需的先導課程并掌握了C++、MATLAB等編程技能，但相關課程講授深度不足且大規(guī)模程序編寫經(jīng)驗欠缺，授課難度較大。針對這一問題，我校在近5 a 的教學實踐中不斷地精簡電磁場數(shù)值計算知識體系、豐富編程內(nèi)容，創(chuàng)造性地在課程實施中加入較短的激勵反饋環(huán)節(jié)，幫助學生克服挫敗感并建立信心。學員從電磁場理論開始，逐步經(jīng)歷方程離散化處理、數(shù)值近似、有限元編程、電磁場數(shù)值解可視化、電磁場特征參數(shù)計算等學習，體會科學研究中從理論到實踐、再由實踐結(jié)果驗證科學假設的完整閉環(huán)，不僅為本專業(yè)后續(xù)課程的學習奠定了堅實的基礎，同時搭建了進入生命雷達成像、生物電阻抗斷層成像、生物電磁特性分析等相關領域科學研究的橋梁。

本文系統(tǒng)地介紹電磁場理論與數(shù)值計算課程的課程設計、教學及編程環(huán)節(jié)的實施方法，總結(jié)近5 a的教學實踐經(jīng)驗，希望能夠給國內(nèi)其他高校生物醫(yī)學工程專業(yè)開設此類課程提供參考。

1 課程設計

1.1 課程意義

目前，我校生物醫(yī)學工程專業(yè)本科生在大三階段缺少一門承前啟后的綜合性課程，該課程必須能夠囊括先前學習的大學物理、計算機編程語言、信號與系統(tǒng)等專業(yè)基礎課，并且應當“拔高性”地培養(yǎng)學生編寫大規(guī)模數(shù)值計算及可視化程序的能力，以便后續(xù)更好地開展專業(yè)研究。這正是現(xiàn)行生物醫(yī)學工程專業(yè)教學體系中緊缺的薄弱環(huán)節(jié)。

電磁場理論與數(shù)值計算課程綜合了電磁場理論及計算機數(shù)值計算的核心內(nèi)容，在本專業(yè)第三學年開展專業(yè)課教學。電磁場理論與數(shù)值計算課程設置及其先導、后續(xù)課程如圖1 所示。本課程的設計屬于“拔高型”框架設計，系統(tǒng)地鍛煉學員的理論學習和編程能力。通過設計3 個有特點、難度遞進的編程實驗，并建立“即時反饋”激勵系統(tǒng)，逐步建立學生的信心。

圖1 我校生物醫(yī)學工程專業(yè)電磁場理論與數(shù)值計算課程設置及其先導、后續(xù)課程

本課程包含以下先導課程：高等數(shù)學、線性代數(shù)、大學物理，要求學生能夠綜合運用信號與系統(tǒng)課程及數(shù)字信號處理課程的基本思想進行理論分析；在實踐環(huán)節(jié)，要求學生利用高級編程語言（C/C++、MATLAB 或Python）編寫大型數(shù)值計算程序，完成數(shù)值解的可視化，并計算電磁特征參量。主修完本課程后，學員將進一步學習醫(yī)學儀器、生物醫(yī)學信號檢測與處理綜合實驗等專業(yè)課程，并進入畢業(yè)設計。本課程內(nèi)容屬于我校軍事生物醫(yī)學工程學系3 個重點研究方向——生物電磁特性斷層成像、非接觸雷達生命探測及生物組織磁效應的專業(yè)基礎。因此，本課程可幫助學生掌握專業(yè)知識、提升運用高級編程語言的能力，順利進入本科畢業(yè)設計環(huán)節(jié)。

1.2 授課對象特點

我校生物醫(yī)學工程專業(yè)為小班授課，近5 a 平均每學期學員16 名，學員有較好的基礎和學習習慣。分析近5 a 的教學活動，存在的主要問題如下：

（1）僅在普通物理課程學過有關電磁場理論相關內(nèi)容，后續(xù)無進一步的課程跟進鞏固，導致與本課程的銜接不充分；

一般春季容易出現(xiàn)低溫和陰雨等天氣，從而導致根腐病、白粉病以及紋枯病等病蟲害的頻繁發(fā)生。因此，在春季應當提前做好病蟲害的防治工作，結(jié)合季節(jié)特征采取最佳的防護措施。

（2）學員對前期課程中所學知識，尤其是線性代數(shù)、復變函數(shù)等有所遺忘；

（3）沒有開設矢量分析課程，給教學內(nèi)容的推進帶來一定的困難；

（4）學員編程實踐缺乏，對于上機實驗尤其是大規(guī)模數(shù)值計算編程、數(shù)據(jù)可視化部分有畏難情緒。

針對以上問題，對于本課程涉及到的電磁場、線性代數(shù)和矢量分析知識，教員在相關教學內(nèi)容開展前（每節(jié)課前10 min）有針對性地補充講解，幫助學員順利銜接，并提示后續(xù)課程中需用到的知識點，以幫助學員有針對性地預習。同時，加強編程技能的訓練和強化，鼓勵充分發(fā)揮網(wǎng)絡等交流工具，豐富課上及課下學習方法，激勵學員主動探索、思考、學習，并不斷加強編程實驗在最終考核中所占比重。

1.3 教材選用

本課程選用普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材《工程電磁場數(shù)值計算（第2 版）》[11]，如圖2（a）所示。課程講義及實驗手冊由課程教學組自編。

除了中文教材及自編講義外，增加學生課外閱讀教材《計算電磁學（英文版）》（Computational Electromagnetic（2005）[12]），如圖2（b）所示。該書由Springer出版，作者Anders Bondeson 是瑞典哥德堡查爾莫斯大學（Chalmers University）教授，是國際電磁場數(shù)值計算領域的知名專家。查爾莫斯大學是國際頂級院校，該書是電子信息工程專業(yè)本科生計算電磁學課程的專用教材。全書描寫簡練準確，國內(nèi)高年級本科生在掌握一些專業(yè)詞匯的基礎上，閱讀無任何困難。以本書作為輔助閱讀材料，有助于學生掌握本領域?qū)I(yè)的英文詞匯，為今后獨立查閱文獻、開展科學研究打下基礎。

圖2 電磁場理論與數(shù)值計算課程選用教材及參考教材

另外，根據(jù)我校生物醫(yī)學工程專業(yè)本科教學的特點，優(yōu)選3 個有代表性的上機實驗，圖文并茂編制成實驗講義，供學生參考學習。

1.4 課時設計

表1 課程學時分布及變更方式學時

從表1 中可以看出，針對本專業(yè)學員的特征和接受程度，本門課程的授課內(nèi)容不斷得到精簡。在最近一輪教學計劃中，理論課精簡為電磁場理論的數(shù)學模型、有限差分法及有限元方法、電磁場逆問題3個模塊，總計30 學時。編程實驗課針對有限元數(shù)值計算方法、基于牛頓優(yōu)化算法的電磁成像方法這2個部分重點教學內(nèi)容開展，共計18 學時，另有2 學時為理論考試。

1.5 編程實踐環(huán)節(jié)設計

本課程精心設計了3 個有代表性的編程實踐環(huán)節(jié)，共計18 學時，努力培養(yǎng)學員的實際動手能力和理論知識的應用能力，如圖3 所示。

實驗1 為規(guī)則圓域的網(wǎng)格剖分。對圓形區(qū)域進行規(guī)則剖分，主要以扇面為單位構(gòu)建三角面元的連接規(guī)則，輸出節(jié)點坐標矩陣、面元連接矩陣、面元電導率矢量。實驗要求可將邊界上的特殊節(jié)點設置并標記為電極。采用MFC 或MATLAB、Python 對剖分結(jié)果可視化。

實驗2 為電磁場正問題——有限元方法數(shù)值計算?；诘? 個編程實驗得到的無結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，計算在給定邊界條件下場域內(nèi)的電勢分布，以等位線的形式對數(shù)值計算結(jié)果可視化。

圖3 電磁場理論與數(shù)值計算課程精選的3 個編程實驗

實驗3 為電磁場逆問題——電阻抗斷層成像。在邊界上施加有限次數(shù)的激勵，采用高斯牛頓優(yōu)化方法，利用邊界測量數(shù)據(jù)求解場域內(nèi)電導率的分布。該實驗本質(zhì)上是電阻抗斷層成像問題。

通過精選的3 個實驗，學員可以從易到難地掌握電磁場數(shù)值計算的各個環(huán)節(jié)；通過剖分和數(shù)值計算結(jié)果可視化的訓練，學員可了解現(xiàn)代數(shù)值計算中的2 個核心內(nèi)容，即離散和可視化；通過學習優(yōu)化方法，求解逆問題，學員可掌握電阻抗斷層成像的實施要點。同時，課程中引入電磁場數(shù)值計算在臨床應用中的討論，訓練學生尋找、解決臨床問題的敏感性和發(fā)現(xiàn)科學問題的能力。

2 教學實施方法與成果

2.1 教學方法

2.1.1 理論教學

理論教學以課堂講授為主，采用PowerPoint 幻燈講解課程知識點，輔助板書，以靈活的形式應對學生學習知識的需要。采用信息化教學手段和傳統(tǒng)教學手段的有機結(jié)合改善教學效果、提升教學水平。授課中重視師生互動，激發(fā)學習興趣，促進自主學習。引入PBL（problem-based learning）教學方法，即教員提出問題，學員在課下查找資料。通過課后作業(yè)、答疑、輔導等方式及時了解并解決學員學習中遇到的問題，力爭給予學員個性化的輔導。

同時密切理論和實踐的聯(lián)系，通過綜合性的實驗設計促使學員深入掌握所學知識，提高解決實際問題的能力；鼓勵學員參與第二課堂的課外科研活動，拓展課程知識，為今后的工作和科研培養(yǎng)創(chuàng)新能力；通過學習典型電磁場數(shù)值計算的原理和方法，關注其不斷發(fā)展、逐步完善的歷史演變過程和各自的優(yōu)缺點，強化理論與實踐結(jié)合的重要性，培養(yǎng)積極思考、不斷進取的探索精神，不斷追求最恰當、最優(yōu)化的電磁場數(shù)值計算方法。

另外，在學習電磁場理論與數(shù)值計算課程各章節(jié)時，不僅要關注具體的方法和過程，還要理解其來源和思路，同時應了解使用對象，為解決實際的電磁場數(shù)值計算問題奠定基礎。

2.1.2 編程實踐

通過電磁場數(shù)值計算上機實驗課，學生依次經(jīng)歷分析問題、動手編程、上機驗證和討論交流等過程，感受電磁場數(shù)值計算編程過程的嚴謹、艱辛和成功的樂趣。在學習基本操作技能的同時，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，并在這一過程中理解學習基本知識和基本技能在處理實際問題過程中的重要性。同時通過典型問題的分析和實現(xiàn)過程，準確練習和學會這些基本技能，做到舉一反三、觸類旁通，為學習后續(xù)相關課程和今后的工作科研奠定基礎。

2.2 成績分析與反饋

通過分析編程實踐成績與理論考試成績可知，編程實踐環(huán)節(jié)成績較好，且興趣較濃厚的學生，理論考核成績往往較高，呈現(xiàn)正相關的趨勢，如圖4 所示。

圖4 電磁場理論與數(shù)值計算課程編程與理論考核成績對比圖

電磁場理論與數(shù)值計算課程是生物醫(yī)學工程專業(yè)的一門專業(yè)課程，其綜合性、應用性強，融合了線性代數(shù)、C/C++編程、數(shù)值算法等多項內(nèi)容。同時本課程也是一門強調(diào)實踐的課程，著重培養(yǎng)學生在學習理論知識基礎上的動手編程能力。

在教學中，編程實踐處于核心環(huán)節(jié)。常規(guī)的授課方式為先講授理論再進行編程，這種模式反饋周期長，易產(chǎn)生挫折感，不利于調(diào)動學生的主動性和學習熱情。簡·麥戈尼格爾在《游戲改變世界》一書中指出：“學生沉迷于游戲的根源在于游戲的設計者建立了吸引人的目標、規(guī)則、反饋系統(tǒng)?！盵13]基于此，本文精心設計了3 個編程實踐內(nèi)容，穿插于理論課程教學環(huán)節(jié)，難度逐漸遞進，編程驗收間隔（反饋）也由密集（較短）變得稀疏（較長）。通過現(xiàn)場指導和討論，增加學生的自信心。

由于本課程編程實驗難度大，任課教員針對每一名學員的特點和進度，針對性地設定編程實驗短期考核目標，與學員共同討論數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和程序接口，幫助所有學員完成前2 個實驗，即圓形區(qū)域的規(guī)則剖分和有限元數(shù)值計算。但實驗3 電磁成像逆問題涉及牛頓優(yōu)化方法和計算Jacobian 矩陣，要求學員先前撰寫的程序高度模塊化并具有良好的接口，需要對已完成的程序進行重構(gòu)。個別學員因無法定位C++數(shù)值計算的錯誤，頻頻受挫進而放棄實驗3。而少數(shù)完成了全部3 個實驗的學員，在編程匯報答辯時有信心回答教師的現(xiàn)場提問，認可自己較好地掌握了本門課程。有學員表示每次編程前會覺得很困難，但是自己一步一步實現(xiàn)以后，看到可視化的結(jié)果特有成就感。值得注意的是，調(diào)試數(shù)值計算程序需引入單元測試，而這部分內(nèi)容正是本專業(yè)課程體系中缺少的。在最新一輪授課中，單獨講授單元測試方法，構(gòu)建了一個僅包含4 個節(jié)點、2 個面元的最小有限元正問題和電磁成像逆問題，以板書的形式手把手帶領學生手動計算系數(shù)矩陣和Jacobian 矩陣，取得了較好的授課效果。

3 結(jié)語

當前本科教學改革中，鼓勵增加一批有挑戰(zhàn)、有難度的課程內(nèi)容，而如何把“難”課講“好”，是每一個教育工作者不可回避的問題。本文系統(tǒng)地介紹了電磁場理論與數(shù)值計算課程的設計思路、改革歷程與教學經(jīng)驗。在理論教學方面，采用框架設計，綜合學員先導課程的核心內(nèi)容，以編程為牽引，挖掘?qū)W生的課堂興趣和課后動力；在編程實驗方面，精心設計了層層遞進的3 個實驗，保護并激發(fā)學生的學習動力。本文提出的理論—實踐—反饋模式，有助于將枯燥的理論講授環(huán)節(jié)融入直觀的編程學習中，同時以交替“難度沖擊（挫敗）”和“編程實踐（獎勵）”的模式，螺旋式地推進授課進度，對電磁場理論與數(shù)值計算課程的教學改革有重要的促進作用。