李善鋒，楊 倩

（1.吉林鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，吉林吉林132200；2.綏化學(xué)院電氣工程學(xué)院，黑龍江綏化152000）

在工業(yè)4.0快速發(fā)展的今天，串聯(lián)機構(gòu)已經(jīng)不能滿足生產(chǎn)的要求，人們已經(jīng)將目光轉(zhuǎn)移到了并聯(lián)機構(gòu)上［1-2］。并聯(lián)機構(gòu)由于其具備剛性好等特點在工業(yè)生產(chǎn)中得到了廣泛應(yīng)用［3］。并聯(lián)機構(gòu)在結(jié)構(gòu)和性能上擁有其優(yōu)越的特性，但其對預(yù)設(shè)軌跡進行準確追蹤的問題，一直是困擾業(yè)界的一個難題［4-5］。

為了提高并聯(lián)機構(gòu)對預(yù)設(shè)軌跡的追蹤準確性，人們研究出了多種控制方法。例如：Dion等［6］設(shè)計了關(guān)于速度與加速度的運動方程，確定最小可行振動次數(shù)的上限，以對并聯(lián)結(jié)構(gòu)的運動軌跡進行控制。文獻［7］提出了一種基于積分滑?？刂频碾p環(huán)控制方案，所提出的雙環(huán)控制方案使用冗余傳感器反饋，即使用適當(dāng)?shù)膫鞲衅鳙@得單個主動關(guān)節(jié)位移、速度（在關(guān)節(jié)空間層）、末端執(zhí)行器位置和方向（在任務(wù)空間層）作為反饋信號。利用冗余反饋信息，在外環(huán)（運動學(xué)）控制中計算末端執(zhí)行器的實際位姿誤差，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)環(huán)（動力學(xué)）控制中進行校正，以獲得給定的任務(wù)空間軌跡。Jiang等［8］提出了一種6自由度懸索并聯(lián)機器人的動態(tài)軌跡規(guī)劃技術(shù)。首先，引入了一個與懸索并聯(lián)機器人等效的被動機械系統(tǒng)，以提供洞察和幫助設(shè)計可擴展到機器人靜態(tài)工作空間以外的軌跡。利用傾角和扭轉(zhuǎn)角法則建立數(shù)學(xué)模型，并對軌道的旋轉(zhuǎn)分量施加限制。在某些條件下，控制軌跡平動部分的動力學(xué)微分方程被證明是線性的。因此，得到了一個等剛度彈簧的等效無源線性系統(tǒng)的固有頻率，并將與該系統(tǒng)相關(guān)的一組線性微分方程進行積分，得到了自然周期軌跡的一般解，用于跟蹤純平移軌跡和更復(fù)雜的運動。這些方法在控制并聯(lián)結(jié)構(gòu)時，不具備自適應(yīng)性，難以適應(yīng)并聯(lián)機構(gòu)的非線性影響，使得控制準確度不高。

對此，本文設(shè)計了一種3-RPR冗余驅(qū)動并聯(lián)結(jié)構(gòu)，并對其運動學(xué)進行了分析，獲取了其結(jié)構(gòu)中驅(qū)動機構(gòu)和關(guān)節(jié)點的速度以及加速度方程；利用并聯(lián)機構(gòu)的同步誤差，求取了滑膜面的計算方程，并在此基礎(chǔ)上定義了自適應(yīng)滑?？刂破?，求取了驅(qū)動力，以對并聯(lián)機構(gòu)的運動軌跡進行控制；最后，測試了本文設(shè)計的自適應(yīng)滑模控制器對預(yù)設(shè)軌跡的追蹤效果。

1 冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析

由于3-RPR非冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)在運動時會受到奇點的影響，而且運動空間有限，所以在運動控制時效果不理想。對此，本文設(shè)計了如圖1所示的3-RPR冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)［9］。

圖1 3-RPR冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig 1 Structure diagram of 3-RPR redundant drive parallel mechanism

在圖1中，3-RPR冗余驅(qū)動并聯(lián)結(jié)構(gòu)，動平臺的中心點為I，圓形機構(gòu)的中心為O。以I和O為中心，分別構(gòu)建了I-x1y1z1和O-x2y2z2兩個坐標。在I-x1y1z1中，z1與動平臺垂直；在O-x2y2z2中，z2與圓形機構(gòu)垂直。各支鏈由第1和第2移動機構(gòu)構(gòu)成，C1，C2，C3為關(guān)節(jié)點，D1，D2，D3為驅(qū)動機構(gòu)，T1，T2，T3為與連桿相連接的3個關(guān)節(jié)的長度，φi(i=1，2，3)為I-x1y1z1下動平臺的3個關(guān)節(jié)點和x1軸方向相成的夾角，γi(i=1，2，3)為O-x2y2z2下3個圓形機構(gòu)連桿和z2軸方向相成的夾角，δi(i=1，2，3)為O-x2y2z2下3個連桿和z2軸方向相成的夾角。

在O-x2y2z2中，可利用旋轉(zhuǎn)矩陣Rφi和半徑矩陣，計算驅(qū)動機構(gòu)的位置向量［10-11］：

動平臺可被視為一個等邊三角形，其邊b=ICi由I點和C1，C2，C3組成。Ci（i=1，2，3）在I-x1y1z1和O-x2y2z2兩個坐標下的位置向量分別為

式中：Ti（i=1，2，3）為關(guān)節(jié)的長度；si=DiCi為Di到Ci的單位矢量；uCi為Ci（i=1，2，3）在I-x1y1z1中的坐標。其可利用矩陣Rφ和Rφi及uˉCi來表示：

式中：φ為動平臺的幾何中心的方向。

通過聯(lián)合式（4）和式（5），可獲得Ti（i=1，2，3）的求取過程為

由式（1），可得驅(qū)動機構(gòu)Di的速度計算式為

通過對式（5）求導(dǎo)，可得到關(guān)節(jié)點Ci的速度計算公式為

在O-x2y2z2坐標中，關(guān)節(jié)點Ci的速度計算公式為

式中：T˙i為第2移動機構(gòu)的速度，其計算過程為

在獲得驅(qū)動機構(gòu)Di以及關(guān)節(jié)點Ci的速度后，對其進行求導(dǎo)，便可得到對應(yīng)的加速度計算過程為

2 控制器設(shè)計

滑?？刂品椒▽㈩A(yù)設(shè)軌跡視為目標，控制并聯(lián)機構(gòu)按照預(yù)設(shè)軌跡運轉(zhuǎn)［12］?；？刂品椒刂撇⒙?lián)機構(gòu)到達滑膜面后，將會具有較好的魯棒性。對此，采用滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了一種自適應(yīng)滑模控制器。所設(shè)計的自適應(yīng)滑模控制器可以對并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)參數(shù)進行估計，同時協(xié)調(diào)其各支鏈間的驅(qū)動力，以對并聯(lián)機構(gòu)的運動軌跡進行準確的控制。

利用預(yù)設(shè)軌跡qe和實際軌跡qd的誤差e，求取并聯(lián)機構(gòu)的同步誤差［13］為

式中：J(θ)為一個關(guān)于預(yù)設(shè)軌跡切線處角度θ的矩陣，

利用es可得到滑膜面的方程為

式中：a1和a2為正常數(shù)；為es的導(dǎo)數(shù)。

通過滑膜面的方程，求取參考速度與加速度的方程為

利用參考速度與加速度對自適應(yīng)滑?？刂破鬟M行定義，求取驅(qū)動力uc為

式中：K=diag(k1，k2)，k1，k2為正常數(shù)；Y(es，qe，)為一個矩陣；ts為采樣時間。

3 實驗結(jié)果

在Matlab/Simulink下進行實驗。用本文設(shè)計的自適應(yīng)滑?？刂破鳎ˋdaptive Sliding Mode Controller，ASMC）對不同預(yù)設(shè)軌跡進行了追蹤測試。同時實驗中還將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器（Neural Network Controller，NNC）與ASMC一同用于對預(yù)設(shè)軌跡的追蹤測試，作為實驗測試過程的對比，以比較本文設(shè)計的ASMC的控制優(yōu)越性。

3.1 簡單預(yù)設(shè)軌跡追蹤

利用ASMC和NNC對利用直線變換產(chǎn)生的簡單預(yù)設(shè)軌跡進行追蹤，并對各控制器追蹤的結(jié)果進行分析，判斷各控制器的追蹤特性。ASMC和NNC對簡單預(yù)設(shè)軌跡的追蹤結(jié)果如圖2所示。

將圖2（a）和圖2（d）進行比較發(fā)現(xiàn)，ASMC和NNC都能實現(xiàn)對預(yù)設(shè)軌跡進行追蹤。截取ASMC和NNC的部分追蹤軌跡進行分析可以發(fā)現(xiàn)，如圖2（b）和圖2（e）所示，NNC和ASMC對簡單預(yù)設(shè)軌跡追蹤結(jié)果在x方向上的誤差：NNC的追蹤軌跡在x方向上出現(xiàn)的跳動頻率，比ASMC的追蹤軌跡在x方向上出現(xiàn)的跳動頻率高；NNC的追蹤軌跡在x方向上出現(xiàn)的最大誤差為4.86 mm，而ASMC的追蹤軌跡在x方向上出現(xiàn)的最大誤差僅為2.52 mm。如在圖2（c）和圖2（f）所示，NNC和ASMC對簡單預(yù)設(shè)軌跡追蹤結(jié)果在y方向上的誤差：NNC的追蹤軌跡在y方向上波動的次數(shù)，比ASMC的追蹤軌跡在y方向上波動的次數(shù)多；NNC的追蹤軌跡在x方向上出現(xiàn)的最大誤差為4.52 mm，而ASMC的追蹤軌跡在x方向上出現(xiàn)的最大誤差僅為2.49 mm。由此可見，本文設(shè)計的ASMC能夠?qū)唵晤A(yù)設(shè)軌跡進行較準確的追蹤，說明ASMC可以控制3-RPR冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)，較好地按照直線變化產(chǎn)生的較為簡單的預(yù)設(shè)軌跡進行運動。

圖2 NNC和ASMC對簡單預(yù)設(shè)軌跡追蹤結(jié)果Fig.2 Tracking results of simple preset trajectory by NNC and ASMC

3.2 復(fù)雜預(yù)設(shè)軌跡追蹤

用ASMC和NNC對利用曲線產(chǎn)生的復(fù)雜預(yù)設(shè)軌跡進行追蹤，通過分析追蹤結(jié)果，觀察各方法性能。ASMC和NNC對復(fù)雜預(yù)設(shè)軌跡的追蹤結(jié)果如圖3所示。

對比圖3中NNC和ASMC對復(fù)雜預(yù)設(shè)軌跡追蹤結(jié)果可見，圖3（a）中的追蹤軌跡比圖3（d）中的追蹤軌跡更具波動性。如圖3（b）所示NNC的追蹤軌跡在x方向上的誤差，比圖3（e）所示的ASMC的追蹤軌跡在x方向上的誤差更大，而且波動次數(shù)也更多。圖3（b）中的最大誤差為4.95 mm，圖3（e）中的最大誤差為3.53 mm。如圖3（f）所示ASMC的追蹤軌跡在y方向上的誤差曲線，比圖3（c）所示的NNC的追蹤軌跡在y方向上的誤差曲線更為平穩(wěn)，波動次數(shù)更少。圖3（f）中的最大誤差為3.51 mm，圖3（c）中的最大誤差為4.93 mm。由此說明ASMC比NNC對復(fù)雜預(yù)設(shè)軌跡的追蹤效果更好，能夠較好地減少追蹤過程產(chǎn)生的誤差。表明ASMC可以對3-RPR冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的運動軌跡進行較為準確的控制，而且控制過程較為平穩(wěn)。

圖3 NNC和ASMC對復(fù)雜預(yù)設(shè)軌跡追蹤結(jié)果Fig.3 Tracking results of complex preset trajectory by NNC and ASMC

4 結(jié)語

本文通過具有移動副和轉(zhuǎn)動副的3條支鏈設(shè)計了一種3-RPR冗余驅(qū)動并聯(lián)結(jié)構(gòu)。對該并聯(lián)機構(gòu)中的關(guān)節(jié)點和驅(qū)動機構(gòu)的位置向量進行了計算，求取了其各自對應(yīng)的速度方程。利用并聯(lián)機構(gòu)的同步誤差，建立了滑膜面的計算方程，通過該方程求取了參考速度與加速度，進而構(gòu)造了自適應(yīng)滑模控制器。通過利用自適應(yīng)滑?？刂破鲗︻A(yù)設(shè)軌跡進行追蹤的結(jié)果顯示，自適應(yīng)滑?？刂破鲗唵魏蛷?fù)雜預(yù)設(shè)軌跡的追蹤效果都較好，說明自適應(yīng)滑?？刂破骶哂袑?-RPR冗余驅(qū)動并聯(lián)結(jié)構(gòu)較好的控制特性。