蔡 鑫，劉 威，沈新普，張 璋

(中國石油大學 石油工程學院，山東 青島 266580)

裂縫性儲層的滲透能力主要取決于裂縫的連通性和導流能力.相較于常規(guī)儲層，裂縫性儲層表現(xiàn)出更強的應力敏感性.因此，需要在進行儲層數(shù)值模擬的同時考慮地質力學因素對裂縫的影響.

由于裂縫的存在，裂縫性儲層巖石的性質十分復雜[1].常規(guī)油藏數(shù)值模擬中，通常采用雙重孔隙模型來計算裂縫性儲層中流體的流動.模型中儲層可以分為兩個部分，基質系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng).基質系統(tǒng)滲透率低，但是孔隙度高，主要起儲集作用；裂縫系統(tǒng)滲透率高，但孔隙度低，幾乎沒有儲集效果，只提供滲流通道.許多學者基于Biot孔隙介質彈性理論，利用雙重孔隙介質模型進行流固耦合計算.例如，房平亮等[2]建立了基質和裂縫變形的流固耦合數(shù)學模型；Wang等[3]采用離散裂縫模型和雙重介質模型相結合的方法研究了壓裂后的縫網(wǎng)變化；Luo等[4]建立了平行裂縫巖石的本構方程，以基質孔隙度為耦合參數(shù)進行了裂縫性油藏數(shù)值模擬；Wang[5]推導了全耦合的雙重孔隙介質模型，并利用有限元方法進行了求解.

目前，油藏數(shù)值模擬中通常采用離散化裂縫模型(DFM)處理裂縫，DFM具有網(wǎng)格精細的特點，適用于模擬復雜的多組分流體[6].由于DFM需要大量的網(wǎng)格加密，影響建模和模擬的速度，很難應用于裂縫發(fā)育的油田研究.在連續(xù)損傷力學中，采用損傷變量來描述裂縫對材料的影響[7].由于連續(xù)損傷力學將裂縫網(wǎng)絡分布轉化為損傷場分布，計算效率得到保障，同時可以考慮裂縫擴展過程，因此，適用于裂縫發(fā)育和復雜應力區(qū)塊[8].目前，連續(xù)損傷力學理論已經(jīng)逐漸被應用于石油工程行業(yè)，用于計算地層巖石中裂縫的萌生和擴展[9].

本文采用塑性損傷有限元方法計算裂縫變形，結合雙重孔隙介質模型，建立適用于裂縫性儲層的流固耦合油藏數(shù)值模擬方法.采用迭代耦合方法進行數(shù)值求解，以裂縫滲透率為耦合參數(shù)，建立損傷變量與裂縫滲透率的數(shù)學表達式，模擬裂縫性儲層注采過程，研究裂縫變形對裂縫性儲層生產(chǎn)動態(tài)的影響，為油田高效開采提供理論支撐.

1 塑性損傷本構模型

本文采用塑性連續(xù)損傷模型[10]，該模型適用于準脆性材料，例如巖石和混凝土材料在單調、循環(huán)或動載荷作用下的力學行為分析.

1.1 單軸受力行為

損傷的出現(xiàn)和演化會導致材料剛度退化，單軸拉壓作用下的應力應變關系可分別表示為

(1)

(2)

塑性損傷模型的損傷演化機理分為兩個部分：拉力作用下的開裂和壓力作用下的壓潰.塑性加載的演化由兩個獨立的硬化變量描述：拉力加載引起的等效塑性拉應變和壓力加載引起的等效塑性壓應變.對于單軸拉伸行為，如圖1所示，在拉應力達到峰值之前材料表現(xiàn)出線彈性.當拉應力超過峰值后，材料中產(chǎn)生微裂縫，損傷出現(xiàn)，材料出現(xiàn)“軟化”現(xiàn)象，最終導致應變集中.對于單軸壓縮行為，如圖2所示，與拉伸行為不同的是，在壓應力達到峰值前為應變硬化階段，超過峰值后為應變軟化階段，材料中出現(xiàn)應變集中.

圖1 單軸受拉示意圖Fig.1 Schematic uniaxial tension

圖2 單軸受壓示意圖Fig.2 Schematic uniaxial compression

1.2 單軸循環(huán)載荷

材料在循環(huán)載荷作用下(如地層巖石在生產(chǎn)或注水過程中)，微裂縫的張開和閉合會導致材料具有明顯的非線性行為.材料損傷后的彈性模量E與完整無損材料彈性模量E0的關系為

E=(1-D)E0

(3)

式中，D為綜合損傷因子，為拉伸損傷dt和壓縮損傷dc的函數(shù)，其表達式為

1-D=(1-stdt)(1-scdc)

(4)

其中，st和sc為應力狀態(tài)函數(shù)，其表達式為

st=1-wtr*(σ) (0≤wt≤1)

(5)

sc=1-wc(1-r*(σ)) (0≤wc≤1)

(6)

(7)

其中，wt和wc為剛度恢復因子.

1.3 流動法則

模型采用非關聯(lián)的塑性流動法則，塑性勢函數(shù)取為Drucker-Prager雙曲函數(shù)形式，即

(8)

式中：ψ為膨脹角；σm為單軸抗拉強度；ξ為勢函數(shù)偏心率，用于描述勢函數(shù)向其漸近線逼近的速度，一般取值為0.1；ps為有效靜水壓力；a為Mises等效應力.

1.4 損傷與裂縫

(9)

(10)

式中：u為裂縫開度；λ為損傷區(qū)域寬度因子；lc為材料特征長度；Bt為材料參數(shù)；Kf為裂縫滲透率.

2 雙重孔隙介質流體流動方程

本文給出雙重孔隙介質油水兩項流動方程，基本假設如下：1)裂縫系統(tǒng)和基質系統(tǒng)皆由油相和水相飽和，兩個系統(tǒng)互相重疊且有各自的連續(xù)性方程；2)油相和水相在裂縫和基質系統(tǒng)中的流動遵循達西定律；3)裂縫系統(tǒng)與基質系統(tǒng)之間竄流交換受壓力差控制.

由于本文重點關注裂縫變化對流體流動的影響，因此，忽略固體相運移對達西定律的影響.裂縫系統(tǒng)和基質系統(tǒng)的連續(xù)性方程為

(11)

(12)

Sw+So=1

(13)

式中：Sw為水相飽和度；So為油相飽和度.

3 雙重孔隙模型有效應力方程

對于雙重孔隙介質模型，存在基質孔隙壓力和裂縫孔隙壓力，引入Biot耦合系數(shù)，有效應力方程為

(14)

式中：σe為地層有效應力；βm和βf分別為基質和裂縫系統(tǒng)的有效壓力系數(shù)；δ為克羅內克函數(shù).

對于巖石材料，裂縫可以看做一個較大的孔隙，基質孔隙壓力和裂縫孔隙壓力對地層變形有相同的影響，因此，式(14)可近似為

(15)

4 流固耦合數(shù)值模擬結果和分析

為了研究裂縫變形對油藏生產(chǎn)的影響，本文以Kazemi經(jīng)典雙重孔隙油藏模型數(shù)據(jù)為例，對一注一采裂縫性儲層開發(fā)過程中的儲層壓力、裂縫物性等變化規(guī)律進行了數(shù)值模擬.模型主要參數(shù)為：地層尺寸為182 m×182 m×9.14 m，地層頂深3 000 m，初始孔隙壓力為29.4 MPa，地層垂向應力為46.7 MPa，地層水平最大最小主應力均為32.7 MPa.儲層裂縫滲透率從10 μm2改為0.2 μm2，裂縫滲透率從1%改為0.14%.地層中包含三組裂縫，具體數(shù)據(jù)如表1所示.儲層邊角處有一口注入井，注水量為30 m3/d，同時在注入井對角處有一口生產(chǎn)井，產(chǎn)液量為32 m3/d.

表1 地層裂縫參數(shù)Tab.1 Fracture parameters for stratum

裂縫性儲層的初始損傷為0.1，儲層巖石彈性模量為26 GPa，泊松比為0.16，特征長度為0.02 m，λ為2，Bt為900.根據(jù)式(10)得到損傷與地層裂縫滲透率關系曲線，如圖3所示.可以看出當損傷因子小于0.05時，巖石中只存在彌散的微裂縫，裂縫滲透率變化較小.當損傷因子超過0.05時，微裂縫逐漸聚集成宏觀裂縫，裂縫滲透率急劇增加.

圖3 損傷與裂縫滲透率關系Fig.3 Relationship between damage and fracture permeability

采用有限元軟件ABAQUS計算塑性損傷模型，采用有限差分軟件CMG計算油藏滲流模型.迭代耦合計算過程中，滲流模型的求解領先損傷模型一個時間步，求解步驟為：首先求解滲流模型，獲得當前時間步的壓力和飽和度等滲流參數(shù)；根據(jù)壓力和飽和度計算地層應力分布；求解損傷模型，獲得損傷因子分布；根據(jù)損傷因子獲得新的裂縫滲透率，求解下一時間步的滲流動態(tài)，直至結束.

儲層生產(chǎn)初期(第100 d)時地層中損傷因子分布如圖4所示.藍色區(qū)域邊角處為注入井位置，對角處紅色區(qū)域頂點處為生產(chǎn)井位置，可以看出生產(chǎn)初期生產(chǎn)井周圍地層的損傷因子下降，但注入井周圍的損傷因子稍微上漲，這是由于注水引起局部地層壓力增加，導致地層裂縫張開，損傷上升.隨著生產(chǎn)時間的增加，地層中流體不斷被采出，地層孔隙壓力逐漸減小，有效應力增加，整個地層的損傷因子都在下降，損傷因子分布如圖5、6所示.

圖4 100 d時損傷因子分布Fig.4 Distribution of damage factor for 100 d

注入井與生產(chǎn)井處的損傷因子和裂縫滲透率變化如圖7所示.由于注水減緩了注入井周圍地層壓力下降的趨勢，裂縫閉合程度減小，因此，注入井周圍的損傷和裂縫閉合程度都低于生產(chǎn)井，生產(chǎn)初期裂縫變化趨勢較為緩慢，隨著時間的增加，裂縫閉合幅度增加.

圖5 400 d時損傷因子分布Fig.5 Distribution of damage factor for 400 d

圖6 700 d時損傷因子分布Fig.6 Distribution of damage factor for 700 d

圖7 注入井和生產(chǎn)井周圍損傷與裂縫滲透率Fig.7 Damage and fracture permeability around injection and production wells

為了研究地層裂縫變化對儲層生產(chǎn)動態(tài)的影響，圖8給出了由不考慮裂縫變化的常規(guī)模擬方法和考慮流固耦合裂縫變化的耦合模擬方法獲得的儲層壓力分布.生產(chǎn)初期(100 d)儲層整體壓力基本相同.隨著開采進行，裂縫滲透率降低增大了地層的壓力梯度，常規(guī)模擬和耦合模擬計算得到的地層壓力出現(xiàn)明顯差異.注入井周圍地層壓力比生產(chǎn)井周圍地層壓力大，裂縫滲透率減小幅度低，導致生產(chǎn)井周圍壓降幅度大于注入井.

圖9對比了常規(guī)模擬和耦合模擬的日產(chǎn)油量和累計產(chǎn)油總量.生產(chǎn)初期，日產(chǎn)量相差不多，隨著生產(chǎn)進行，裂縫閉合，滲透率降低，增加了地層中流體流動的阻力，耦合模擬得到的日產(chǎn)油量下降趨勢逐漸增加，累計產(chǎn)油總量明顯降低.700 d后，生產(chǎn)井日產(chǎn)量耦合模擬下降65%，常規(guī)模擬只下降54%，累計產(chǎn)量耦合模擬只有常規(guī)模擬的78%.因此，裂縫閉合是導致裂縫性儲層產(chǎn)量下降的重要因素.常規(guī)的油藏數(shù)值模擬方法會明顯高估裂縫性儲層的生產(chǎn)能力，在裂縫性儲層數(shù)值模擬時，應考慮裂縫滲透率變化對產(chǎn)量的影響.

圖8 儲層壓力分布Fig.8 Pressure distribution of reservoir

圖9 裂縫性儲層產(chǎn)量Fig.9 Oil yield of fractured reservoir

5 結 論

本文采用塑性損傷模型，結合雙重孔隙介質模型建立了裂縫性儲層流固耦合數(shù)值模擬方法.使用損傷變量從數(shù)學上表征儲層裂縫的滲透率，并利用迭代耦合方法計算流體滲流與巖石變形的耦合行為，模擬了裂縫性儲層注采過程中的損傷演化和裂縫變形，研究了裂縫變化對油田生產(chǎn)動態(tài)的影響.模擬結果表明，油田開采過程中，地層裂縫逐漸閉合，滲透率降低，生產(chǎn)井附近裂縫滲透率降低程度大于注入井.裂縫滲透率降低對裂縫性儲層生產(chǎn)具有負面影響，且是導致裂縫性儲層產(chǎn)量下降的重要因素.不考慮裂縫變化的常規(guī)油藏數(shù)值模擬會高估油田生產(chǎn)能力，因此，裂縫性儲層數(shù)值模擬時應考慮裂縫變化對產(chǎn)量的影響.