馬苓涓，張?zhí)?，李志?/p>

(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710064)

傳染病的流行與爆發(fā)，是當(dāng)今人類(lèi)社會(huì)面臨的重大挑戰(zhàn)之一。在人類(lèi)文明史上，傳染病曾經(jīng)帶來(lái)過(guò)巨大的災(zāi)難。在近現(xiàn)代，也給人類(lèi)生命和財(cái)產(chǎn)造成了無(wú)可挽回的損失[1]。為了更好地預(yù)防和控制傳染病，學(xué)者們通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型對(duì)傳染病進(jìn)行研究。

目前研究表明，有些傳染病，需要對(duì)感染疾病的個(gè)體進(jìn)行隔離治療，因此具有隔離策略的傳染病模型受到廣泛關(guān)注。Joshi等[2]分析了一個(gè)飽和發(fā)病率與檢疫隔離相結(jié)合的SIQR傳染病模型，給出了模型的閾值，平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性。在文獻(xiàn)[3-5]中，作者研究了具有非線(xiàn)性傳染率的SIQ傳染病模型，并證明了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的。另一方面，學(xué)者也研究了具有隨機(jī)擾動(dòng)的傳染病模型。Yang等[7]考慮了隨機(jī)SIR及SEIR傳染病模型解的全局正性，并得到了關(guān)于相應(yīng)的確定性系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)及地方病平衡點(diǎn)的漸近行為。武麗鳳等[8]研究了具有比率依賴(lài)的食餌-捕食隨機(jī)模型，分析了系統(tǒng)趨于滅絕及平均持久的條件。因此，從上述研究中可以看出，具有隔離策略的隨機(jī)傳染病模型是一個(gè)仍要解決的問(wèn)題。

May[10]曾指出：當(dāng)考慮到環(huán)境的噪音時(shí)，模型的參數(shù)將會(huì)展現(xiàn)出隨機(jī)擾動(dòng)。在文獻(xiàn)[6-7,9]的基礎(chǔ)上，我們建立以下一類(lèi)隨機(jī)SIQR傳染病模型：

(1)

上式模型(1)對(duì)應(yīng)的確定性模型如下：

(2)

本文研究?jī)?nèi)容安排如下：第一節(jié)，給出隨機(jī)模型(1)正解的全局存在唯一性。第二節(jié)，討論隨機(jī)模型(1)的解在無(wú)病平衡點(diǎn)的擾動(dòng)行為。第三節(jié)，研究疾病的滅絕性。第四節(jié)，給出隨機(jī)模型(1)的解在地方病平衡點(diǎn)存在唯一的平穩(wěn)分布的充分條件。第五節(jié)，數(shù)值模擬顯示了模型的動(dòng)力學(xué)形態(tài)。最后，對(duì)文章進(jìn)行了總結(jié)。

1 全局正解的存在唯一性

首先，我們需要給出模型的適定性，本節(jié)通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖iapunov函數(shù)并利用停時(shí)理論來(lái)證明隨機(jī)模型(1)正解的全局存在唯一性。

τn=inf{t∈[(0,τe):S(t)≥n;I(t)≥n;Q(t)≥n;R(t)≥n}

定義以下Liapunov函數(shù)

V(S,I,Q,R)=S+I+Q+R

由伊藤公式[11]得

dV(S,I,Q,R)=LVdt+σ1SdB1(t)+σ2IdB2(t)+σ3QdB3(t)+σ4RdB4(t)≤
Adt+σ1SdB1(t)+σ2IdB2(t)+σ3QdB3(t)+σ4RdB4(t)

(3)

其中

LV(S,I,Q,R)=A-dS-(d+p1)I-(d+p2)Q-dR

對(duì)于任意的n≥n0，存在常數(shù)T≥0使得τn∈(0,τn∧T)?，F(xiàn)對(duì)(3)兩端從0到τn∧T積分并求期望可得

EV(S(τn∧T),I(τn∧T),Q(τn∧T),R(τn∧T))≤V(S(0),I(0),Q(0),R(0))+AT

這就說(shuō)明在[0,∞)內(nèi)(S(t),I(t),Q(t),R(t))以概率1在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生爆破。

2 無(wú)病平衡點(diǎn)E0的漸近行為

其中

證明定義如下的Liapunov函數(shù)：

V(S,I,Q,R)=V1+c1V2+V3+c2V4+c3V5

(4)

其中

(5)

根據(jù)伊藤公式得

(6)

由式(4)～式(6)可得

其中

r+δ+2d+p1-c1k=0，c1(r+δ+d+p1)(1-R0)-c2δ-c3r=0，c2(ε+d+p2)-c3ε=0

則有

由上式可以得出

(7)

對(duì)式(7)兩端從0到t積分并求期望得

上式兩端同時(shí)除以t，再令t→∞可得

證畢。

根據(jù)定理2知，在滿(mǎn)足某些條件下，證明了隨機(jī)模型(1)的解將在確定性模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0附近振蕩，并且擾動(dòng)強(qiáng)度與σi(i=1,2,3,4,5)有關(guān)。

3 隨機(jī)滅絕性

在傳染病模型中，更關(guān)心的是在什么情況下疾病會(huì)滅絕，本節(jié)指出當(dāng)外界干擾強(qiáng)度較大時(shí)能導(dǎo)致疾病滅絕，即大噪聲能導(dǎo)致疾病滅絕。

(8)

更多的有

(9)

和

(10)

證明由模型(1)可以得到

d(S+I+Q+R)=[A-d(S+I+Q+R)-p1I-p2Q]dt+σ1SdB1+σ2IdB2+σ3QdB3+σ4RdB4

(11)

對(duì)式(11)兩端分別從0到t積分得

(12)

其中

令

于是

(13)

由鞅的強(qiáng)大數(shù)定律[11]和式(13)得

由(8)可得

其中

這里

b=ε(δ+r+d+p1)，c=(ε+d+p2)(r+d+δ+p1)

證明令W(t)=aI(t)+bQ(t)+cR(t)，利用伊藤公式得

(14)

即推出

(15)

另一方面，有(11)可以得到

相當(dāng)于

(16)

其中

由式(9)和式(10)得

(17)

更多地由式(15)，式(16)和式(17)可以得到

證畢。

4 地方病平衡點(diǎn)E*的附近的平穩(wěn)分布

引理5[13]Markov過(guò)程X(t)存在遍歷的平穩(wěn)分布π(·)。如果存在具有正則邊界?U的有界集合U?Rd滿(mǎn)足如下性質(zhì)：

A1：存在鄰域U及其某鄰域，擴(kuò)散矩陣A(x)的最小特征值是非零的；

bi>0(i=1,2,3,4)，B

成立，則模型(1)存在遍歷的平穩(wěn)分布[16]。

其中

證明為了證明定理6，我們需要滿(mǎn)足引理5中的條件A1和A2，接下來(lái)，先證明A1。當(dāng)R0>1時(shí)，模型(2)存在唯一的地方性平衡點(diǎn)E*=(S*,I,*Q*,R*)，且滿(mǎn)足

則模型(1)在地方病平衡點(diǎn)(S*,I*,Q*,R*)的擴(kuò)散矩陣為

條件A1已經(jīng)滿(mǎn)足.接下來(lái)證明條件A2，定義Liapunov函數(shù)

(18)

其中

(19)

根據(jù)伊藤公式以及2ab≤a2+b2得

(20)

由式(18)～式(20)得

LV≤-b1(S-S*)2-b2(I-I*)2-b3(Q-Q*)2-b4(R-R*)2+B

因此，橢球

b1(S-S*)2+b2(I-I*)2+b3(Q-Q*)2+b4(R-R*)2=B

LV(S,I,Q,R)<0

證畢。

因此，引理5的條件已經(jīng)滿(mǎn)足，我們也可以得到模型(2)的正解在地方病平衡點(diǎn)E*附近存在一個(gè)遍歷平穩(wěn)分布。

5 數(shù)值模擬

本節(jié)我們利用計(jì)算機(jī)模擬出確定性模型和隨機(jī)模型中染病者的曲線(xiàn)，來(lái)說(shuō)明噪聲對(duì)確定性模型的影響。

(1)選取初值(S(0),I(0),Q(0),R(0))=(0.5,0.2,0.1,0.1)，參數(shù)：A=0.5，k=0.3，d=0.2，α=0.2，r=0.3，δ=0.3，p1=0.3，ε=0.2，p2=0.25，σ1=0.8，σ2=0.5，σ3=0.5，σ4=0.5，σ5=0.6，此時(shí)R0=0.7467<1，并且滿(mǎn)足定理2的條件，則模擬結(jié)果如圖1所示。由圖可知，當(dāng)隨機(jī)干擾的強(qiáng)度較大時(shí)，系統(tǒng)(1)的解總是在無(wú)病平衡點(diǎn)處振動(dòng)，這表明疾病會(huì)消亡。

(2)選取初值(S(0),I(0),Q(0),R(0))=(2,1.8,1.3,1.2)，參數(shù)：A=2.5，k=0.4，d=0.3，α=0.1，r=0.2，δ=0.2，p1=0.3，ε=0.2，p2=0.2，σ1=0.01，σ2=0.01，σ3=0.01，σ4=0.01，σ5=0.01，此時(shí)R0=3.333 3>1，并且滿(mǎn)足定理6的條件，則數(shù)值模擬如圖2所示。由圖可知，當(dāng)隨機(jī)干擾的強(qiáng)度較小時(shí)，系統(tǒng)(1)的正解在地方病平衡點(diǎn)存在一個(gè)平穩(wěn)分布，這表明疾病會(huì)一直存在。

6 結(jié)論

由于現(xiàn)實(shí)世界中的大多數(shù)問(wèn)題都是不確定性的，將隨機(jī)效應(yīng)引入到模型(2)中，為傳染病模型的建模提供了一種更為現(xiàn)實(shí)的方法。

我們的工作為隨機(jī)微分方程為傳染病動(dòng)力學(xué)建模提供了另一種見(jiàn)解，它顯示了對(duì)這個(gè)特殊問(wèn)題的不同看法。特別地，我們得到了隨機(jī)系統(tǒng)的遍歷性。因此，接下來(lái)可以進(jìn)一步考慮隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。