陳惠敏, 馮永平

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

0 引 言

隨著熱壓電材料在生活中的廣泛應(yīng)用,人們對此類材料的熱-力-電行為也產(chǎn)生了濃厚的興趣.早在1974年,Midnlin[1]就第一次提出了熱-力-電的三維線性控制方程,并分析了解的一些屬性；Nowacki[2]給出了有關(guān)熱壓電材料的一般理論和數(shù)學(xué)模型,這些結(jié)論已經(jīng)被各種數(shù)值方法當(dāng)做基礎(chǔ)進(jìn)行分析與驗證.基于上述已得到的理論,Ashida等[3]運用勢函數(shù)方法求解了熱壓電材料的三維軸對稱問題.由于材料的復(fù)雜性,這類結(jié)構(gòu)一般具有某種小周期性,但對小周期區(qū)域內(nèi)新型熱電材料導(dǎo)效性能研究的文獻(xiàn)甚少.本文基于上述理論,利用雙尺度方法探討具有小周期結(jié)構(gòu)的熱-力-電耦合問題的雙尺度漸近解.

目前,利用雙尺度方法解決小周期區(qū)域內(nèi)具有震蕩系數(shù)的數(shù)學(xué)問題已有了越來越廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[4]利用雙尺度方法分析具有小周期條件熱彈性耦合問題的二維線性控制方程；文獻(xiàn)[5]主要利用雙尺度方法對具有小周期孔洞結(jié)構(gòu)區(qū)域中的壓電耦合問題分析了均勻化力學(xué)、介電常數(shù)的正則性；宋士倉和王自強等[6-7]利用雙尺度方法探討穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)條件下小周期復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)問題,得到具有震蕩系數(shù)的拋物型方程的漸近展開式,并分析其收斂性;文獻(xiàn)[8]利用雙尺度方法解決小周期孔洞區(qū)域中帶阻尼項橢圓方程；文獻(xiàn)[9]利用雙尺度方法研究了一類化-力耦合問題等.

由于熱壓電材料局部分布的不同,結(jié)構(gòu)并不是絕對均勻化分布的,存在多尺度的跨度與效應(yīng)問題,并且因為材料局部具有很強的震蕩性,數(shù)學(xué)上要得到熱-力-電耦合問題的精確解是比較困難的.因此,利用雙尺度方法討論其近似解有一定的可行性,本文主要研究具有小周期結(jié)構(gòu)、并且滿足狄利克雷邊界條件的熱-力-電耦合問題.數(shù)學(xué)上,周期性區(qū)域中的熱-力-電耦合問題可由以下偏微分方程邊值問題表述[10].

(1)

其中：

(3)Ω是滿足Lipschitz邊界條件的有界周期閉區(qū)域；

考慮如下的偏微分方程組[4]：

(2)

注1 當(dāng)aijhk(ξ),kij(ξ)滿足一致橢圓條件與正定條件時,易證上述問題存在唯一解(相差一個常數(shù)),即

其中,{ηih}是任意實對稱矩陣,1,2是與ε無關(guān)且大于0的常數(shù).

同樣地,元素kij(ξ)是有界可測函數(shù),并滿足：

其中,{ηi}是任意實向量,1,2是與ε無關(guān)且大于0的常數(shù).

本文利用文獻(xiàn)[4-5]等相關(guān)定理與方法得到此條件下該方程的均勻化方程和均勻化常數(shù),并討論高階雙尺度近似解與二階雙尺度近似解的誤差估計.

將方程組(1)轉(zhuǎn)換成以下兩個方程組：

(3)

(4)

1 Τε(x),uε(x),φε(x)的雙尺度漸近展開

首先探討Τε(x),uε(x),φε(x)如下的形式漸近展開式：

(5)

(6)

(7)

將式(5)代入方程(3)中,通過計算、整理,比較兩端ε的同次冪系數(shù),分析ε-1的對應(yīng)系數(shù),可以得到：

(8)

Q是小周期單胞區(qū)域.

比較等式兩邊關(guān)于ε0的對應(yīng)系數(shù),可以得到：

上面等式兩邊在Q上關(guān)于ξ作積分,得到：

因此,T0(x)為方程組(3)的均勻化解,由下面的方程定解：

(9)

(10)

由關(guān)于ε0的對應(yīng)系數(shù)可知標(biāo)量函數(shù)Hα1α2(ξ)可通過下面單胞問題定解：

(11)

比較等式兩邊關(guān)于ε1的對應(yīng)系數(shù),可以得到如下確定單胞函數(shù)的方程：

(12)

注3 上式(8)、(11)和(12)中邊界條件也可以利用周期邊界條件,當(dāng)小周期系數(shù)滿足某種對稱性時,可證明不同邊界定義的周期單胞函數(shù)僅相差一個常數(shù).

類似地,將式(5)、(6)和(7)代入方程組(4)中,通過計算、整理,比較兩端ε的同次冪系數(shù),分析ε-1的對應(yīng)系數(shù),可以得到如下幾個確定單胞函數(shù)的方程組：

(13)

(14)

(15)

比較等式兩邊關(guān)于ε0的對應(yīng)系數(shù),可以得到：

eα1mα2(ξ)+eα2jk(ξ)εjk(Mα1m(ξ))-

上面等式兩邊在Q上關(guān)于ξ作積分,得到：

因此,u0(x)和φ0(x)是方程組(4)的均勻化解,其由下面的方程組定解：

(16)

(17)

(Eα1α2m(ξ),Mα1α2m(ξ)),(Fα1α2(ξ),Nα1α2(ξ))和(Gα1(ξ),Pα1(ξ))可分別通過下面單胞問題定解：

(18)

(19)

(20)

比較等式兩邊關(guān)于ε1的對應(yīng)系數(shù),可以得到如下幾個確定單胞函數(shù)的方程組：

(21)

(22)

(23)

注4 由Korn不等式及Lax-Milgram引理可知方程組 (13)、(14)、(15)、(18)、(19)、(20)、(21)、(22)和(23)存在唯一弱解.

綜上,有下面定理.

定理1 假設(shè)f,ρ,g,u0,T0,φ0在Ω內(nèi)足夠光滑,則

(i)方程組(1)有(5)、(6)和(7)的形式漸近展開式;

(ii)當(dāng) <α>=1時，單胞函數(shù)Hα1(ξ),(Eα1m(ξ),Mα1m(ξ)),(Fα1(ξ),Nα1(ξ)),(G0(ξ),P0(ξ))分別由式(8)、(13)、(14)和(15)定解;

(iii)均勻化解T0,(u0,φ0)分別由式(9)、(16)定解;

(v)當(dāng) <α>=2時，單胞函數(shù)Hα1α2(ξ),(Eα1α2m(ξ),Mα1α2m(ξ)),(Fα1α2(ξ),Nα1α2(ξ)),(Gα1(ξ),Pα1(ξ))分別由式(11)、(18)、(19)和(20)定解;

(vi)當(dāng) <α>=3時,單胞函數(shù)Hα1α2α3(ξ),(Eα1α2α3m(ξ),Mα1α2α3m(ξ)),(Fα1α2α3(ξ),Nα1α2α3(ξ)),(Gα1α2(ξ),Pα1α2(ξ))分別由式(12)、(21)、(22)和(23)定解.

2 漸近誤差估計

在實際計算中,通常運用下面的近似計算公式.

o(ε2),x∈Ω,

對以上二階近似解,有下面的漸近誤差估計.

定理2 設(shè)Tε(x)是方程(3)的弱解,假設(shè)T0(x)∈H4(Ω),ρ(x)∈H2(Ω),那么有

其中,C是與ε、T0(x)和ρ(x)無關(guān)的正常數(shù).

定理3 設(shè)uε(x)、φε(x)和Tε(x)是方程組(4)的弱解,假設(shè)u0(x)∈H4(Ω)，φ0(x)∈H4(Ω)，T0(x)∈H4(Ω),ρ(x)∈H2(Ω),f(x)∈H2(Ω),g(x)∈H2(Ω),那么有

注5 上述兩個定理可以運用變分方法與偏微分方程的正則性理論給出證明,限于篇幅限制,其證明過程另文討論.

3 小 結(jié)

在實際問題中,想得到此類熱-力-電耦合問題的解析解是很困難的,因此,只能通過近似解去逼近它.本文主要研究此類問題的雙尺度漸近分析,給出了方程中Tε,uε和φε的雙尺度漸近展開式,從而得出方程的均勻化解和均勻化方程.基于構(gòu)造的高階雙尺度漸近展開式,分析了二階雙尺度漸近解的誤差,改進(jìn)了已有結(jié)果,為進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)值模擬提供了理論基礎(chǔ).

對其他更一般區(qū)域內(nèi)的熱-力-電耦合問題，可以利用相似的雙尺度匹配邊界層的方法進(jìn)行方程解的漸近性能分析.