況中華 何光輝 李鑫奎
上海建工集團(tuán)股份有限公司 上海 200080
近年來,基于實(shí)測振動數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)損傷識別方法被廣泛用于建筑工程結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)的評估。評估建筑結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)不僅有助于舊結(jié)構(gòu)的維修加固,同時也可應(yīng)用于新建結(jié)構(gòu)施工期間的安全狀態(tài)診斷,不但有利于提高建筑結(jié)構(gòu)的使用壽命,還可為結(jié)構(gòu)施工提供安全保障。
從結(jié)構(gòu)振動方程中可得,振動是關(guān)于結(jié)構(gòu)三大系統(tǒng)參數(shù)(質(zhì)量、剛度、阻尼)的動力系統(tǒng),結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)參數(shù)決定了結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài),同時也可從結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài)推算出結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)參數(shù)。結(jié)構(gòu)在使用期間的質(zhì)量可認(rèn)定為基本不發(fā)生變化,而結(jié)構(gòu)的阻尼可通過質(zhì)量及剛度計算得出,而當(dāng)結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生損傷時(裂縫、彈模變化),最為直接的表現(xiàn)即為結(jié)構(gòu)剛度降低。因此,大多數(shù)結(jié)構(gòu)損傷識別都是將結(jié)構(gòu)剛度作為識別參數(shù)進(jìn)行計算,通過結(jié)構(gòu)剛度的變化程度或損傷后剛度與損傷前剛度的比值來評估結(jié)構(gòu)的安全性。
本文將剛度差值比α作為結(jié)構(gòu)的剛度損傷系數(shù),以表達(dá)結(jié)構(gòu)的剛度變化程度,并建立結(jié)構(gòu)的損傷剛度矩陣,將損傷剛度矩陣納入結(jié)構(gòu)的振動方程中,同時聯(lián)合未損傷和損傷結(jié)構(gòu)的振動方程進(jìn)行求解,最終獲取結(jié)構(gòu)各單元的剛度差值比α,以此確定結(jié)構(gòu)各位置的損傷情況,評估結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)。
考慮結(jié)構(gòu)阻尼影響的多自由度體系的運(yùn)動方程[1]如式(1)所示:
式中:M——質(zhì)量矩陣;
C——阻尼矩陣;
K——剛度矩陣;
P(t)——t時刻的外部荷載矩陣;
Ut——t時刻的位移矩陣;
求解振動方程的關(guān)鍵是建立結(jié)構(gòu)整體的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣,可利用有限元方法將結(jié)構(gòu)劃分為多個單元進(jìn)行計算,將結(jié)構(gòu)整體參數(shù)矩陣計算轉(zhuǎn)化成計算1個單元的質(zhì)量、阻尼、剛度。
當(dāng)僅考慮平面橫向位移問題時,單元節(jié)點(diǎn)僅有豎向位移和轉(zhuǎn)動2個自由度,單元的位移函數(shù)可用三次Hermite多項(xiàng)式表示,如式(2)所示:
在式(2)中,部分參數(shù)如式(3)~式(6)所示:
其中,V(x)為單元的位移函數(shù),V1、V3為單元節(jié)點(diǎn)1、2的豎向位移,V2、V4為單元節(jié)點(diǎn)1、2的轉(zhuǎn)角。
單元在節(jié)點(diǎn)1處發(fā)生單位轉(zhuǎn)角θ1時,節(jié)點(diǎn)1處產(chǎn)生的豎向力即為單元的剛度系數(shù)k13,依據(jù)虛功原理可得式(7):
同理可得,單元的任意剛度系數(shù)表示為式(8):
同理可得,單元的任意質(zhì)量系數(shù)表示為式(9):
上式中,E為彈性模量,I(x)為單元截面慣性矩沿單元長度的分布,m(x)為單元質(zhì)量沿單元長度的分布,、分別為φi(x)的一、二階導(dǎo)數(shù)。
最終可得結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量、剛度矩陣如式(10)、式(11)所示。
結(jié)構(gòu)阻尼采用Rayleigh阻尼[2],利用質(zhì)量矩陣和剛度矩陣表示,如式(12)所示:
在式(12)中,a0、a1分別由式(13)、式(14)定義:
其中,wi、wj為結(jié)構(gòu)的2個自振頻率,ξi、ξj為對應(yīng)的振弦阻尼比。
結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷的主要表現(xiàn)是結(jié)構(gòu)單元剛度的減小,因此,引入剛度增量ΔK來描述結(jié)構(gòu)的損傷。損傷結(jié)構(gòu)的損傷剛度矩陣Ks可描述為原始結(jié)構(gòu)(未損傷結(jié)構(gòu))的剛度矩陣K加上剛度增量矩陣ΔK,即Ks=K+ΔK,ΔK一般為負(fù)值。
將結(jié)構(gòu)損傷剛度矩陣Ks代入式(1),可得損傷結(jié)構(gòu)的振動方程:
將原始結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)的振動方程進(jìn)行聯(lián)合求解,即合并式(1)和式(15):
結(jié)構(gòu)的單元剛度損傷系數(shù)可用剛度差值比α來表示,即單元n的剛度增量,以平面橫向位移問題為例,參照式(11),ΔKUst可表示為式(18):
對上述剛度增量矩陣ΔK〔式(18)〕進(jìn)行列變換,將同一個單元的列元素相加于同一列,可得式(19):
kn——單元n的剛度矩陣;
αn——單元n的剛度損傷系數(shù)(剛度差值比);
α——結(jié)構(gòu)損傷系數(shù)矩陣。
將式(19)代入式(17)求解,可得結(jié)構(gòu)損傷系數(shù)矩陣α:
以一個雙跨混凝土連續(xù)梁為計算案例,驗(yàn)證上述求解結(jié)構(gòu)單元損傷系數(shù)的方法。雙跨混凝土連續(xù)梁跨徑5 m,采用鉸接邊界,梁截面為400 mm×200 mm矩形截面,彈性模量E=3.45×104MPa,密度ρ=260 kg/m3,在距離端部2 m位置作用一個豎向正弦動荷載P(t)=1×104×sin (6πt),結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。
圖1 雙跨混凝土連續(xù)梁結(jié)構(gòu)簡圖
計算時將雙跨混凝土連續(xù)梁等分成10個單元,11個節(jié)點(diǎn),單元長度1 m。假定3號單元的剛度損傷系數(shù)α3=-0.8,8號單元的剛度損傷系數(shù)α8=-0.6,結(jié)構(gòu)其余位置均未出現(xiàn)損傷,即其余單元的損傷系數(shù)為0(圖2)。利用上述計算方法,驗(yàn)證通過結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)診斷出的結(jié)構(gòu)損傷情況是否與假定工況一致。
圖2 雙跨混凝土連續(xù)梁的單元損傷示意
計算雙跨混凝土連續(xù)梁的阻尼時,選取第1、2階自振頻率w1、w2作為參數(shù),阻尼比取值ξ1=ξ2=0.05。
計算時長取100 s,時間步長取0.01 s,共計104步。理論結(jié)構(gòu)(未損傷結(jié)構(gòu))和損傷結(jié)構(gòu)承受同樣的正弦動荷載作用,正弦動荷載的時程曲線如圖3所示。
圖3 正弦動荷載時程曲線(僅示意0~10 s)
通過計算得出,雙跨混凝土連續(xù)梁的3號單元的剛度損傷系數(shù)α3=-0.6,8號單元的剛度損傷系數(shù)α8=-0.8;其余單元的剛度損傷系數(shù)α均為0。各單元的剛度損傷系數(shù)如圖4所示。
圖4 單元剛度損傷系數(shù)時程曲線
計算結(jié)果與假定工況完全吻合,表明利用未損傷結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)在相同動荷載作用下的響應(yīng)時程,建立聯(lián)合振動方程求解結(jié)構(gòu)單元剛度損傷系數(shù)的方法準(zhǔn)確可靠,且可通過該方法對結(jié)構(gòu)的損傷情況進(jìn)行判別,從而可進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)的診斷。
利用結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的實(shí)際動態(tài)響應(yīng)與理論動態(tài)響應(yīng)時程,建立理論-實(shí)際聯(lián)合振動方程,可求解出結(jié)構(gòu)每個單元的剛度損傷系數(shù),從而可對結(jié)構(gòu)的損傷情況進(jìn)行識別,實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)的診斷。
本文通過實(shí)例驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)所述方法對結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)的診斷準(zhǔn)確可靠,該方法可在建筑工程施工過程中進(jìn)行推廣應(yīng)用[3-8]。