曹海龍，梅顯軍

(延安大學(xué)建筑工程學(xué)院，陜西延安716000)

結(jié)合面表面形貌的隨機(jī)性、多尺度性和不連續(xù)性導(dǎo)致了結(jié)合面[1]接觸剛度問題至今還是固體力學(xué)領(lǐng)域的一大挑戰(zhàn)。當(dāng)前已有的結(jié)合面接觸剛度模型主要包括分形接觸模型[2-5]、概率統(tǒng)計接觸模型[6]以及其他一些新的數(shù)值模型[7-9](這些新的數(shù)值模型包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)接觸模型、分子動力學(xué)接觸模型等)。分形接觸模型在眾多接觸剛度模型中很具代表性，也是被廣泛認(rèn)可的接觸模型之一。然而，隨著對分形理論研究的不斷深入，當(dāng)需要考慮結(jié)合面表面微凸體測度時，分形理論逐漸地出現(xiàn)了一些困惑。具體到結(jié)合面接觸問題上來，這些困惑包括：按照分形理論的定義來分析，測量尺度可以無限趨近于零，那么假設(shè)測量尺度趨近于零，結(jié)合面微凸體接觸面積也應(yīng)該是趨近于零，這一點(diǎn)顯然是不合理的。當(dāng)需要考慮研究對象測度時，諸如此類的困惑在其他領(lǐng)域也存在。依據(jù)分形理論的缺陷，Ou等[10-13]提出了泛形理論，自然界的物理對象應(yīng)該采用泛形幾何來描述而不是采用分形幾何來表征，對于自然界中的幾何或物理對象都是有限層次的自相似迭代，分形理論表征的對象都是一些經(jīng)過無數(shù)次迭代形成的理想的數(shù)學(xué)幾何形態(tài)，用分形幾何來近似代替泛形幾何是不可行的，這種不合理性O(shè)u等已在理論上進(jìn)行了證明。泛形理論的產(chǎn)生，從源頭上解決了分形應(yīng)用中產(chǎn)生的困惑，使得在泛形力學(xué)的框架下，對泛形機(jī)械結(jié)合面接觸剛度進(jìn)行深入探討成為可能。

1 數(shù)值模型

1.1 粗糙表面接觸面積模型

本文研究的是單個粗糙面與剛性平面接觸的情形。如圖1所示，z為輪廓高度，h為輪廓曲線中心線與剛性平面所在位置的高度差。

當(dāng)輪廓z高度大于h時，粗糙面與剛性平面發(fā)生接觸。z>h的輪廓部分具有隨機(jī)性，因此采用概率密度曲線來描述[14]。

(1)

假設(shè)粗糙表面總的峰點(diǎn)個數(shù)為n，參與接觸的峰點(diǎn)數(shù)為m，那么二者之間的關(guān)系為

(2)

各個接觸峰點(diǎn)的法向變形量z>h。由接觸力學(xué)知識可得實際接觸面積A為

(3)

接觸峰點(diǎn)支撐的總載荷量W為

(4)

一般情況下粗糙接觸表面的輪廓曲線高度采用高斯分布來描述。在高斯分布中，靠近m值較大的部分近似，它的具體形式是Ψ(z)=exp(-z/σ)。由此計算可得

參與接觸凸起個數(shù)m表達(dá)式

m=nσexp(-h/σ)

(5)

將Ψ(z)的表達(dá)式帶入(3)式得到真實接觸面積的表達(dá)式

Ar=πnRσ2exp(-h/σ)

(6)

將Ψ(z)的表達(dá)式帶入(4)式得到法向載荷的表達(dá)式

(7)

由(6)、(7)可得到真實接觸面積與法向載荷的表達(dá)式

(8)

在此引入泛形復(fù)雜度與粗糙面輪廓曲線統(tǒng)計參數(shù)之間的關(guān)系[15]

(9)

式中，G是尺度系數(shù)；γ是隨機(jī)輪廓的空間頻率，通常γ=1.5；D是輪廓曲線的泛形復(fù)雜度，L是采樣長度。

將(9)帶入(7)，得到下式

(10)

1.2 粗糙表面接觸剛度模型

有彈性接觸點(diǎn)支撐的法向總載荷W

(11)

式中：E為粗糙表面的彈性模量；n為粗糙峰總數(shù)；m為參與接觸的粗糙峰個數(shù)。

粗糙表面的輪廓高度按照高斯分布來描述。在高斯分布中，z值較大的峰值部分采用指數(shù)型分布來描述。

(12)

因為變形與高度變量僅差一個常數(shù)，因此接觸剛度可以由法向總載荷對變形求導(dǎo)得到

(13)

將(9)式帶入(13)，得到泛形接觸剛度表達(dá)式

(14)

2 數(shù)值計算與結(jié)果討論

取G=2，L=1×10-6m，γ=1.5，W=2MPa。將這些參數(shù)帶入式(14)中，得到圖2結(jié)果。

由圖2可知，隨著復(fù)雜度的增加，泛形粗糙面法向接觸剛度呈上升趨勢。根據(jù)泛形理論的幾何意義可知，結(jié)合面的復(fù)雜度越大，結(jié)合面表面微凸體充滿空間的程度就越高，也就是結(jié)合面表面越“平緩”，接觸面越接近理想平面，結(jié)合面實際接觸面積越大，從而導(dǎo)致的接觸剛度也會越大。

取E=207GPa，H*=210GPa，G=1×10-3，R=10-5m，L=1×10-2m，γ=1.5。將這些參數(shù)帶入式(8)中，得到圖3結(jié)果。

由圖3可知，泛形粗糙面的真實接觸面積隨著法向接觸載荷增加而增加。當(dāng)載荷在1.1 MPa～1.4 MPa這個范圍內(nèi)，法向接觸載荷增加時，泛形粗糙面的真實接觸面積增大的相對緩慢；當(dāng)載荷在1.4 MPa～1.7 MPa這個范圍內(nèi)，法向接觸載荷增加時，泛形粗糙面的真實接觸面積增大的相對迅速，且二者呈近似線性關(guān)系。

取E=207GPa，H*=210GPa，G=1×10-3，R=10-5m，L=1×10-2m，h=5×10-4m，γ=1.5，n=1000。將這些參數(shù)帶入式(10)中，得到圖4結(jié)果。

由圖4可知，泛形粗糙面輪廓曲線的復(fù)雜度隨著法向接觸載荷增加呈上升趨勢。當(dāng)結(jié)合面剛開始受壓接觸時，結(jié)合面的微凸體相互接觸處于初始階段，泛形粗糙面輪廓曲線的復(fù)雜度增大的很明顯；當(dāng)載荷繼續(xù)增大時，泛形粗糙面輪廓曲線的復(fù)雜度增長的相對緩慢一些。

由圖5可知，泛形粗糙面的法向接觸剛度隨著法向接觸載荷增加呈上升趨勢。當(dāng)載荷增大時，微凸體輪廓曲線的平均高度會下降，因此接觸面與剛性平面接觸的面積會增加，從而引起了結(jié)合面接觸剛度越大。而且由圖還可以發(fā)現(xiàn)，在法向載荷一定時，復(fù)雜度D越大，法向接觸剛度越大。

3 結(jié)論

通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，影響結(jié)合面接觸剛度的因素很多：復(fù)雜度和結(jié)合面接觸面積都隨著法向載荷的增大而增大。由泛形理論復(fù)雜度的物理意義出發(fā)，復(fù)雜度由從一逐漸趨近于二的過程中，接觸平面逐漸趨近理想平面。換言之，復(fù)雜度越大，結(jié)合面的表面粗糙度越小。由此可以得出，在相同載荷下，復(fù)雜度越大，結(jié)合面接觸面積越大。結(jié)合面接觸面積越大，法向接觸剛度越大，這也就間接地解釋了復(fù)雜度和法向載荷增大時，法向接觸剛度也隨之增大的原因。總體來講，雖然影響結(jié)合面接觸剛度因素有很多，但是從結(jié)合面接觸的微觀機(jī)理出發(fā)，這些影響因素都是通過引起泛形復(fù)雜度的變化，從而影響結(jié)合面法向接觸剛度。