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        多項(xiàng)式最大公因式的“更相減損術(shù)”

        2020-04-09 13:36:38劉興祥

        劉興祥,王 姣,張 宇

        (1.延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000;2.西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,陜西西安710000;3.西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院,陜西咸陽712000)

        關(guān)于求整系數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)式最大公因式,大多數(shù)教材均介紹了“輾轉(zhuǎn)相除法”[1],國際上將其稱為歐幾里得算法,是一種古老的算法[2],出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》[3]中。而在我國,更相減損這種古老的數(shù)學(xué)思想[4-9]在實(shí)際的操作過程中卻被僅僅局限于最終獲得的等數(shù)。本文將對更相減損術(shù)進(jìn)行引申,根據(jù)其原理與矩陣行初等變換原理存在的一定相似性,將其擴(kuò)充至求兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的最大公因式,進(jìn)而將“更相減損術(shù)”從兩個(gè)整系數(shù)多形式推廣至多個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。

        1 “更相減損術(shù)”計(jì)算最大公因式

        在九章算術(shù)中“更相減損術(shù)”是一個(gè)及其重要的基本算法,其原理為:其所以相減者,皆等數(shù)之重疊,故以等數(shù)約之。不僅適用于化簡分?jǐn)?shù),同樣可用于多項(xiàng)式來求最大公因式。

        2 計(jì)算兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的最大公因式

        矩陣的行(列)初等變換指的是對一個(gè)矩陣施行的下列變換:

        (1)交換矩陣的兩行(列);

        (2)用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣得某一行(列),即用一個(gè)不為零的數(shù)乘矩陣得某一行(列)的每一個(gè)元素;

        (3)用某一數(shù)乘矩陣得某一行(列)后加到另一行(列),即用某一數(shù)乘矩陣的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的對應(yīng)元素上[10]。

        “更相減損術(shù)”其步驟如下:

        令F是數(shù)域,求F[x]的多項(xiàng)式

        f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

        g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm,

        ai,bj∈F(i=0,1,2,…,n;j=0,1,2,…,m),求(f(x),g(x))。

        我們首先引進(jìn)多項(xiàng)式形成的矩陣,把兩個(gè)多項(xiàng)式寫成矩陣,將其按照矩陣初等變換中的第二和第三性質(zhì)進(jìn)行變換。具體的步驟如下:

        第一步:

        (1)分別給f(x)乘以v,使得vxn=xm,此時(shí)

        vf(x)=va0xn+va1xn-1+…+van-1x+van,

        g(x)=b0xm+b1xm-1+…x+bm-1x+bm,

        使得vf(x)和g(x)中的最高次數(shù)相同。

        (2)給g(x)乘以w,使得a0=wb0,此時(shí),

        wg(x)=wb0xm+wb1xm-1+

        …+wbm-1x+wbmf(x)=

        a0xn+a1xn-1+…+an-xx+an,

        通過兩次計(jì)算會(huì)產(chǎn)生va0xn=wb0xm,

        使得r(x)=vf(x)-wg(x)(則可以將f(x)中得anxn項(xiàng)去掉)。

        第二步:此時(shí)

        r(x)=vf(x)-wg(x)=

        (a1-wb1)xm-1+(a2-wb2)xm-2+

        …+(van-wbn),

        給r(x)和g(x)分別乘以v1和w1,使得

        v1(a1-wb1)xm-1=w1b0xm,

        則r1(x)=w1g(x)-v1r(x)(可以將g(x)中得b0xm項(xiàng)去掉)。

        第三步:依次循環(huán)一二步進(jìn)行降次數(shù),直到rq(x)和rq-1(x)對應(yīng)成比例,則

        (f(x),g(x))=rq(x)。

        注:vi,wj∈F(i=0,1,2,…,j=0,1,2,…),vi,wj根據(jù)f(x)和g(x)得最高次項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù)選取,要使的其系數(shù)和次數(shù)對應(yīng)相等。所以vi,wj可以取常數(shù)也可以取含x的一次或多次項(xiàng)。

        例1 令F是數(shù)域,求F[x]的多項(xiàng)式

        f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3,

        g(x)=2x3-5x2-4x+3,

        求(g(x),f(x))。

        解按照更相減損法計(jì)算。

        即(f(x),g(x))=x-3。

        定理1f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

        g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm,

        構(gòu)造矩陣為

        經(jīng)過行初等變化為

        (f(x),g(x))=(f1(x),g1(x)),且

        f1(x)=u1(x)f(x)+v1(x)g(x),

        g1(x)=s1(x)f(x)+t1(x)g(x)。

        定理2[11]

        f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

        g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm,

        構(gòu)造矩陣為

        經(jīng)過行初等變換得到

        滿足條件d(x)|f(x)且d(x)|g(x)。

        則可知

        (1)d(x)為f(x),g(x)的最大公因式;

        (2)d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。

        證明結(jié)論(2)是定理1的直接結(jié)果。

        若d(x)|f(x),d(x)|g(x)且滿足結(jié)論(2),那么d(x)是f(x),g(x)的最大公因式。則只需要證明d(x)|f(x),d(x)|g(x)。

        若f(x)=g(x)=0,則d(x)=0,命題成立。

        若g(x)=0,f(x)≠0,則d(x)=f(x),命題成立。

        若g(x)≠0,f(x)≠0,則可以設(shè)?0f(x)≤?0g(x),B(x)可以通過若干次初等變換得到,假設(shè)第一次初等變換關(guān)系式f1(x)=g(x)+φ1(x)f(x),即A(x)變?yōu)?/p>

        設(shè)?0f1(x)

        f2(x)=f(x)+φ2(x)f1(x),

        f3(x)=f1(x)+φ3(x)f2(x),

        ……,

        fr-1(x)=fr-3(x)+φr-1(x)fr-2(x)

        (1)

        0=fr-2(x)+φr(x)fr-1(x)

        (2)

        從上述(1)式可知fr-1(x)=d(x),又從(2)式可知道d(x)|fr-2(x),(1)式可知d(x)|fr-3(x),依次向上遞推知道d(x)|f(x),d(x)|g(x),從而d(x)是f(x),g(x)的最大公因式,證明完畢。

        同樣的在輾轉(zhuǎn)相除法中也給出了其對應(yīng)的求法,在此處就不再進(jìn)行敘述。值得注意的是在陳占鐵[12,13]所著的新輾轉(zhuǎn)相除法一文中,給出了新的求u,v的方法,他的推理特別是反推求u,v上與舊方法有很大不同,程序較為簡單,計(jì)算容易。

        3計(jì)算三個(gè)或者多個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的最大公因式

        “更相減損術(shù)”不僅可以求兩者之間的最大公因式,還可以求三者,甚者更多。下面給出三個(gè)或者多個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式之間的最大公因式的解法:求三者等也,先求任兩者等也。余其一,與兩者等也,有一等數(shù),此等數(shù),即為三者等也。若有多者,似其三者求也。

        依據(jù)令F是數(shù)域,求F[x]的多項(xiàng)式

        f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

        g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm,

        h(x)=c0xq+c1xq-1+…+cq-1x+cq,

        ai,bj,cs∈F(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m;s=0,1,…,q),

        求這三個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。

        第一步:先按照更相減損法求出其中任意兩者的最大公因式,

        第二步:再求第一步獲得的最大公因式和余下的多項(xiàng)式之間的最大公因式。

        例2 多項(xiàng)式f(x),g(x)和h(x)分別為

        f(x)=x4-9x3+27x2-31x+12,

        g(x)=x4-4x3-x2+16x-12,

        h(x)=x3-5x2-2x+24,

        求f(x),g(x),h(x)的最大公因式。

        解按照更相減損法計(jì)算。

        第一步:先求(f(x),h(x))。

        即(f(x),h(x))=x2-7x+12。

        第二步:再求((f(x),h(x)),g(x))。

        即(f(x),h(x),g(x))=x-3。

        綜上所述:f(x),g(x),h(x)的最大公因式為((f(x),h(x)),g(x))=x-3。

        上面對于兩個(gè)多項(xiàng)式求u(x),v(x)的方法也可以推廣到多個(gè)多項(xiàng)式求u(x),v(x)上去。

        定理3 構(gòu)造矩陣

        經(jīng)過行初等變換

        d(x)=u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+

        un(x)fn(x)。

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