周天帥，張博俊，周 桃

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

近年來，隨著科技的不斷進(jìn)步，現(xiàn)有運(yùn)載火箭已經(jīng)逐漸不能滿足發(fā)射任務(wù)的需求。更大的載荷、更先進(jìn)的發(fā)動機(jī)、更經(jīng)濟(jì)的發(fā)射費用是未來新運(yùn)載火箭的設(shè)計目標(biāo)。隨著我國經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，地方建設(shè)水平的日益提高，已經(jīng)很難再劃出新殘骸落區(qū)，僅能繼續(xù)使用現(xiàn)役運(yùn)載火箭已有落區(qū)[1]。運(yùn)載火箭的殘骸落區(qū)與上升段彈道密切相關(guān)，對殘骸落區(qū)的約束將直接反映在上升段的設(shè)計上，進(jìn)而影響火箭的運(yùn)載能力。

另一方面，若上升段軌道偏離最優(yōu)運(yùn)載能力軌跡，則往往帶來燃料加注規(guī)模的浪費，在這種情況下，需要調(diào)整運(yùn)載火箭各級的加注規(guī)模，即對火箭構(gòu)型的整體方案進(jìn)行微調(diào)。

由此可見，殘骸落區(qū)的選擇直接關(guān)系到運(yùn)載火箭構(gòu)型方案的選定。因此，有必要分析約束殘骸落區(qū)對運(yùn)載火箭上升段軌道設(shè)計及構(gòu)型的影響，為未來構(gòu)型論證工作的開展夯實基礎(chǔ)。

運(yùn)載火箭上升段軌道設(shè)計是多約束、多控制變量優(yōu)化的構(gòu)型設(shè)計問題，過程復(fù)雜、工作量大。楊希祥等[2]探討了應(yīng)用粒子群優(yōu)化算法的運(yùn)載火箭上升段彈道優(yōu)化設(shè)計。張柳等[3]在此基礎(chǔ)上組合了方向加速算法的運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化算法，認(rèn)為組合算法可避免傳統(tǒng)非線性算法對初值敏感缺點，能大范圍搜索具有全局收斂。洪蓓等[4]提出了有利于工程實現(xiàn)的主動俯仰程序角設(shè)計方法。熊偉等[5]提出了組合遺傳算法和牛頓迭代法的運(yùn)載能力優(yōu)化，提高運(yùn)算效率的方案。

本文提出了在約束殘骸落區(qū)下的簡化彈道優(yōu)化方法，計算運(yùn)載能力曲線，來解決不同構(gòu)型論證工作中運(yùn)載火箭的運(yùn)載能力優(yōu)化問題，大幅減少了計算工作量。同時，分析了在固定落區(qū)的情況下，不同加注規(guī)模對運(yùn)載能力的影響，得出了定落區(qū)下的運(yùn)載能力優(yōu)化過程曲面，提高了構(gòu)型論證工作的效率，并通過對某新構(gòu)型運(yùn)載火箭的定落區(qū)運(yùn)載能力分析，驗證了該方法的可行性和正確性。

1 彈道計算的數(shù)學(xué)模型

1.1 動力學(xué)模型

建立在發(fā)射坐標(biāo)系下的火箭上升段彈道三自由度質(zhì)點動力學(xué)方程[6]為

(1)

(2)

(3)

1.2 飛行程序角模型

飛行程序角在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的修改，公式分為3部分：垂直起飛段、重力轉(zhuǎn)彎段、上升段。其中前兩段的飛行程序角如下

(4)

式中，α為攻角，θ為彈道傾角，ωz為地球旋轉(zhuǎn)角速度在發(fā)射坐標(biāo)系z軸方向的分量，t1為垂直段飛行時間。則攻角α的公式見式(5)，式中的αM為迭代參數(shù)

α=4αMea(t1-t)(ea(t1-t)-1)

(5)

根據(jù)式(4)、式(5)得知，在重力轉(zhuǎn)彎段，攻角α的曲線由關(guān)機(jī)點的程序角終值迭代αM得出。

重力轉(zhuǎn)彎段結(jié)束后，上升段程序角為

(6)

1.3 火箭彈道設(shè)計方法

具體而言，火箭從起飛到入軌的軌道設(shè)計過程中，首先需要估計一個火箭重力轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時的俯仰程序角終值φ0，以此來確定本輪次迭代時上升段的控制變量初值；然后構(gòu)建上升段的控制參數(shù)與目標(biāo)軌道參數(shù)的迭代關(guān)系，并進(jìn)行迭代設(shè)計，具體流程如下：

(7)

(8)

具體思路是通過對控制變量的攝動來分析各個控制變量對入軌參數(shù)的影響，因此當(dāng)偏差量達(dá)到要求時，該組控制變量即可滿足目標(biāo)軌道要求。在計算過程中，需要關(guān)注重力轉(zhuǎn)彎段程序角終值φ0對運(yùn)載能力的影響。φ0決定了上升段控制變量的初值，可以對其進(jìn)行梯度尋優(yōu)。不同初值情況下的火箭程序角曲線如圖1所示，對應(yīng)運(yùn)載能力如圖2所示。

圖1和圖2為某構(gòu)型火箭在殘骸落區(qū)無約束的情況下進(jìn)行階梯尋優(yōu)的過程數(shù)據(jù)，分別是一級結(jié)束時程序角φ0對后續(xù)工作段程序角及最終運(yùn)載能力影響。

圖1 不同φ0對后續(xù)程序角的影響Fig.1 Different φ0 values affect the subsequent program angle

圖2 不同φ0對應(yīng)200km最優(yōu)LEO運(yùn)載能力Fig. 2 Different φ0 values correspond to the optimal capacity of 200km LEO

由上述分析可見，在給定不同的φ0情況下，火箭運(yùn)載能力明顯具有最高點，因此可以使用梯度法對φ0進(jìn)行尋優(yōu)，即可找到該火箭構(gòu)型的最優(yōu)運(yùn)載能力。但需要注意的是，有殘骸落區(qū)約束也會對程序角φ0產(chǎn)生限制。

2 殘骸落區(qū)對程序角的限制分析

火箭殘骸的軌跡計算公式[7]為

(9)

(10)

可見，由于沒有推力，殘骸的最終射程完全依賴于分離時的速度、位置參數(shù)。

由于目前火箭都屬于多級動力，因此往往設(shè)定轉(zhuǎn)彎段完成時間為火箭第一次分離時間。通過1.3節(jié)對轉(zhuǎn)彎段程序角終值對后續(xù)的軌道影響分析，可以得到轉(zhuǎn)彎段程序角終值φ0是上升段的重要迭代變量的結(jié)論，結(jié)合式(9)、式(10)可以得出結(jié)論：φ0不僅決定了后續(xù)上升段的火箭軌道，也同時決定了火箭分離后殘骸的最終射程。

在不同的φ0情況下，火箭殘骸落點射程曲線如圖3所示。圖3為某構(gòu)型火箭在落區(qū)無約束的情況下，一級結(jié)束時程序角φ0對一級殘骸落點射程影響。

圖3 不同φ0對應(yīng)殘骸落點射程Fig. 3 Different φ0 values correspond to the optimal point range

由圖3可見，火箭殘骸落點射程與φ0接近于線性相關(guān)，可以得出結(jié)論：若火箭的發(fā)射點、落區(qū)已定，則同一構(gòu)型火箭的飛行軌跡由于φ0受落區(qū)約束而唯一確定。

這帶來的一個問題就是，在一定起飛推力規(guī)模的情況下，具有最優(yōu)運(yùn)載能力的火箭構(gòu)型的殘骸往往不能落入現(xiàn)有落區(qū)，而使用傳統(tǒng)落區(qū)的軌道設(shè)計又使火箭的運(yùn)載能力大幅下降。因此有必要在火箭構(gòu)型論證階段就開展落區(qū)適應(yīng)性分析工作。

3 殘骸落區(qū)對火箭構(gòu)型的影響分析

我國發(fā)射場大多為內(nèi)陸發(fā)射場，殘骸落區(qū)必須避開人口稠密地區(qū)、鐵路、城市等重要設(shè)施，現(xiàn)內(nèi)陸經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，因此找到適合運(yùn)載火箭的落區(qū)有一定難度。即便是文昌發(fā)射場也要面臨著落區(qū)位于九段線內(nèi)和跨過菲律賓的要求，需要選用目前已有落區(qū)或可行的新落區(qū)。

構(gòu)型論證中，調(diào)整推進(jìn)劑加注量，貯箱及外形尺寸會跟隨改變，可根據(jù)結(jié)構(gòu)效率比考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化。

某無尾翼兩級構(gòu)型運(yùn)載火箭在不約束落區(qū)時最大運(yùn)載能力為8350kg，若采用射程為1235km的某現(xiàn)有落區(qū)作為約束，則落區(qū)約束后的最優(yōu)構(gòu)型論證過程如下：

1)在原最優(yōu)構(gòu)型下，完成增加落區(qū)約束后運(yùn)載能力計算。

2)分析一級加注量、二級加注量(結(jié)構(gòu)效率比考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化)和φ0參數(shù)對殘骸落點影響，如表1所示。

表1 一級結(jié)束程序角φ0相同、調(diào)整級間比下殘骸落點射程 km

表1是一級結(jié)束程序角φ0相同，調(diào)整級間比獲得殘骸落點射程數(shù)據(jù)。由表1可以看出：火箭殘骸落點射程隨本級加注量增大而增大，隨上面子級加注量增大而減小。

構(gòu)型不同φ0對殘骸落點影響如圖3所示。

因此，可以認(rèn)為兩級火箭在有落區(qū)約束情況下，尋找最優(yōu)運(yùn)載能力構(gòu)型是在三維空間內(nèi)尋優(yōu)過程。

3)殘骸落區(qū)約束的火箭構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計

考慮殘骸落區(qū)約束的運(yùn)載火箭構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計是一個復(fù)雜約束下多變量強(qiáng)耦合的極值問題[8]，火箭的各級級間比設(shè)計以及飛行程序角選擇不僅決定運(yùn)載能力的大小，同時也直接影響火箭殘骸落區(qū)。在火箭構(gòu)型復(fù)雜、參數(shù)眾多的情況下，手動調(diào)整總體和彈道參數(shù)進(jìn)行構(gòu)型論證變得極為困難，可以通過彈道優(yōu)化程序開展基于落區(qū)約束下的火箭構(gòu)型優(yōu)化論證。

優(yōu)化過程如圖4所示，首先通過選擇待優(yōu)化參數(shù)及其取值范圍、目標(biāo)變量和約束條件；優(yōu)化過程中，總體參數(shù)計算根據(jù)各級級間比計算各級加注量；然后根據(jù)結(jié)構(gòu)系數(shù)計算結(jié)構(gòu)質(zhì)量，得到彈道設(shè)計需要的參數(shù)后，自動更新到彈道設(shè)計文件中；再用彈道設(shè)計及優(yōu)化程序開展彈道優(yōu)化設(shè)計，直至收斂得到運(yùn)載能力最優(yōu)值。

以殘骸落區(qū)為約束，對一級、二級加注量、重力轉(zhuǎn)彎結(jié)束程序角φ0這3個優(yōu)化變量進(jìn)行優(yōu)化分析，運(yùn)載能力優(yōu)化結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5為殘骸落區(qū)約束后，相對落區(qū)無約束最優(yōu)構(gòu)型下一級、二級加注調(diào)整量與運(yùn)載能力關(guān)系三維曲面圖。圖6為三維圖的俯視圖，能直觀看出約束落區(qū)后級間比優(yōu)化下最優(yōu)運(yùn)載能力構(gòu)型。

圖4 彈道一體化優(yōu)化流程圖Fig.4 Optimized flow chart of trajectory design

圖5 殘骸落區(qū)約束后加注量與運(yùn)載能力關(guān)系三維圖Fig.5 Three-dimensional diagram of the relationship between capacity and propellants after restricting impact point

圖6 三維圖俯視圖Fig.6 Top view of three-dimensional diagram

通過圖5和圖6看出，運(yùn)載能力明顯呈弧面，具有最高點。殘骸落區(qū)約束后，原來落區(qū)無約束的最大運(yùn)載能力構(gòu)型運(yùn)載能力不再最優(yōu)，降低到了7769kg。需調(diào)整級間比及加注量并重新進(jìn)行構(gòu)型調(diào)整及運(yùn)載能力分析。經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，在不同推進(jìn)劑加注組合的情況下，能夠清晰地得到最優(yōu)點，為一級推進(jìn)劑少加10t、二級加注量不變情況下的構(gòu)型，對應(yīng)的運(yùn)載能力為7780kg。相對殘骸落區(qū)無約束構(gòu)型的計算結(jié)果，最大運(yùn)載能力下降近570kg，但起飛規(guī)模方面要優(yōu)于落區(qū)無約束構(gòu)型。

4 結(jié)論

本文針對某一種構(gòu)型運(yùn)載火箭有無殘骸落區(qū)約束的構(gòu)型論證過程進(jìn)行分析，梳理出火箭總體參數(shù)及彈道關(guān)鍵參數(shù)對落區(qū)的影響關(guān)系，開展了基于落區(qū)約束火箭構(gòu)型的總體方案優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)落區(qū)約束后構(gòu)型運(yùn)載能力大幅降低，甚至出現(xiàn)運(yùn)載能力不如起飛規(guī)模更小的火箭的情況，充分說明了殘骸落區(qū)對構(gòu)型論證的影響，因此，殘骸落區(qū)的選擇是在運(yùn)載火箭構(gòu)型設(shè)計時必須首要考慮的設(shè)計因素。