胡 洲，劉小燕，武偉寧

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的非球形散體顆粒休止角智能建模方法

胡 洲，劉小燕，武偉寧

(湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082)

針對(duì)離散單元法(DEM)仿真非球形散體顆粒休止角計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)的問(wèn)題，本文基于DEM歷史仿真數(shù)據(jù)，采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的智能建模方法—BP、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立非球形散體顆粒的休止角模型，并與傳統(tǒng)克里金回歸方法進(jìn)行比較。結(jié)果表明，智能模型的運(yùn)算速度相比DEM計(jì)算速度有很大提升；智能模型相比傳統(tǒng)克里金回歸模型具有更佳的預(yù)測(cè)性能，其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型綜合性能最優(yōu)。最后，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分析顆粒形狀及摩擦因數(shù)對(duì)休止角的影響，發(fā)現(xiàn)休止角隨顆粒形狀變量、摩擦因數(shù)的增加都呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，與現(xiàn)有研究結(jié)果一致，進(jìn)一步證明了智能模型進(jìn)行休止角預(yù)測(cè)的可靠性。

非球形散體顆粒；休止角；智能模型；離散單元法

散體顆粒廣泛存在于自然界中，如金屬粉末、礦物砂石等，在工業(yè)生產(chǎn)中扮演著重要的角色[1, 2]。休止角是散體顆粒堆自由表面與水平面的夾角[3]，能將散體顆粒的微觀行為與其宏觀行為相關(guān)聯(lián)，是表征散體顆粒流動(dòng)能力的重要物性參數(shù)[4]，近年來(lái)被廣泛研究及應(yīng)用[5?7]。目前用于獲取散體顆粒休止角的物理實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法有：傾斜盒法[8]、轉(zhuǎn)筒法[9]、空心圓柱法[10]等。然而，采用物理實(shí)驗(yàn)方法很難獲取顆粒微觀行為變化對(duì)休止角的影響。

離散單元法(Discrete element method, DEM)是一種專門(mén)用于求解和分析散體顆粒運(yùn)動(dòng)規(guī)律與力學(xué)特征的數(shù)值模擬方法。DEM在每個(gè)時(shí)步都能獲取顆粒的受力情況[11?12]、運(yùn)動(dòng)軌跡[13]、顆粒速度[14?15]等物理實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法很難檢測(cè)的微觀信息。但DEM的缺點(diǎn)在于仿真計(jì)算量大、獲取結(jié)果耗時(shí)長(zhǎng)。雖然采用先進(jìn)的GPU-DEM仿真技術(shù)[16]仿真一個(gè)包含960萬(wàn)個(gè)球形顆粒的系統(tǒng)已經(jīng)可以達(dá)到準(zhǔn)實(shí)時(shí)狀態(tài)(計(jì)算時(shí)間與物理時(shí)間之比可達(dá)9.37:1)，但是該平臺(tái)的搭建相當(dāng)復(fù)雜且價(jià)格昂貴(包含270個(gè)GPU卡，NVIDIA C2050)。針對(duì)DEM運(yùn)算速度的瓶頸問(wèn)題，目前解決的方法主要有兩種。第一種方法，使用較大的顆粒進(jìn)行仿真[17]，可以減少系統(tǒng)中的顆粒數(shù)量，進(jìn)而縮短仿真時(shí)間。而為了獲取新的輸入?yún)?shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，仍需進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的仿真計(jì)算，且在使用該方法前，需調(diào)節(jié)顆粒密度以保證顆粒之間相似的動(dòng)量交換[18]。第二種方法，基于DEM仿真歷史數(shù)據(jù)，采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，建立輸入變量與輸出結(jié)果間的關(guān)系模型，以替代原DEM模型。雖然該方法仍然需要前期的DEM仿真數(shù)據(jù)，但在建立好關(guān)系模型后，可以迅速預(yù)測(cè)新樣本的結(jié)果[19]，避免輸入?yún)?shù)發(fā)生變化時(shí)再次進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的DEM仿真。目前，基于DEM歷史仿真數(shù)據(jù)對(duì)休止角建模的研究較少。RACKL等[20]基于DEM歷史仿真數(shù)據(jù)，采用傳統(tǒng)克里金(Kriging)回歸方法建立了休止角與顆粒密度、彈性模量、顆粒摩擦因數(shù)之間的元模型(Meta- model)，然而克里金回歸模型預(yù)測(cè)的休止角與DEM仿真的休止角之間的相關(guān)系數(shù)不到0.72，精度低。并且，克里金回歸算法預(yù)測(cè)時(shí)需要考慮所有樣本點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)的影響，因此計(jì)算速度較慢。為進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)速度及精度，近三年來(lái)有學(xué)者開(kāi)始嘗試?yán)弥悄芩惴▽?duì)顆粒休止角進(jìn)行建模。BENVENUTI等[21]基于81組休止角DEM歷史仿真數(shù)據(jù)，使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了顆粒恢復(fù)系數(shù)、顆粒摩擦因數(shù)、顆粒密度等與休止角的智能模型，但仿真中使用的都是球形顆粒，作為影響休止角的重要因素—顆粒形狀在建模過(guò)程中并未考慮。事實(shí)上，自然界和工業(yè)中廣泛存在的顆?；緸榉乔蛐?，因此，上述的休止角預(yù)測(cè)智能模型存在較大的局限性。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文進(jìn)行了78組非球形顆粒休止角的DEM仿真；基于DEM歷史仿真數(shù)據(jù)，使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能建模方法，建立非球形散體顆粒休止角的智能模型(示意圖見(jiàn)圖1)；對(duì)休止角智能模型的運(yùn)算速度及預(yù)測(cè)性能進(jìn)行測(cè)試；并討論隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)休止角智能模型的影響；最后，分析顆粒形狀變量與顆粒摩擦因數(shù)對(duì)休止角的影響。

圖1 休止角智能建模示意圖

1 非球形顆粒休止角的DEM仿真

影響休止角的因素很多，如顆粒形狀、摩擦因數(shù)、恢復(fù)系數(shù)等，KHANAL等[22]使用DEM構(gòu)造不同長(zhǎng)寬比的簇顆粒(Clumps)研究了顆粒形狀對(duì)休止角的影響，發(fā)現(xiàn)顆粒形狀對(duì)休止角有顯著影響；HU等[23]使用DEM研究了泊松比、剪切模量、恢復(fù)系數(shù)及顆粒摩擦因數(shù)對(duì)休止角的影響，發(fā)現(xiàn)顆粒摩擦因數(shù)對(duì)其影響最大；COETZEE[24]使用不同子球個(gè)數(shù)的簇顆粒研究了不同顆粒摩擦因數(shù)下顆粒形狀對(duì)休止角的影響，發(fā)現(xiàn)顆粒形狀和顆粒摩擦因數(shù)對(duì)休止角影響顯著。因此，本文對(duì)休止角的DEM仿真主要考慮顆粒形狀和顆粒摩擦因數(shù)的影響。

1.1 非球形顆粒的模擬

圖2 非球形顆粒示意圖

1.2 DEM仿真步驟

本文采用最易實(shí)現(xiàn)的空心圓柱法對(duì)簇顆粒的休止角進(jìn)行仿真，使用的接觸模型為非線性Hertz-Mindlin模型[27]，其余仿真參數(shù)見(jiàn)表1所示。具體仿真步驟如下：

表1 DEM仿真參數(shù)

圖3 非球形顆粒休止角DEM仿真過(guò)程示意圖

1) 在直徑為91 mm、高為136.5 mm的垂直圓柱筒內(nèi)(見(jiàn)圖3(a))，生成7000個(gè)球形顆粒；

2) 用等體積的簇顆粒以隨機(jī)方向?qū)η蛐晤w粒進(jìn)行替換，在重力作用下，仿真1 s，使顆粒沉降，如圖3(b)所示；

3) 以16 mm/s的速度提升圓柱筒，使顆粒從形成的縫隙流出(圖3(c)和(d)所示分別為上提1 s、3 s時(shí)刻的狀態(tài)圖)，仿真持續(xù)6 s，以形成穩(wěn)定的顆粒堆，如圖3(e)所示；

按以上步驟，在CPU為Intel? Xeon? Processor E5–2640 v2、內(nèi)存為32 GB的計(jì)算機(jī)上，使用PFC3D5.0進(jìn)行一組非球形顆粒休止角的DEM仿真，大約需要花費(fèi)153 min。

1.3 DEM仿真結(jié)果

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的休止角智能建模方法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial neural network, ANN)已被證明能夠解決許多經(jīng)典數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)過(guò)程難以求解的復(fù)雜工程問(wèn)題[28]，被廣泛用于醫(yī)學(xué)、工程、數(shù)學(xué)建模等研究應(yīng)用中[29]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有多種結(jié)構(gòu)形式，其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是使用最多的兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[29]。本文采用三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)非球形顆粒休止角進(jìn)行智能建模，如圖4所示。

表2 非球形顆粒休止角DEM仿真結(jié)果示例

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

采用誤差反向傳播算法(Error back propagation, BP)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前使用最為廣泛的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中單隱含層網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用又最為普遍[30](見(jiàn)圖4)，每層的神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)通過(guò)權(quán)值與下一層的節(jié)點(diǎn)相連接。輸入信號(hào)通過(guò)非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換成輸出結(jié)果，最后，網(wǎng)絡(luò)輸出如下：

圖4 本文使用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)輸出與目標(biāo)值不等時(shí)，存在輸出誤差，定義如下：

為了減小誤差，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用梯度下降反向傳播算法[29]對(duì)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值進(jìn)行調(diào)整。該算法要求每個(gè)訓(xùn)練樣本都包含輸入和對(duì)應(yīng)的輸出值(目標(biāo)值)。本文使用min-max方法對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。訓(xùn)練時(shí)，以隨機(jī)數(shù)給網(wǎng)絡(luò)權(quán)值賦初值，然后對(duì)權(quán)值進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，直到誤差小于設(shè)定值0.001或達(dá)到設(shè)定的最大訓(xùn)練次數(shù)200000。

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

式中：、C分別為隱含層節(jié)點(diǎn)的輸入和函數(shù)中心。

2.3 智能模型預(yù)測(cè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了測(cè)試比較休止角智能模型的預(yù)測(cè)性能，本文使用均方誤差(Mean squared error, MSE)、決定系數(shù)(2)、Theil不等式系數(shù)(Theil’s inequality coefficient, TIC)[34]對(duì)休止角模型的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，其具體計(jì)算公式分別如下：

3 結(jié)果與分析

3.1 休止角智能模型的運(yùn)算速度

在1.2節(jié)中提到，使用DEM仿真獲取1組(7000個(gè))非球形顆粒的休止角就需要花費(fèi)大約153 min，而使用智能模型對(duì)32組休止角數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)間均未超過(guò)1 ms(如表3所示)，即使用智能模型進(jìn)行休止角預(yù)測(cè)的時(shí)間不到DEM仿真時(shí)間的1×10?7。對(duì)比智能模型的計(jì)算時(shí)間可以發(fā)現(xiàn)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為用時(shí)最短的智能模型，其計(jì)算時(shí)間不到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的一半，這是因?yàn)镽BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層只用于傳輸輸入信號(hào)，且其輸出層節(jié)點(diǎn)只進(jìn)行線性加權(quán)求和運(yùn)算。不過(guò)，相比計(jì)算量巨大的DEM仿真，休止角的BP、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的運(yùn)算速度都處于同一數(shù)量級(jí)水平，遠(yuǎn)快于DEM仿真。

表3 休止角數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型預(yù)測(cè)時(shí)間與DEM仿真時(shí)間比較

3.2 休止角智能模型的預(yù)測(cè)性能

為了對(duì)建立好的智能模型的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行評(píng)價(jià)比較，采用BP、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)32組測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將其結(jié)果與文獻(xiàn)[20]中使用的傳統(tǒng)克里金(Kriging)回歸模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，如表4所示。

表4 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的休止角模型的預(yù)測(cè)性能指標(biāo)

由表4可知，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的休止角智能模型各預(yù)測(cè)指標(biāo)的表現(xiàn)均優(yōu)于傳統(tǒng)克里金回歸模型，且智能模型的運(yùn)算速度更快(見(jiàn)表3)。進(jìn)一步比較可以發(fā)現(xiàn)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的MSE為0.3530，TIC低至0.0108，2高達(dá)0.9875，為預(yù)測(cè)性能最優(yōu)的的智能模型。這是由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Kriging都為局部逼近方法，而B(niǎo)P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種全局逼近法，針對(duì)波動(dòng)較大的休止角數(shù)據(jù)(休止角的測(cè)量誤差很難小于±1°[17])，達(dá)到全局最優(yōu)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)能得到更好的效果。

為更直觀地比較各模型的性能，繪制如圖5所示的預(yù)測(cè)殘差圖。由圖5可知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Kriging模型預(yù)測(cè)的休止角誤差區(qū)間分別為(?0.9771°~1.3154°)、(?1.6674°~1.1793°)、(?0.9160°~ 1.5159°)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的誤差波動(dòng)范圍最小。

圖5 智能模型預(yù)測(cè)的休止角與DEM仿真的休止角之差

3.3 隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)休止角智能模型的影響

在本文使用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中(見(jiàn)圖4)，輸入層、輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)分別由樣本輸入、輸出變量個(gè)數(shù)確定，因此只需分析隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)智能模型性能的影響。分別使用BP、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)創(chuàng)建7個(gè)休止角智能模型，其隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)如表5所示。

表5 不同隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)休止角智能模型性能的影響

對(duì)于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)增加隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)能夠顯著減小其休止角智能模型針對(duì)訓(xùn)練集的MSE，當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)接近訓(xùn)練樣本數(shù)時(shí)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型誤差幾乎為零，此時(shí)針對(duì)測(cè)試集的MSE顯著增大，這是由于模型出現(xiàn)了過(guò)擬合，導(dǎo)致泛化能力變差。而對(duì)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在訓(xùn)練時(shí)網(wǎng)絡(luò)對(duì)目標(biāo)的逼近能力和測(cè)試時(shí)網(wǎng)絡(luò)的性能表現(xiàn)，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的變化對(duì)其影響都不大。因此，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型較RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有更好的穩(wěn)定性。

3.4 顆粒形狀及摩擦因數(shù)對(duì)休止角的影響

最后，本文采用綜合性能最優(yōu)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分析及s對(duì)的影響，如圖6所示。、s的取值范圍分別為0.1~1.9、0.1~0.8，間隔都為0.01，共包含12851個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。采用智能模型對(duì)如此大的數(shù)據(jù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，僅需0.5067 s，與DEM仿真相比具有很大優(yōu)勢(shì)。分析圖6可以發(fā)現(xiàn)：

1)隨、s的增加呈現(xiàn)出增大的趨勢(shì)。由于摩擦因數(shù)s越大顆粒越難產(chǎn)生滑動(dòng)，因此，當(dāng)形狀變量不變時(shí)，如=1(紅色實(shí)線)，休止角隨s的增加從25°升高至30°；類似地，當(dāng)s=0.4時(shí)(藍(lán)色實(shí)線)，也可以觀察到隨的增加而增大的趨勢(shì)(從小于19°到大于33°)，這是由于顆粒形狀變量越大(即顆粒越不規(guī)則)，使得顆粒越難產(chǎn)生滾動(dòng)，因此對(duì)應(yīng)的休止角也將增大。這類趨勢(shì)分別與文獻(xiàn)[35]與文獻(xiàn)[24]中觀察到的趨勢(shì)是一致的。

2)的最大值及最小值是、s聯(lián)合作用的結(jié)果。的最大值34.1°和最小值18.5°分別出現(xiàn)在圖6中右上角(紅色區(qū)域，即＞1.5且s＞0.6的區(qū)域)和左下角(藍(lán)色區(qū)域，即＜0.4且s＜0.3的區(qū)域)，結(jié)合第1)點(diǎn)的分析可知，這是顆粒形狀變量和摩擦因數(shù)共同作用的結(jié)果。

3) 圖6中左上(右下)角的對(duì)s()的變化并不敏感，這是因?yàn)樵搮^(qū)域顆粒的運(yùn)動(dòng)方式主要為滾動(dòng)(滑動(dòng))。在文中第1.1節(jié)已說(shuō)明，越小簇顆粒越接近球形顆粒，則顆粒越容易發(fā)生滾動(dòng)。當(dāng)摩擦因數(shù)較大(s＞0.4)，而顆粒形狀變量較小時(shí)(＜1.0)，即圖6中左上角區(qū)域，對(duì)應(yīng)顆粒的運(yùn)動(dòng)方式主要為滾動(dòng)，因此，對(duì)s的變化不敏感，而對(duì)的變化很敏感，如藍(lán)色虛線所示，隨的減小出現(xiàn)明顯降低。相反，當(dāng)顆粒形狀變量＞1.3而摩擦因數(shù)s＜0.4時(shí)(圖6中右下角區(qū)域)，該區(qū)域?qū)?yīng)顆粒的運(yùn)動(dòng)方式以滑動(dòng)為主，因此，對(duì)的變化不敏感，而對(duì)s的變化很敏感，如紅色虛線所示，隨s的減小出現(xiàn)明顯降低。該結(jié)論與文獻(xiàn)[36]結(jié)論相吻合，也進(jìn)一步表明智能模型的預(yù)測(cè)結(jié)果是可信的。

圖6 休止角θ隨形狀變量δ和摩擦因數(shù)μs變化的等值線圖

4 結(jié)論

1) 相比休止角的DEM仿真，智能模型的運(yùn)算速度很快，因此可使用智能模型替換DEM仿真進(jìn)行后期休止角的預(yù)測(cè)，避免再次運(yùn)行長(zhǎng)時(shí)間的DEM仿真。

2) 休止角的智能模型相比傳統(tǒng)克里金回歸模型有更快的運(yùn)算速度和更優(yōu)的預(yù)測(cè)性能。其中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的綜合性能最優(yōu)。

3) 采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分析休止角受顆粒形狀和摩擦因數(shù)影響，所得結(jié)論與現(xiàn)有研究結(jié)論相一致，進(jìn)一步表明該智能模型預(yù)測(cè)結(jié)果是可靠的。

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Data driven intelligent modeling method for angle of repose of non-spherical discrete particles

HU Zhou, LIU Xiao-yan, WU Wei-ning

(College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

The discrete element method (DEM) simulation of the angle of repose (AoR) of non-spherical is computationally intensive and time consuming. Based on the obtained DEM simulation data, the data driven intelligent modeling methods—the BP neural network and RBF neural networ were used to model the AoR of non-spherical discrete particles, and were compared with the traditional Kriging regression methods. The results show that the speed of the intelligent models is dramatically faster than the speed of the DEM simulation; the intelligent model has better predictive performance than the traditional Kriging regression model, and the BP neural network model has the best overall performance. Finally, based on the BP neural network model, the influences of particle shape and friction coefficient on the AoR were analyzed. It is found that the AoR increases with the increase of particle shape variable and friction coefficient, which further indicates the credibility of the intelligent model.

non-spherical discrete particles; angle of repose; intelligent model; discrete element method

Projects(61973108, 61374149) supported by the National Natural Science Foundation of China

2019-02-22;

2019-11-09

LIU Xiao-yan; Tel: +86-731-88822224; E-mail: xiaoyan.liu@hnu.edu.cn

1004-0609(2020)-01-0227-08

TF04

A

10.11817/j.ysxb.1004.0609.2020-36347

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61973108，61374149)

2019-02-22；

2019-11- 09

劉小燕，教授，博士；電話：0731-88822224；E-mail：xiaoyan.liu@hnu.edu.cn

(編輯 何學(xué)鋒)