李玉偉，龍敏，湯繼周，陳勉,3，付曉飛

（1.東北石油大學石油工程學院，黑龍江大慶 163318；2.School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University，Cambridge 02138，USA；3.中國石油大學（北京）石油工程學院，北京 102249）

0 引言

水力壓裂作為一種高效的增產(chǎn)工藝技術，已廣泛應用于各類油氣儲集層改造，并取得顯著效果。但現(xiàn)有水力壓裂模型在應用時均存在一定的局限性，不適用于復雜結構井或復雜儲集層[1-2]，限制了水力壓裂技術的發(fā)展。裂縫高度作為水力壓裂二維模型的輸入?yún)?shù)，以及三維模型的輸出結果，是水力壓裂模型精確求解的重要影響因素。水力壓裂縫高的計算是水力壓裂裂縫模型研究的核心問題[3-4]，尤其在當前以頁巖氣為代表的非常規(guī)油氣資源需要大規(guī)模壓裂開發(fā)的技術背景下[5-7]，能否準確預測和控制裂縫縫高已經(jīng)成為壓裂施工成敗與否的關鍵。對于埋深較淺、地層應力水平不高的頁巖儲集層，現(xiàn)有縫高模型都表現(xiàn)出較好的適用性[8]；而對于深部高應力多分層的復雜地層，水力裂縫的縫高往往很難預測[9-10]，亟需一種準確計算此類地層水力壓裂縫高的新方法。

在高應力多分層的復雜地層壓裂時，裂縫縫高的生長受多種因素制約，包括層間界面及其剪切強度、施工壓力、壓裂液漏失、天然裂縫發(fā)育情況、壓裂液密度和黏度等[11-16]。盡管多種因素影響復雜地層中的裂縫高度生長，但在某一泵注壓力下，裂縫高度的增長值存在上限，即平衡高度理論[17]，當裂縫上部和下部尖端的應力強度因子小于裂縫上部和下部尖端所處地層巖石的斷裂韌性時，裂縫尖端不會增長；否則裂縫尖端增長，裂縫高度增加。

自20世紀70年代，學者們建立了多種用于計算水力壓裂裂縫高度的模型。Simonson等[18]建立的水力壓裂縫高預測模型將地層分為對稱的上下 3層，要求上覆巖層與下部巖層巖石物性相同，這與實際壓裂地層環(huán)境差別較大，模型實用性較差。Ahmed[19]、Newberry 等[20]和 Economides等[21]對 Simonson 模型進行修正，將地層分為非對稱的 3層且上覆巖層與下部巖層巖石物性不同，增強了模型的實用性。Fung等[22]考慮不同地層的巖石物性不同，建立了包含 6層地層的壓裂縫高模型，該模型假定裂縫沿高度方向內(nèi)部凈壓力恒定。Economides等[23]建立的壓裂縫高預測模型考慮了裂縫沿高度方向的內(nèi)部凈壓力變化。Weng等[14]對Economides的模型進行了修正，進一步完善了壓裂縫高預測模型。Liu等[24-25]建立了更為嚴謹?shù)乃毫芽p高數(shù)學模型（MFEH），首次解決了適用于任意層數(shù)地層條件下的水力壓裂裂縫高度計算問題。

以往對水力壓裂縫高模型的研究均沒有考慮裂縫尖端塑性區(qū)對縫高延伸的影響。本文在前人研究的基礎上，考慮水力裂縫擴展過程中裂縫尖端塑性區(qū)的影響并對裂縫擴展高度進行修正，建立全新的水力壓裂縫高計算模型。研究成果更好地完善了水力壓裂縫高求解的理論方法，為高應力多分層的復雜地層壓裂縫高計算和預測提供了理論依據(jù)。

1 裂縫尖端塑性區(qū)特征及等效裂縫求解

水力壓裂裂縫尖端區(qū)域存在明顯的應力集中現(xiàn)象[26-28]。在高應力作用下，裂縫尖端的巖石會由彈性向塑性轉變，當巖石性質(zhì)表現(xiàn)為塑性時，裂縫尖端的應力強度因子無法使用經(jīng)典斷裂力學理論模型進行計算，裂縫實際的擴展情況發(fā)生改變。如圖1所示，若不考慮裂縫尖端塑性區(qū)域應力集中的影響，裂縫的左右端點分別為A1和B1，對應的裂縫高度為2a；若考慮裂縫尖端塑性區(qū)域應力集中的影響，裂縫的左右端點最終能夠延伸到A2和B2，對應的裂縫高度為2(a+e)，裂縫的高度發(fā)生明顯的改變。

圖1 Dugdale等效裂縫高度模型[29]

為了進一步說明裂縫尖端塑性區(qū)應力集中對縫高的影響，給出平面應變條件下裂縫尖端塑性區(qū)分布計算模型及考慮塑性區(qū)應力影響的等效裂縫高度計算方法。根據(jù)斷裂力學理論，裂縫尖端的應力強度因子為[30]：

裂縫端部任一點的3個主應力為[31-33]：

巖石材料服從Mises屈服條件式[34]：

將（2）式代入（3）式中，可得到塑性區(qū)邊界極坐標形式的曲線方程為：

考慮裂縫擴展高度對裂縫尖端應力強度因子KI的影響，通過（4）式分析裂縫尖端塑性區(qū)域分布的變化。應用MATLAB編程，確定裂縫高度分別為5，15，35，55 m時產(chǎn)生的塑性區(qū)域（見圖2）。由圖可知，隨著裂縫高度的增大，裂縫尖端產(chǎn)生的塑性區(qū)逐漸增大。當裂縫高度為5 m時，裂縫尖端僅產(chǎn)生微小的塑性區(qū)域；當裂縫高度為55 m時，產(chǎn)生的塑性區(qū)高度為2.3 m，達到當前裂縫高度的4.18%。因此在不同縫高下裂縫尖端確實存在塑性區(qū)應力集中的影響，且裂縫縫高較大時，裂縫尖端塑性區(qū)分布范圍大，必然會對裂縫縫高的延伸產(chǎn)生顯著影響。所以計算縫高時，需要考慮裂縫尖端塑性區(qū)應力集中及其對縫高延伸的影響。

圖2 不同裂縫半高條件下裂縫尖端塑性區(qū)分布

Dugdale[29]提出裂縫端部產(chǎn)生塑性區(qū)后可以用一個等效裂縫代替，如圖1所示。原裂縫A1B1高為2a，等效裂縫A2B2的高度為 2(a+e)，其中，e為塑性區(qū)尺寸。塑性區(qū)內(nèi)裂縫實際并沒有張開，塑性區(qū)任一點的應力分量均為σy。由于A1A2段和B1B2段未裂開，所以等效裂縫端點A2及B2處的應力強度因子為零。在塑性區(qū)內(nèi)等效裂縫面間相互作用著均勻分布的拉應力σy，σy產(chǎn)生的應力強度因子K′為負數(shù)，因為它的作用是使裂縫閉合。K′的絕對值等于外載作用下的應力強度因子K′：

（5）式積分后得：

（9）式為考慮塑性區(qū)應力集中影響后，裂縫尖端在縫高延伸方向上產(chǎn)生的塑性區(qū)尺寸，即裂縫擴展所產(chǎn)生的附加高度，在此基礎上可以對裂縫尖端實際應力強度因子進行計算，從而確定裂縫高度。

2 水力壓裂縫高模型

2.1 縫高模型的推導

建立地層中垂直裂縫的縫高物理模型（見圖3），圖中只展示了垂向上 6個不同性質(zhì)的地層，但建立的縫高模型不受地層層數(shù)限制，可應用于任意層數(shù)地層的縫高計算。

圖3 裂縫垂向延伸物理模型

為建立縫高模型進行如下假設：①地層巖石為線彈性介質(zhì)；②假定流體在整個裂縫高度上起作用；③裂縫擴展區(qū)離井筒位置足夠遠；④水力裂縫的長度遠遠大于裂縫高度；⑤裂縫高度在裂縫尖端的擴展始終處于平衡狀態(tài)；⑥裂縫內(nèi)垂直方向的壓力分布滿足靜水壓力，不考慮流體在裂縫中流動的壓降。

不考慮裂縫尖端產(chǎn)生的塑性區(qū)影響時（圖3藍色區(qū)域），參考Liu等[24-25]的模型，裂縫上、下端的應力強度因子可以分別表示為：

考慮裂縫尖端產(chǎn)生的塑性區(qū)影響時（圖3橙色區(qū)域），裂縫下端塑性區(qū)使裂縫閉合的應力σh,i產(chǎn)生的應力強度因子為負值，其絕對值大小與裂縫內(nèi)壓作用下的應力強度因子KI2+相等，根據(jù)（11）式得：

積分后得：

考慮裂縫尖端塑性區(qū)影響時，參考（11）式得到裂縫下尖端的應力強度因子：

積分后得到：

簡化可得：

同理可對裂縫上尖端的縫高進行推導得：

假設A=2C+ed+eu，B=A/2。當考慮裂縫尖端塑性區(qū)時，垂直裂縫上、下端的應力強度因子分別表示為：

對其進行積分可得到考慮縫尖塑性區(qū)影響的水力壓裂裂縫上、下端的應力強度因子。裂縫上任意位置x所對應的裂縫下端應力強度因子為：

考慮裂縫端部塑性區(qū)影響時，在第i層地層的裂縫下端的應力強度因子為：

裂縫在多層地層延伸過程中裂縫下端的總應力強度因子為：

同理可以得到裂縫上端的總應力強度因子為：

考慮裂縫端部塑性區(qū)影響時，裂縫上端延伸條件為KI2-≥KIC,i；裂縫下端延伸條件為KI2+≥KIC,i。

2.2 縫高模型求解方法

水力壓裂縫高模型求解時，輸入各層的物理參數(shù)，計算出不考慮裂縫尖端塑性區(qū)影響時的裂縫上下尖端應力強度因子KI-和KI+，計算塑性區(qū)高度ed、eu，積分計算考慮塑性區(qū)影響的尖端應力強度因子KI2-和KI2+，比較KI2-、KI2+與地層巖石斷裂韌性KIC,i的大小。如果KI2-、KI2+小于KIC,i，裂縫縫高停止擴展，求出B；如果KI2-、KI2+大于KIC,i，裂縫縫高繼續(xù)擴展，進一步累計積分求得KI2-、KI2+，直到滿足KI2-、KI2+小于KIC,i的條件，裂縫縫高停止擴展，求出半縫高B。

2.3 縫高模型的驗證

在相同條件下，將本文模型與 2種行業(yè)模型（FracPro、MFEH）的裂縫高度計算結果進行對比，驗證本文模型準確性。計算采用費耶特維爾頁巖地層參數(shù)[24]，地層分為 7層，各層巖石物理力學參數(shù)如表1所示，比較3種模型計算得到的縫高。當射孔位置的壓裂液壓力為31.3 MPa時，MFEH模型計算的縫高為60.61 m，本文模型計算的縫高為66.47 m；當射孔位置的壓裂液壓力為32.0 MPa時，本文模型計算的縫高為71.24 m，F(xiàn)racPro模型計算的縫高為82.68 m。通過對比可以看出，本文模型計算的裂縫高度高于MFEH模型的計算結果，而低于FracPro模型的計算結果，與行業(yè)模型計算結果相當，表明本文模型具有較好的正確性。由于本文模型在MFEH模型基礎上考慮了裂縫尖端塑性區(qū)的影響，在每次進行縫高修正求解過程中，均需要對原縫高產(chǎn)生的塑性區(qū)進行計算，因此模型的運算效率低于MFEH模型。

表1 費耶特維爾頁巖地層巖石物理力學參數(shù)[24]

3 模型實例計算與敏感性分析

基于美國天然氣研究中心（GRI）在德克薩斯州哈里森縣Waskom油田現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)（見表2），采用本文模型和MFEH模型分別計算水力裂縫縫高變化，地層分為6層，射孔層位于第3層。如圖4所示，本文模型計算的縫高變化趨勢與MFEH模型計算結果整體較為一致。在裂縫高度較小時，本文模型與MFEH模型的計算結果差異小，當裂縫高度達到較大值后，本文模型計算的縫高呈階梯狀增長。這是因為實際壓裂過程中，地層中壓裂裂縫的高度并非持續(xù)生長，壓力達到裂縫增長的延伸壓力時，裂縫會突然擴展延伸，導致裂縫內(nèi)流體壓力下降；之后隨泵注時間增加，裂縫內(nèi)流體壓力會重新上升，達到裂縫延伸壓力后會再次發(fā)生裂縫擴展，所以裂縫高度呈現(xiàn)階梯狀增長。另外，從對比結果也可以看出，本文模型計算的裂縫縫高在射孔位置的壓裂液壓力為50.51 MPa時突破頂層界面，而MFEH模型計算的裂縫高度在射孔位置壓裂液壓力為52.21 MPa時才突破頂層界面，表明如果不考慮裂縫尖端塑性區(qū)應力集中的影響，可能會低估裂縫高度生長的能力，在實際壓裂施工中會導致裂縫穿層，從而壓漏上部地層，造成嚴重的壓裂事故。

表2 GRI現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)[35]

圖4 與MFEH模型計算的縫高剖面對比圖

3.1 下伏地層地應力對裂縫縫高生長的影響

為了研究下伏地層地應力對水力裂縫縫高生長的影響，將下伏地層地應力（σh,6）設置為35，45，55，65 MPa，繪制不同下伏地層地應力下的縫高變化曲線（見圖5）。當下伏地層地應力小于等于45 MPa時，由于第5層、第6層地應力相對較小，射孔位置壓裂液壓力達到44.81 MPa時，裂縫下尖端迅速擴展到達下邊界；當下伏地層地應力大于等于55 MPa時，裂縫下尖端擴展困難。當下伏地層地應力達到65 MPa后，裂縫在下伏地層延伸有限，縫高生長止于第5層、第6層地層界面附近，呈現(xiàn)出憋壓階梯生長的形態(tài)。總體上隨著下伏地層地應力的增加，裂縫向下端擴展越來越難。

3.2 上覆地層地應力對裂縫縫高生長的影響

分別將上覆地層地應力（σh,1）設置為35，45，55，65 MPa，應用本文模型計算并繪制水力裂縫高度生長曲線（見圖6）。上覆地層地應力為35 MPa時，由于地應力相對較小，對裂縫阻擋效果較差，射孔位置壓裂液壓力達到46.21 MPa時，裂縫上尖端失穩(wěn)，縫高迅速增長達到頂部界面（見圖6a）。隨著上覆地層地應力的增加，裂縫上尖端生長越來越困難。上覆地層地應力達到55 MPa時，裂縫上尖端已經(jīng)無法突破到達頂部界面；當上覆地層地應力達到65 MPa時，裂縫上尖端難以進入上部地層，呈現(xiàn)較為平坦的生長形態(tài)，縫高擴展維持在第1層、第2層界面處，裂縫主要向下部地層延伸，突破地層底界面。

3.3 下伏地層巖石斷裂韌性對裂縫縫高生長的影響

分別將下伏地層巖石的斷裂韌性（KIC,6）設定為0.5，5.5，10.5，15.5 MPa·m1/2，應用本文模型計算相應水力裂縫高度。如圖7所示，隨著下伏地層巖石斷裂韌性的增大，裂縫縫高的生長變化并不明顯，所以下伏地層巖石斷裂韌性對裂縫高度擴展的影響較小，增加下伏地層巖石斷裂韌性只能在一定程度上抑制裂縫縫高的擴展。

3.4 上覆地層巖石斷裂韌性對裂縫縫高生長的影響

分別將上覆地層巖石斷裂韌性（KIC,1）設為0.5，5.5，10.5，15.5 MPa·m1/2，應用本文模型計算水力裂縫高度。如圖8所示，當上覆地層巖石斷裂韌性很小時，裂縫容易突破上部地層到達地層頂界面。隨著上覆地層斷裂韌性的增大，裂縫上尖端的擴展變得困難，裂縫下尖端向下部地層擴展的高度逐漸增大。

圖5 下伏地層地應力對裂縫縫高生長的影響

圖6 上覆地層地應力對裂縫縫高生長的影響

圖7 下伏地層巖石斷裂韌性對裂縫縫高生長的影響

圖8 上覆地層巖石斷裂韌性對裂縫縫高生長的影響

3.5 斷裂韌性與地應力的共同作用對裂縫縫高生長的影響

為了研究斷裂韌性和地應力的共同作用對裂縫縫高生長的影響，分別設計了高地應力低斷裂韌性和低地應力高斷裂韌性兩種情況。對于高地應力低斷裂韌性地層，分別設σh,2為65 MPa，KIC,2為0.5 MPa·m1/2

和σh,5為 65 MPa，KIC,5為 0.5 MPa·m1/2（見圖9a 和圖9c）。結果表明當?shù)貞Ω邥r，裂縫尖端生長緩慢，即使地層巖石的斷裂韌性較小，縫高也沒有出現(xiàn)頻繁的跳躍生長的失穩(wěn)現(xiàn)象。對于低地應力高斷裂韌性地層，分別設σh,2為 45 MPa，KIC,2為 10.5 MPa·m1/2和σh,5為 45 MPa，KIC,5為 10.5 MPa·m1/2（見圖9b 和圖9d）。盡管地層巖石斷裂韌性比較高，但地應力較小，裂縫高度擴展較快，甚至在裂縫尖端出現(xiàn)了突破和跳躍式失穩(wěn)增長，說明地層應力對裂縫縫高的生長起主要控制作用，地層巖石斷裂韌性只能在一定程度上對高度生長起抑制作用。

圖9 斷裂韌性與地應力共同作用對裂縫縫高生長的影響

3.6 上覆地層與射孔層應力差對裂縫縫高生長的影響

將上覆地層（第2層）與射孔層應力差Δσ設置為-8，0，8，16 MPa，應用本文模型計算并繪制裂縫高度生長變化曲線。上覆地層與射孔層應力差為-8，0 MPa時，上覆地層地應力小于等于射孔層的地應力，地應力對裂縫縫高生長無法起到阻擋作用，在射孔層裂縫起裂后，裂縫縫高擴展突破射孔層和上覆地層（見圖10a和圖10b）。隨著上覆地層地應力增加，上覆地層地應力大于射孔層地應力，應力差逐步增大，裂縫向上覆地層的擴展變得困難，較于圖10a和圖10b，裂縫在上覆巖層中增長相對緩慢（見圖10c和圖10d）。上覆地層與射孔層應力差的增加，有效阻止裂縫縫高向上延伸，對裂縫縫高生長起到了明顯的抑制作用。

3.7 壓裂液密度對裂縫縫高生長的影響

分別設定壓裂液密度為 1.0×103，1.2×103，1.4×103，1.6×103kg/m3，計算分析壓裂液密度對裂縫縫高生長的影響（見圖11）。隨著壓裂液密度的增大，裂縫內(nèi)壓裂液的重力增大，作用在裂縫下端的凈壓力數(shù)值將大于裂縫上端，且密度越大，裂縫上下端凈壓力差值越大，使裂縫上尖端的生長減緩，下尖端生長加快，從而影響整個裂縫高度形態(tài)；當壓裂液密度較小時，裂縫上下端凈壓力差值較小，即應力強度因子差別小，通常上部地層地應力逐漸減小，巖石壓實變差，斷裂韌性也減小，裂縫縫高容易向上部地層延伸到達地層頂界面。這對于實際壓裂施工具有很好的指導意義，如想控制裂縫在地層中的縫高延伸，可在一定程度上通過控制壓裂液密度來實現(xiàn)，通過設置合適的壓裂液密度來控制裂縫下端和上端在地層中的延伸。

圖10 上覆地層與射孔層應力差對裂縫縫高生長的影響

圖11 壓裂液密度對裂縫縫高生長的影響

3.8 討論

由上述計算實例可以看出，地層的應力條件、地層巖石斷裂韌性以及壓裂液密度等因素對裂縫的縫高擴展均存在不同程度的影響，應用本文建立的縫高求解模型能夠?qū)Ω邞Χ喾謱拥貙拥膲毫芽p高進行計算和預測。但在建立縫高求解模型時，為了簡化計算，忽略了一些因素對縫高擴展的影響，如裂縫中流體在縫高方向的流動壓降，和地層巖石斷裂韌性受地應力以及裂縫擴展的影響。今后仍需開展相關研究來進一步完善本文縫高模型，使該模型更好地應用于現(xiàn)場壓裂的縫高計算和預測。另外，本文模型主要研究了不同條件下裂縫內(nèi)壓裂液壓力對裂縫高度生長的影響，并沒有建立裂縫延伸的三維模型，所以無法實現(xiàn)裂縫長度和高度生長的耦合計算。

4 結論

水力壓裂的裂縫縫高在生長過程中，會呈現(xiàn)出階梯生長的擴展形態(tài)，且裂縫縫高越大，階梯生長的現(xiàn)象越明顯。地應力對水力裂縫縫高的擴展有重要影響，當?shù)貞^小，即本文實例中下伏地層地應力或上覆地層地應力低于45 MPa時，裂縫尖端容易發(fā)生失穩(wěn)擴展，縫高迅速增長；而隨著地應力的增加，下伏地層地應力或上覆地層地應力達到55 MPa時，裂縫縫高擴展變得越來越困難。地應力對裂縫縫高的生長起主要控制作用，地層巖石斷裂韌性只能在一定程度上對裂縫高度生長起到抑制作用。壓裂液密度的增大有利于裂縫下尖端的擴展，當壓裂液密度低于1.2×103kg/m3時，裂縫縫高容易向上部地層延伸，隨著壓裂液密度的增大裂縫縫高則主要向下部地層延伸。

符號注釋：

a——水力裂縫半高，m；B——考慮塑性區(qū)影響的裂縫半高，m；C——未考慮塑性區(qū)影響的裂縫半高，m；dref——射孔位置垂直深度，m；dmid——裂縫中部垂直深度，m；e——塑性區(qū)尺寸，m；g——重力加速度，m/s2；hi——第i層地層的厚度，i=1，2，…n，m；KIC——地層巖石斷裂韌性，MPa·m1/2；KI——應力強度因子，MPa·m1/2；K′——塑性區(qū)內(nèi)等效裂縫面間拉應力產(chǎn)生的應力強度因子，MPa·m1/2；K′——考慮裂縫尖端塑性區(qū)影響時裂縫尖端的應力強度因子，MPa·m1/2；KI-——不考慮縫尖塑性區(qū)影響時裂縫上尖端應力強度因子，MPa·m1/2；KI+——不考慮縫尖塑性區(qū)影響時裂縫下尖端應力強度因子，MPa·m1/2；KI2-——考慮塑性區(qū)影響后上尖端應力強度因子，MPa·m1/2；KI2+——考慮塑性區(qū)影響后下尖端應力強度因子，MPa·m1/2；KI′+——裂縫下端塑性區(qū)使裂縫閉合的應力產(chǎn)生的應力強度因子，MPa·m1/2；n——總地層數(shù)；pmid——裂縫中部的壓裂液壓力，MPa；pnet——裂縫內(nèi)任一點流體凈壓力，MPa；pref——射孔位置的壓裂液泵注壓力，MPa；r——裂縫端部塑性區(qū)內(nèi)任一點到裂縫端部的距離，m；r1——裂縫端部塑性區(qū)半徑，m；x——水力裂縫縫高擴展方向，m；y——水力裂縫縫寬擴展方向，m；θ——以裂縫端部為極坐標端點，到塑性區(qū)任一點逆時針轉過的極角，（°）；υ——巖石泊松比，無因次；ρ——壓裂液密度，kg/m3；σ——分布載荷，MPa；σy——裂縫面間相互作用的拉應力，MPa；σh,i——第i層地層的水平最小主應力，i=1，2，…，n，MPa；σ1，σ2，σ3——裂縫端部任一點的3個主應力，MPa。下標：i——第i層地層；d——下端；u——上端。